Un problema aritmético sobre las sumas de tres cuadrados

Abstract

[spa] DE LA TESIS:

Fermat, motivado por la lectura de Diofanto, conjeturó que todo entero primo congruente con 1 módulo 4 es representable de manera única, salvo el signo y el orden, como suma de dos cuadrados; también propuso que todo entero positivo es suma de cuatro cuadrados. Estos resultados fueron probados por Euler y Lagrange.

La caracterización de los enteros representables como suma de tres cuadrados fue dada por Legendre. Gauss dio el número total de representaciones primitivas de un entero "n" como suma de tres cuadrados, en función del número de clases de formas cuadráticas binarias de discriminante -"n".

El cálculo del número de representaciones de un entero como suma de 2, 4, 6 y 8 cuadrados fue llevado a cabo por Jacobi, mediante la teoría de funciones elípticas. Las fórmulas correspondientes se obtienen igualando coeficientes en ciertas identidades satisfechas por su función "theta". Las investigaciones de Jacobi fueron proseguidas por Liouville y Ramanujan, entre otros, y en ellas se encuentra uno de los orígenes del estudio de las llamadas formas modulares de peso entero.

En general, el cálculo del número de representaciones de un entero por una forma cuadrática, entera, concreta es muy complicado y resulta imposible obtener formulas exactas que expresen dicho número. Para paliar este inconveniente, Gauss, en el caso de formas cuadráticas binarias, introdujo el concepto de género; este fue convenientemente extendido por Eisenstein, Smith y Minkowski a formas de un número mayor de variables. Siegel en 1935 dio formulas para una media, convenientemente ponderada, del número de representaciones de un entero por todas las formas que integran un género.

El estudio por vía analítica, análogo al de Jacobi, del número de representaciones de un entero como suma de un número impar de cuadrados fue comenzado por Hardy y Mordell, y conduce al estudio de las formas modulares de peso semientero. Este último concepto puede decirse que no ha sido completamente clarificado hasta los trabajos de Shimura de 1973. El caso de tres variables es el más delicado; hasta 1984, en el trabajo de Schulze-Pillot, no se ha probado que la serie "theta" del genero de una forma cuadrática ternaria es una serie de Eisenstein.

En esta memoria nos ocupamos del siguiente problema relativo a las sumas de tres cuadrados:

Dado un entero "n", hallar el valor de "e" máximo del cual se puede afirmar que existe una representación de "n" como suma de tres cuadrados = x(2 / 1) + x(2 / 2) + x (2 / 3), con "e" sumandos primos con "n"

Este problema, aparte de su interés intrínseco, ha sido motivado por su conexión con la búsqueda de enteros "n" para los cuales toda extensión central del grupo alternado A(n) es grupo de Galois sobre "Q".

La única referencia existente en la literatura de un problema análogo al que nos ocupa es el resultado elemental de Catalan, de 1880, de que toda potencia de 3 es suma de tres cuadrados primos con 3.

La presente memoria está dividida en seis capítulos:

En el primer capítulo se hace la presentación del problema, diciéndose de él todo lo que se puede mediante métodos elementales. Se detalla asimismo su relación con el problema inverso de la teoría de Galois, antes mencionado.

En el segundo capítulo se dan fórmulas que, de todas las representaciones de un entero como suma de tres cuadrados, descuentan aquellas que tienen "k" términos no primos con "n", para "k" = 1, 2, 3. Como estas formulas son de evaluación imposible, se definen a su vez, en este capítulo, unas fórmulas en "media" que aproximan a las primeras y son evaluables. El estudio de estas últimas se lleva a cabo en los capítulos III y IV.

En el capítulo V se estudia el error cometido en la utilización de las formulas en "media" en vez de las fórmulas exactas.

Todo ello permite en el capítulo VI dar una respuesta al problema.