COL·LECCIÓ DE VÍDEOEXERCICIS
Grup d’Innovació Docent sobre Anàlisi de Dades en Economia
Facultat d’Econòmiques i Empresarials
UNIVERSITAT DE BARCELONA
Pròleg
La col·lecció VídeoExercicis (VE) que es presenta a aquest DVD pretén recollir els aspectes més importants del temari d’Estadística Econòmica II que es cursa a la Llicenciatura en Economia de la Universitat de Barcelona.
Agrair els comentaris i els suport dels companys del Grup d’Innovació Docent sobre Anàlisi de Dades en Economia, especialment, al Miquel, al Raül i al Vicente. També m’agradaria fer palès que aquest treball ha estat possible gràcies a un conjunt d’alumnes del grup B4 d’Estadística Econòmica II del curs 2008-2009, que sense voler-ho, amb la seva implicació en l’assignatura han fet possible que s’assolís aquell punt de motivació personal que es necessita per tal de realitzar aquest tipus de tasques. A tots vosaltres en general i alguns (ja sabeu qui sou) en particular.
Moltes gràcies.
Jordi Lopez Tamayo
Juny 2009
Tema 1. Mostreig
1.2. Sobre la Variància Mostral
1.3. Sobre la Proporció Mostral
1.5. Sobre la Funció de Versemblança
Tema 2. Estimació puntual i per interval
2.1. Propietats dels Estimadors
2.2. Estimació pel Mètode dels Moments
2.3. Estimació per Màxima Versemblança
2.4. Interval de confiança per la mitjana poblacional
2.5. Interval de confiança per a la variància poblacional
2.6. Interval de confiança per a la diferència de mitjanes poblacionals amb variàncies conegudes
2.8. Interval de confiança per a la diferència de proporcions poblacionals
Tema 3. Contrast Paramètric
3.1. Contrast sobre la Mitjana Poblacional
3.2. Diferència de Mitjanes Poblacionals amb Variàncies desconegudes però iguals.
3.3. Diferència de Variàncies Poblacionals
3.4. Diferència de Proporcions Poblacionals
3.5. Anàlisi de la Variància (Un Factor). ANOVA.
Tema 4. Contrast No Paramètric
4.1. Contrast de Bondat de l’Ajust
4.2. Contrast Kolmogorov-Smirnov per dues mostres
4.3. Taules de contingència. Contrast d’independència
Tema 5. Model de Regressió
5.1.Model de Regressió Lineal Simple
a) Especificació del model i estimació per MQO.
b) Bondat de l’Ajust.
c) Contrast sobre el terme independent
d) Contrast sobre el pendent
e) Predicció puntual i per interval.
****
Tema 1. Mostreig
VE1.1. Els salaris diaris pagats al personal d'una empresa es distribueixen normalment amb mitjana 1204€ i desviació estàndard 375€. Quina és la probabilitat que el salari mensual mig d'una mostra aleatòria de 9 empleats difereixi de la mitjana poblacional com a màxim en ±75 €.?
[Inici]
VE1.2. Sigui X1,...,X10 una mostra aleatòria formada per 10 variables aleatòries normals estàndard. Quina és la probabilitat que la variància mostral sigui inferior a 1.88?
[Inici]
VE1.3. Si la probabilitat que neixi un nen és de 0.514, ¿quina és la probabilitat que en 1000 naixements hi hagi menys homes que dones?
[Inici]
VE1.4. El comportament d'una població està caracteritzat per una distribució amb mitjana 15 i variància 100. Si s'agafa una mostra de grandària 100, determinar el valor a que verifica:
[Inici]
VE1.5. Suposi una mostra de grandària n d'una població amb distribució exponencial. Calcular el punt en el que la funció de versemblança assoleix el seu màxim.
[Inici]
Tema 2. Estimació puntual i per interval
VE.2.1 S'extreu d'una població una mostra de grandària n=3, indicar quin dels següents estimadors de la mitjana poblacional té un error quadràtic més petit:
[Inici]
VE.2.2. Consideri una variable aleatòria X amb la següent funció de densitat:
Determinar l'estimador del paràmetre q pel mètode dels moments.
