On the effect of the Sun's gravity around the Earth-Moon L1 and L2 libration points

Abstract

[eng] In this thesis we explored some aspects of the dynamics around the Earth-Moon L1 and L2 points in the context of two Restricted Four Body Problems: the Bicircular Problem (BCP) and the Quasi-bicircular Problem (QBCP). Both the BCP and QBCP model the dynamics of a massless particle moving under the influence of the Sun, Earth, and Moon. Although these two models focus on the same system, it is relevant to study both because their behavior around the L2 is qualitatively different.These two models can be written in the Hamiltonian formalism as periodic time-dependent perturbations of the RTBP. To study these Hamiltonians, we used numerical tools tailored to these type of models to get an insight on the phase space. These two techniques are the reduction to the center manifold, and the computation and continuation of 2D tori.ßor the BCP, the analysis focused around the L2 point. The results obtained showed that the reduction to the center manifold, and the non-autonomous normal form computed in this thesis do not provide useful information about the neutral motion around L2. The approach taken was to compute families of 2D tori, and explore any connections and their stability. As a summary of this effort we identified a total of six families of 2D tori: two Lyapunov-type planar quasi-periodic orbits, and four vertical. One of the vertical families was obtained by direct continuation of Halo orbits from the RTBP. This showed that the family of Halo orbits from the RTBP survive in the BCP, with the understanding that this new family is Cantorian. It was also shown that one of the other vertical families is Halo-like. Hence, members of this family may be potential candidates for future space missions. However, these tori are hyperbolic, as opposed the ones coming directly from the RTBP Halo obits, which are partially elliptic. It was also shown that this family of Halo-like tori comes from a family of quasi-periodic orbits in the RTBP that are resonant with the frequency of the Sun. Hence, these family of Halo-like orbits in the BCP have their counterparts in the RTBP.ßor the QBCP, the focus of the analyses was there Earth-Moon L1 and L2 points. In this model, the reduction to the center manifold provided relevant qualitative information about the dynamics around L1 and L2. The main takeaway was that L1 and L2 had a similar qualitative behavior. In both cases there were two families of quasi-periodic Lyapunov orbits, one planar and one vertical. It was also shown that the quasi-periodic planar Lyapunov family underwent a (quasi-periodic) pitchfork bifurcation, giving rise to two families of quasi-periodic orbits with an out-of-plane component. Between them, there was a family of Lissajous quasi-periodic orbits, with three basic frequencies. Qualitatively, the phase space of the center manifold, as constructed in this thesis, resembled the phase space of the center manifold of the RTBP around L1 and L2. In the QBCP we also continued families of invariant 2D tori, and for both L1 and L2. In these cases, the quasi-periodic planar and vertical families were continued. The bifurcations of the quasi-periodic planar Lyapunov were identified. A conclusion from this numerical experiment was that the family of out-of-plane orbits born from the bifurcation seemed not to be the RTBP Halo counterparts in the QBCP. The RTBP Halo orbits do survive in the QBCP, but do not seem to be connected to the quasi-periodic planar Lyapunov family. ßinally, and also in the context of the BCP and the QBCP, numerical simulations to study transfers from a parking orbit around the Earth to a Halo orbit around the Earth-Moon L2 point were studied. The main conclusion is that the invariant manifolds of the target orbits studied intersect with potential parking orbits around the Earth. The relevance of this result is that it shows that there are one-maneuver transfers from a vicinity of the Earth to Earth-Moon L2 Halo orbits. This is not case when using the RTBP as reference model. Experiments were done for both the BCP and the QBCP, and in all cases is it was shown that the total cost in terms of ∆V and transfer time is comparable to other techniques requiring two or more maneuvers.

