Sobre inmersiones isométricas de variedades riemannianas en espacios euclideos

Abstract

[spa] John Nash probó la existencia de inmersión e inmersión homeomorfa inyectiva isométricas de cualquier variedad Riemanniana en un espacio euclídeo de dimensión suficiente. Desde entonces el estudio de las inmersiones isométricas se ha orientado principalmente en cuatro direcciones:

a) Encontrar propiedades propias de la variedad y de la inmersión que permitan establecer acotaciones o reducir la dimensión del espacio euclídeo ambiente.

b) Estudio de la rigidez de las inmersiones isométricas.

c) Estudio de las restricciones que puede dar el grupo o el álgebra de holonomía de la variedad ,a las inmersiones de ésta.

d) Estudio de las inmersiones homeomorfas isométricas equivariantes, o sea aquellas para las que el grupo de isometrías de la variedad se incluye en el del espacio euclideo ambiente.

En líneas generales, el objetivo de esta tesis consiste en aplicar el hecho ya conocido de que se puede efectuar el estudio de las inmersiones isométricas de variedades Riemannianas en espacios euclídeos, a partir del sistema de tensores obtenido por medio del fibrado normal a la variedad inmersa, a los temas siguientes:

- Inmersiones en codimensión dos, con curvatura normal cero y álgebra local de holonomía no total. - Influencia del álgebra de Lie de las isometrias infinitesimales de la variedad sobre las inmersiones en codimensión dos con curvatura normal cero. - Reducción de la codimensión. - Estudio de la rigidez de la inmersión por medio de las isometrías infinitesimales de la variedad y su relación con el fibrado normal de la variedad.

La estructura de la tesis consta de los siguientes capítulos:

Capítulo 0.- Se da una demostración de la generalización del teorema de Bonet para inmersiones en codimensión cualquiera.

Capítulo I.- Teniendo cuenta lo estudiado por Bishop, Alexander, Moore y Alexander-Maltz sobre las inmersiones isométricas para variedades producto, en codimensión igual al número de componentes de la variedad, viendo que la inmersión se puede descomponer en producto de inmersiones en codimensión uno, estos resultados nos han sugerido el estudio de las inmersiones isométricas en codimensión dos,con curvatura normal cero.

Capítulo II.- Erbacher ha probado la posibilidad de reducir la codimensión de inmersiones isométricas, utilizando el paralelismo del primer espacio normal. Utilizando técnicas deducidas del capítulo cero ,en hipótesis como las de Erbacher y algunas más probamos con gran facilidad la posibilidad de reducir la codimensión. Por último damos condiciones suficientes para reducir la codimensión, utilizando los sucesivos espacios normales de la inmersión.

Capítulo III.- En este capitulo se estudia la influencia del álgebra de Lie de isometrías infinitesimales de la variedad inmersa en la rigidez de dichas inmersiones. Dicha influencia puede observarse en Goldstein-Ryan al estudiar las deformaciones infinitesimales de las esferas. En concreto, nosotros estudiamos el concepto clásico de rigidez (dos inmersiones isométricas de una misma variedad son mutuamente rígidas cuando difieren en una isometría del espacio euclídeo ambiente).

Capítulo IV.- En este capítulo se demuestra para variedades de dimensión dos y tres la posibilidad de obtener inmersiones isométricas, a partir de las isometrías infinitesimales de la variedad, de forma que dichas isometrías infinitesimales sean restricción de isometrías infinitesimales del espacio euclídeo ambiente.