[Inici]
VE.2.3. Consideri una variable aleatòria X amb la següent funció de densitat:
Determinar l'estimador del paràmetre q pel mètode de la màxima versemblança.
[Inici]
VE.2.4. Es desitja estudiar el pes dels paquets d'un producte produïts per una màquina. Se sap que la població estudiada és normal amb valor esperat desconegut i desviació estàndard igual a 200 grams. S'extreu una mostra aleatòria de grandària 25 i s'obté que la mitjana mostral és igual a 1050 grams.
a. Obtenir una estimació per interval de m si s'estableix un nivell de confiança del 90%.
b. Si s'augmenta el nivell de confiança al 95%, com es modifica l'interval anterior? I si s'incrementa fins al 99%?
[Inici]
VE.2.5. En una població N(m,s), on es desconeix el valor del paràmetre s, s'obté una mostra aleatòria simple de grandària 10, en la que:
[Inici]
VE.2.6. La despesa mensual en béns de consum de les famílies de dos integrants a la ciutat A presenta una distribució normal amb desviació estàndard igual a 1500 u.m. , mentre que a la població B aquesta despesa és distribueix també normalment però amb desviació estàndard de 800 u.m.. Amb l'objectiu d'estimar la diferència que existeix entre les despeses mitjanes de les dues poblacions s'extreuen dues mostres aleatòries i independents de 100 famílies a la població A i de 36 a la ciutat B. De la primera mostra s'obté una despesa mitjana de 35600 u.m i en el cas de la segona de 32400 €. Obtenir un interval de confiança al 95% per a la diferència de mitjanes.
[Inici]
VE.2.7. Dues universitats públiques tenen procediments de matriculació diferents i es vol analitzar quin és el més efectiu. Per comparar el temps mitjà que necessiten els alumnes per acabar el tràmit de matriculació, es van seleccionar a l'atzar 100 alumnes a cada universitat i es van obtenir els següents resultats mostrals expressats en minuts:
Si se suposa que les poblacions són normals, d'igual variància i les mostres són independents, obtenir l'interval de confiança al 99% per a la diferència dels valors esperats.
[Inici]
VE.2.8. En un hospital, entre els pacients d'una malaltia se seleccionen de forma independent dos grups de 200 i 100 individus, respectivament. En el primer grup es tracta la malaltia amb el mètode A i s'obté que 25 pacients experimenten una millora immediata. Al pacients del segon grup se'ls tracta amb el mètode B i 10 d'ells també milloren. Partint dels resultats anteriors, es pot afirmar amb un 95% de confiança que el tractament A és més efectiu que el B?
[Inici]
Tema 3. Contrast paramètric
VE.3.1 Se sap que una grip es cura sense cap tractament en 8.3 dies de mitjana. Un laboratori farmacèutic ha preparat un nou específic que es creu que serà eficaç per al tractament de la grip. S'agafa una mostra de 7 pacients i se'ls administra el producte. Els símptomes tarden a desaparèixer 8.1 dies de mitjana, amb una desviació estàndard de 1.04 dies. Amb un nivell de significació 0.01, i en el cas que la variable temps de curació es distribueixi normalment, quina és la conclusió de l'estudi?
[Inici]
VE.3.2. Amb la finalitat de determinar si la velocitat que s'assoleix circulant per Barcelona és independent de l'hora en què es realitza el trajecte, s'ha efectuat un seguiment d'una mostra de cotxes en dues franges horàries diferents i s'han obtingut els resultats següents, relatius als quilòmetres que havien recorregut durant 30 minuts:
Contrastar la hipòtesi que la velocitat que es pot assolir és independent de l'hora de circulació, assumint subpoblacions normals amb la mateixa variància i mostres independents.
[Inici]
VE.3.3. Per tal d'establir si les cotitzacions de dos tipus de títols de renda fixa (A i B) presenten la mateixa dispersió, s'obtenen dues mostres aleatòries i independents de 17 dies de cotització cadascuna. Les cotitzacions al tancament d'A van presentar una variància de 125.25 i les de B una variància de 638.5. Si les poblacions són normals, es pot concloure que ambdós títols presenten la mateixa estabilitat en la seva cotització al 10% de significació?
