Grups de Galois sobre Q amb condicions de ramificació prefixades

Abstract

[cat] En aquesta tesi estudiem versions refinades del problema invers de la teoria de Galois sobre el cos Q dels racionals, que s'obtenen quan prefixem determinades condicions de ramificació. Ens plantejem, per exemple, les següents qüestions per a un grup finit G:

(a)Quin és el mínim natural ram (G) per la qual existeix alguna extensió de Galois de Q ramificada només en ram (G) primers i amb grup de Galois isomorf a G ?

(b)Donat un conjunt finit de primers racionals S, existeix alguna realització de G com a grup de Galois d'una extensió de Q no ramificada en S?

(c)Existeix alguna extensió de Galois moderadament ramificada i amb grup de Galois Gal(F/Q) isomorf a G?

Com a eines utilitzades, destaquem la teoria de cossos de classes, la teoria dels polígons de Newton (aritmètics) i l'especialització d'extensions galoisianes de Q(T) (Teorema d'irreductibilitat de Hilbert,.)

Abordem la pregunta (a) per a alguns grups resolubles finits (que sempre admeten resposta afirmativa a (b) i (c)).

Per a un l-grup finit G qualsevol (l primer senar), afitem ram(G) per una constant explícita menor o igual que la suma dels nombres de generadors dels factors de la sèrie central inferior de G. A més, generalitzem aquesta fita als grups nilpotents finits d'ordre senar. El punt de partida per a obtenir aquests resultats és la demostració que dóna Serre del Teorema de Scholz-Reichardt.

Per a un grup diedral generalitzat G qualsevol, la teoria de cossos de classes d'anell de cossos quadràtics ens permet demostrar que G es realitza com a grup de Galois d'una extensió de Q ramificada en d(G) primers finits. Assumint la validesa de la Hipótesi (H) de Schinzel obtenim el valor de ram(D-sub 2n), per a qualsevol n.

Estudiem les qüestions (b) i (c) per a certs grups finits no resolubles.

Per al grup alternat A-sub n, considerem primer les realitzacions galoisianes obtingudes com a cossos de descomposició de trinomis racionals. Obtenim caracteritzacions per a l'existència d'aquestes extensions amb diversos comportaments de ramificació prefixats en un conjunt finit de primers. En particular, concloem que (per alguns n) els trinomis no ens permeten respondre a les preguntes (b) i (c) per a G = A-sub n. Sí obtenim resposta (afirmativa) a aquests problemes a partir d'una construcció de Mestre. Demostrem que, per a tot conjunt natural n i tot conjunt finit de primers S, sempre existeixen polinomis mònics de grau n amb coeficients enters, totalment reals, amb grup de Galois A-sub n i discriminant no divisble per cap primer de S.

Per als grups de Mathieu M-sub 11 i M-sub 12 i el grup Aut(M-sub22), demostrem l'existència d'especialitzacions moderadament ramificades de realitzacions galoisianes regulars conegudes sobre Q(T). Els exemples triats provenen de construccions obtingudes per l'anomenat mètode de la rigidesa que, segons un suggeriment de Birch, habitualment hauria de donar lloc (per especialització)a extensions de Q salvatgement ramificades.

Finalment, considerem problemes d'immersió galoisiana. Demostrem que sempre es pot conservar l'existència d'especializacions moderadament ramificades en resoldre (pròpiament) problemes d'immersió central finits sobre Q(T). Això ens permet respondre afirmativament a la qüestió (c), per a tot grup G extensió central finita d'algun dels grups següents: grups alternats, grups simètrics i els grups de Mathieu M-sub 11 i M-sub 12.

Demostrem també que, si K és un cos de característica 0 i G és un grup extensió central finita de A-sub n (n és diferent de 4, 6, 7), aleshores tota extensió de K amb grup de Galois G s'obté per especialització d'alguna realització galoisiana regular de G sobre K(T) (propietat d'aixecament aritmètic). Com a conseqüència d'una generalització d'aquest resultat, G es realitza com a grup de Galois d'alguna extensió de Q en la qual els primers d'un conjunt finit qualsevol prefixat descomponen completament.