[cat] En aquesta tesi explorem alguns aspectes de la dinàmica al voltant dels punts L1 i L2 Terra-Lluna en el context de dos problemes restringits de quatre cossos: el problema bicircular (PBC) i el problema quasi-circular (PQBC). Tant el PBC com el PQBC modelen la dinàmica d’una partícula sense massa que es mou sota la influència del Sol, la Terra i la Lluna. Tot i que aquests dos models es centren en el mateix sistema, és rellevant estudiar-los tots dos perquè el seu comportament al voltant de la L2 és qualitativament diferent. Aquests dos models es poden escriure en el formalisme hamiltonià com a pertorbacions periòdiques del problema restringit dels tres cossos (PRTC) dependents del temps. Per estudiar aquests hamiltonians, utlitzem eines numèriques adaptades a aquest tipus de models per obtenir una idea de l’espai de fases. Aquestes dues tècniques són la reducció a la variety central i el càlcul i la continuació de tors 2D.

Per al PBC, l'anàlisi es centra al voltant del punt L2. Els resultats obtinguts mostren que la reducció a la varietat central i la forma normal no autònoma calculada en aquesta tesi no proporcionen informació útil sobre el moviment neutre al voltant de L2. L'enfocament adoptat es calcular famílies de tors 2D, i explorar les seves connexions i estabilitat. Com a resum d’aquest esforç, s'identifiquen un total de sis famílies de tors 2D: dues famílies d'òrbites quasi-periòdiques planes tipus Lyapunov i quatre verticals. Una de les famílies verticals s'obté per continuació directa de les òrbites Halo del PRTC. Això demostra que la família de les òrbites Halo del PRTC sobreviuen al PBC, entenent que aquesta nova família és cantoriana. També es demostra que una de les altres famílies verticals és semblant a les Halo. Per tant, els membres d’aquesta família poden ser candidats potencials per a futures missions espacials. No obstant això, aquests tors són hiperbòlics, a diferència dels que provenen directament de les Halo del PRTC, que són parcialment el·líptics. També es mostra que aquesta família de tors semblants a les Halo prové d’una família d’òrbites quasi-periòdiques del PRTC que són ressonants amb la freqüència del Sol. Per tant, aquestes famílies d’òrbites semblants a les Halo al PBC tenen els seus homòlegs al PRTC.

Per al PQBC, el focus de les anàlisis es troba en els punts L1 i L2 Terra-Lluna. En aquest model, la reducció a la varietat central proporciona informació qualitativa rellevant sobre la dinàmica al voltant de L1 i L2. El principal resultat és que L1 i L2 tenen un comportament qualitatiu similar. En ambdós casos hi ha dues famílies d’òrbites quasi-periòdiques tipus Lyapunov, una plana i una vertical. També es demostra que la família plana quasi-periòdica tipus Lyapunov sobrevé una bifurcació tipus pitchfork (quasi-periòdica), donant lloc a dues famílies d’òrbites quasi periòdiques amb un component vertical. Entre ells, hi havia una família d’òrbites quasi-periòdiques tipos Lissajous, amb tres freqüències bàsiques. Qualitativament, l’espai de fase de la varietat central, tal com es construeix en aquesta tesi, s’assembla a l’espai de fase del la varietat central del PRTC al voltant de L1 i L2. Al PQBC també es continuen famílies de tors 2D invariants, tant per a L1 com per a L2. En aquests casos, es continuen les famílies planes i verticals quasi-periòdiques. Durant aquest procés es troben bifurcacions a les families d'òrbites quasi-periòdiques planes. Una conclusió d’aquest experiment numèric és que la família d’òrbites amb component vertical nascudes de la bifurcació no són les contraparts de les Halo de PRTC. Les òrbites Halo de PRTC sobreviuen en el PQBC, però no semblen estar connectades a la família plana quasi-periòdica.

Finalment, i també en el context del PBC i el PQBC, es s'estudien simulacions numèriques per estudiar les transferències des d’una òrbita d’estacionària al voltant de la Terra fins a una òrbita Halo al voltant del punt L2 Terra-Lluna. La principal conclusió és que les varietats invariants de les òrbites objectiu estudiades passen molt a prop de la Terra. La rellevància d’aquest resultat és que mostra que hi ha transferències d’una maniobra des de d'una òrbita al voltat de Terra a les òrbites L2 Halo Terra-Lluna. No és així quan s’utilitza el PRTC com a model de referència. Es fan experiments tant per al BCP com per al QBCP, i en tots els casos es demostra que el cost total en termes de ∆V i temps de transferència és comparable a altres tècniques que requereixen dues o més maniobres.