[Inici]
VE.3.4. Es desitja comprovar si hi ha diferència entre els assalariats i els empresaris pel que fa a una determinada mesura econòmica. D'una mostra de 200 empresaris, 118 van manifestar que estaven d'acord amb la mesura, i d'una mostra de 250 assalariats hi van estar d'acord 138. La diferència entre les proporcions mostrals és suficient per afirmar que la proporció d'empresaris favorables a la mesura és més gran que la proporció d'assalariats favorables? (Considerar a=0.01).
[Inici]
VE.3.5. Una organització de consumidors manté que la publicitat relativa a la classificació de les marques de tabac en normal, mitjana o baixa, depenent de la seva quantitat de nicotina, és enganyosa, ja que el contingut mitjà de nicotina de les cigarretes és semblant a totes les marques. L'anàlisi del contingut de nicotina en mg. de 24 marques proporciona els resultats següents:
|
|
Baixa |
Mitjana |
Normal |
|
|
0.13 |
0.82 |
1.01 |
|
|
0.40 |
0.86 |
1.01 |
|
|
0.42 |
0.91 |
1.02 |
|
|
0.57 |
0.95 |
1.02 |
|
|
0.61 |
0.97 |
1.04 |
|
|
0.67 |
|
1.06 |
|
|
0.69 |
|
1.08 |
|
|
0.74 |
|
1.13 |
|
|
0.76 |
|
1.26 |
|
|
0.78 |
|
|
|
Mitjana |
0.577 |
0.902 |
1.070 |
|
Variància |
0.04218 |
0.00387 |
0.00662 |
A partir d'aquesta informació, contrastar el supòsit de l'organització de consumidors.
[Inici]
Tema 4. Contrast no paramètric
VE.4.1. Amb un dau de pòquer s’han realitzat 600 llançaments amb el següent resultat:
|
Comprovar al 5% de significació la hipòtesi que el dau no està trucat.
[Inici]
VE. 4.2. Es vol comprovar si l’opinió sobre els equipaments informàtics d’una escola difereix entre els alumnes dels grups de matí i tarda. La valoració s’efectua amb una escala de 0 (valoració nul·la) a 50 (valoració màxima). Els resultats obtinguts d’una enquesta a 7 estudiants del matí i 10 estudiants de la tarda són els següents:
|
Matí |
20 |
25 |
26 |
25 |
29 |
27 |
30 |
|
|
|
|
Tarda |
18 |
16 |
19 |
22 |
24 |
15 |
27 |
20 |
23 |
30 |
Contrastar aquesta hipòtesi amb un nivell de significació del 5%.
[Inici]
VE. 4.3. Estudiar si existeix associació entre el nivell educatiu dels individus i la preferència per un determinat mitjà de comunicació a partir de la següent informació mostral:
|
Nivell Educatiu |
|
Mitjà de comunicació |
||
|
|
Premsa |
Ràdio |
Televisió |
|
|
Bàsic |
15 |
10 |
25 |
|
|
Mitjà |
40 |
25 |
45 |
|
|
Superior |
45 |
30 |
55 |
|
[Inici]
Tema 5. Model de regressió
VE. 5.1. Es vol estudiar la relació entre el consum de combustible (C) dels avions que operen a un aeroport i el temps de vol (T). Per a realitzar l’anàlisi s’ha obtingut una mostra aleatòria d’avions d’on s’ha extret la següent informació:
a) Proposar el model de regressió més adient i estimar els paràmetres que defineixen aquesta relació i realitzar la corresponent interpretació econòmica.
b) Valorar la bondat de l’ajust. .
c) El director de l’aeroport, davant d’aquests resultats, creu que la informació no s’ha recopilat de forma correcta atesos que no es pot creure que el consum mitjà dels avions abans d’enlairar-se (és a dir, quan encara no han començat a comptar les hores de vol) sigui zero. És correcta la sospita del director?.
d) Tot i aquesta salvetat, abans de recollir una altre mostra, de forma provisional es pot considerar correcte que per cada hora de més de vol es necessitaran 12 unitats de combustible més o alternativament és necessitaran més?
e) Realitzar una predicció puntual i per interval per un avió que voli 6 hores.
[Inici]