The Planar Limit of N=2 Superconformal Field Theories

Abstract

[eng] This thesis is devoted to the study of the planar regime of N = 2 Lagrangian 4−dimensional superconformal field theories. In the first part of the thesis we study the matrix models that describe such theories upon performing supersymmetric localization on S4. By studying the asymptotic expansion of the 1−loop partition function that defines the model, we find a unified description for a theory with classical gauge group G and conformal matter content. We develop novel combinatorial techniques to study these matrix models in the planar regime, these techniques allow us to obtain the full perturbative solution as a sum over a family of tree graphs that contain all the relevant contributions stemming from the connected correlators of the matrix model. For these theories we focus on the planar Free Energy and the supersymmetric Wilson loop of theories with a fraction of matter in the fundamental representation for which we are able to obtain the full perturbative series in the ’t Hooft coupling. In the second part we focus our attention to the study of correlation functions of Chiral Primary Operators (CPO’s) in these theories, we generalize the matrix model techniques to a general class of models containing, possibly infinite, single and double trace terms and characterize their planar Free Energy and general correlation functions of matrix observables. We then proceed to unmix such correlators to study the extremal correlation functions of CPO’s and we find the exact solution for the 2− and 3−point functions in the planar limit. Finally, we study several Hermitian one- matrix models and certain examples of non-conformal field theories that also admit a matrix description. We obtain the exact solution for the planar Free Energy and we comment on the convergence of the perturbative expansion.

[spa] En esta tesis hemos desarrollado nuevas técnicas de cálculo en teorías de campo Lagrangianas en 4−dimensiones con N = 2 simetría superconforme. Generalmente, los cálculos que se pueden llevar a cabo en una teoría de campos con menos simetría no permiten acceder al régimen de acoplamiento fuerte e inclusive, restringiéndonos a acoplamiento débil, la dificultad de los cálculos crece exponencialmente. Al trabajar con teorías con una mayor cantidad de simetrías hemos podido obtener resultados exactos para una gran cantidad de observables físicos. En la introducción de esta tesis (Capítulo 1), hemos hecho un breve repaso a los ingredientes esenciales de teorías de campos supersimétricas, a la vez que introducimos algunos resultados previos que son el punto de partida de nuestras investigaciones. En el segundo Capítulo de este trabajo recogemos los resultados obtenidos al caracterizar el régimen planar de la teoría. Al utilizar la técnica de localización supersimétrica, el cálculo de observables que preservan supersimetría se reduce a un modelo de matrices aleatorias. Hemos desarrollado nuevas técnicas para resolver este tipo de modelos característicos a teorías N = 2 que han sido localizadas en S4. El interés de estas técnicas no solo radica en el hecho de que con ellas hemos podido caracterizar la Energía Libre, el operador de Wilson o la radiación emitida por una partícula de prueba, sino también en el hecho de que son aplicables a modelos de matrices más generales. Un ejemplo en el cual las técnicas desarrolladas en este trabajo son fundamentales es el estudio de funciones de correlación de operadores quirales primarios. En el Capítulo (3) recolectamos los resultados correspondientes al estudio de funciones de correlación de 2 y 3-puntos. Los resultados obtenidos son válidos para cualquier operador quiral de dimensión de escala arbitraria k, siendo este resultado el primero de su tipo en la literatura. Además de ser un resultado sorprendentemente simple, la expresión que hemos obtenido parece indicar la posible derivación del mismo mediante otras técnicas. Esto permitiría a su vez obtener por primera vez una predicción para dicha familia de operadores a acoplamiento fuerte. Finalmente, en el Capítulo (4) utilizamos las desarrolladas para estudiar modelos de matrices que contienen un número finito de términos así como también los modelos que describen ciertas teorías de campo sin simetría conforme. En este caso hemos logrado obtener nuevos resultados exactos en el cálculo de la energía libre planar de estas teorías lo que nos ha permitido también caracterizar exactamente el radio de convergencia de las mismas. Para el caso de los modelos que se desprenden de las teorías no conformes y de más general, modelos con infinitos términos en el potencial, hemos obtenido cotas precisas para el radio de convergencia de la serie perturbativa en la constante de acoplamiento de ’t Hooft. A lo largo de este trabajo hemos enfocado nuestros esfuerzos en el cálculo del término dominante de la expansión sistemática en N . Una incipiente pregunta es generalizar las técnicas para poder incluir también correcciones en 1/N , lo que permitiría a su vez realizar verificaciones no triviales de la dualidad holográfica. De igual manera, hemos estado interesados en desarrollar técnicas combinatorias para modelos de matrices en donde la matriz es hermética. Sin embargo, el mismo conjunto de ideas puede utilizarse para otros ensambles de matrices como el unitario. Este tipo de ensambles describen la dinámica de teorías físicas con un rico diagrama de fases como el modelo de Gross-Witten-Wadia o inclusive el índice supersimétrico de teorías con N = 1 supersimetrías, por lo que extender el conjunto de ideas a este tipo de modelos es de gran interés. Finalmente, los estudios realizados para modelos de matrices en los cuales el potencial es finito han sido recientemente estudiados en el contexto de teorías de gravedad en 2−dimensiones. Esto plantea la posibilidad de extender nuestros resultados y técnicas, derivados de teorías supersimétricas, a modelos de gravedad en donde la supersimetría es a priori no aparente.