Análisis armónico

Abstract

Este trabajo consiste de cuatro capítulos. El primero presenta los conceptos básicos que luego serán estudiados en mayor profundidad: el sistema trigonométrico y sus propiedades elementales. Algunos de los conceptos más importantes son la conexión con espacios de Hilbert -la demostración de completitud es una sencilla consecuencia de los resultados del análisis funcional-, la manipulación formal de las series de Fourier y el teorema de Riemann-Lebesgue, el cual será esencial para probar resultados de los siguientes capítulos. Uno de los problemas más importantes del análisis armóico se expone aquí ¿Existen condiciones necesarias y suficientes sobre una función para asegurar que su serie de Fourier converge? Esta es una pregunta abierta a día de hoy, aunque se han hecho avances significativos en el último siglo. El siguiente capítulo trata sobre la convergencia de la serie: estudiamos el núcleo de Dirichlet, la convolución, y algunos criterios que nos dan condiciones suficientes para la convergencia. Uno de los problemas que he encontrado aquí ha sido el teorema de Dirichlet-Jordan. No quería dejar el teorema sin demostración (hasta desarrollar técnicas posteriores), y he tenido que recorrer un camino largo para hacerlo, teniendo que recordar propiedades de las funciones de variación acotada, una versión poco común del teorema del valor medio, y un estudio más profundo del comportamiento del núcleo de Dirichlet. Aunque fue un camino tedioso, esta demostración ha sido un punto de inflexión: el esfuerzo para llevarla a cabo ha hecho que todas las demostraciones difíciles de los siguientes capítulos parezcan más accesibles. Hacia el final del capítulo encontramos una sección sobre el fenómeno de Gibbs, el cual explica el comportamiento de las sumas parciales de la serie de Fourier cerca de los puntos de discontinuidad. En el capítulo 4 nos centramos en los métodos de sumabilidad, lo cual nos da generalizaciones del concepto de convergencia. Una de las ideas que observaremos es que a pesar de que éstas convergencias no implican la convergencia ordinaria, a menudo podemos encontrar una hipóesis extra que sí ́nos proveerá de este tipo de resultados: los teoremas Tauberianos. Presentamos también varios núcleos de sumabilidad, como el de Fejer, que nos proveen de herramientas extremadamente útiles para estudiar la convergencia de la serie de Fourier. Un ejemplo interesante de esto es el teorema de Dirichlet-Jordan: ahora podemos probarlo en solo tres líneas. El capítulo termina con un pequeño estudio de la convergencia en norma y algunas funciones trigonométricas especiales. El último capítulo trata sobre la transformada de Fourier en espacios euclídeos. Se estudia el teorema de Rieman-Lebesgue, se presenta el método de sumabilidad Abel, y procedemos a resolver el problema de inversión tanto en el espacio $L^1$ , como en el $L^2$. El capítulo concluye extendiendo el espacio sobre el cual el problema de inversión tiene solución.