Local cohomology modules supported on monomial ideals

Abstract

[cat] Sigui R l'anell de polinomis amb coeficients en un cos k de característica zero. El nostre objectiu és, tot seguint la linia de recerca encetada per G. Lyubeznik, utilitzar en profunditat la teoria de D-mòduls per tal d'estudiar els mòduls de cohomologia local de R amb suport un ideal I. En especial, ens interessa descriure de forma efectiva l'anul.lació, les propietats de finitud i entendre millor l'estructura d'aquests mòduls. La principal eina que utilitzarem és un invariant que podem associar als mòduls de cohomologia local i més en general a tot D-mòdul holònom: el cicle característic.

En primer lloc demostrem que les multiplicitats del cicle característic dels mòduls de cohomologia local són invariants de l'anell quocient R/I. En el cas dels ideals monomials, aquests invariants ens permeten descriure les resolucions lliures minimals i les propietats aritmètiques de R/I. També descriuen la cohomologia del complementari dels arranjaments de varietats lineals.

Seguidament donem una fórmula explícita pel càlcul del cicle característic dels mòduls de cohomologia local amb suport un ideal monomial. Aquesta fórmula ens permet donar una descripció del suport, l'anul.lació, els nombres de Bass i els primers associats d'aquests mòduls a partir de la descomposició primaria minimal de l'ideal I.

Per acabar estudiem l'estructura dels mòduls de cohomologia local amb suport un ideal monomial tot utilitzant les següents eines: la filtració que s'obté de la degeneració de la successió espectral de Mayer-Vietoris, la correspondencia de Riemann-Hilbert i la multi-graduació associada a aquests mòduls.

[eng] Let R be the polynomial ring over a characteristic zero field k. Our goal is to study the local cohomology modules of R with support an ideal I. To this purpose we follow the path opened by G. Lyubeznik using the theory of D-modules. Our aim is to provide an effective description of the vanishing and the finiteness properties of these modules as well as to have a better understanding of their structure. The main tool we are going to use is an invariant that one may associate to any holonomic D-module: the characteristic cycle.

First of all we prove that the multiplicities of the characteristic cycle of local cohomology modules are invariants of the quotient ring R/I. For the case of monomial ideals, these invariants allow us to describe the minimal free resolution and the arithmetical properties of R/I. They also describe the cohomology of the complementary of the corresponding arrangement of linear varieties.

We also give an explicit formula to compute the characteristic cycle of a local cohomology module supported on a monomial ideal. This formula allow us to describe the support, the vanishing, the Bass numbers and the associated primes of these modules in terms of the minimal primary decomposition of the ideal I.

Finally we study the structure of the local cohomology modules supported on a monomial ideal using the following approaches: the filtration one obtains by the degeneration of the Mayer-Vietoris spectral sequence, the Riemann-Hilbert correspondence and the multi-grading associated to these modules.