PRÀCTICA V

5. CÀRREGA I DESCÀRREGA D’UN CONDENSADOR

Resum. En aquesta pràctica s’estudiarà com varia la tensió d’un condensador quan se’l descarrega a través d’una resistència R, observant el comportament exponencial de l’evolució de la tensió respecte del temps. Es definirà un paràmetre important, la constant de temps, τ, i s’estudiarà com mesurar-la. Es comprovarà com la funció exponencial també governa els canvis de tensió en el condensador quan s’aplica una tensió quadrada a un circuit RC.

5.1. Fonament

5.1.1. Càrrega i descàrrega d’un condensador

Quan tenim un condensador de capacitat C carregat a una tensió inicial V1 i el descarreguem a través d’una resistència, la variació en el temps de la tensió entre les armadures del condensador segueix l’expressió:

| (1)

El producte RC, que té dimensions de temps, s’acostuma a designar per constant de temps, τ.
Anàlogament, si el que tenim és un condensador carregat a una tensió inicial V1 i el carreguem aplicant-li una diferència de potencial V2, com a conseqüència de l’existència d’una resistència en el circuit mateix, la tensió entre les armadures evoluciona com:

| (2)

Fàcilment es veu com Vc(t) evoluciona de V1 a V2 de manera anàloga a la descàrrega.

5.1.2. Càrregues successives per aplicació d’un senyal quadrat

Si apliquem una tensió quadrada a un condensador C a través d’una resistència R (figura 1), la tensió del condensador variarà en el temps de manera que intentarà «seguir» la tensió aplicada (figura 2). La transició des de V1 cap a V2 (i semblantment la de V2 cap a V1) presenta una dependència exponencial decreixent donada per (2).
En el cas particular d’un senyal quadrat que va des de V0 fins a −V0, tenim que V1 = V0 i V2 = −V0.

Figura 1

Si RC és prou petit (un factor 5 és suficient) comparat amb T/2, el condensador pràcticament arriba a assolir la tensió final, V2 i la VC(t) mostra un aspecte semblant a la figura 2. Si no és així, es produeixen situacions com la de la figura 3.

Figura 2

Figura 3

5.2. Dispositiu experimental

Primera part:

1 placa RC-1 amb un condensador gran, una resistència elevada i un commutador
1 cronòmetre
1 voltímetre digital
alimentador del circuit RC
cables banana-banana

Segona part:

1 placa RC-2 amb dues resistències i dos condensadors
1 oscil·loscopi digital
1 generador de funcions
cable coaxial

5.3. Procediment experimental

L’objecte de la pràctica és l’estudi de la càrrega i descàrrega d’un condensador a través d’una resistència, observant l’evolució de la tensió del condensador en funció del temps. A partir de la variació observada, es determinarà el valor de la constant de temps del circuit, i, a partir d’aquesta, el valor de la capacitat.

5.3.1. Descàrrega d’un condensador (1a part)

Endolleu l’alimentador de V ≈ +3 V del circuit RC-1 i connecteu el voltímetre digital als extrems del condensador.
Connecteu el commutador a la posició C (càrrega). El condensador es carregarà ràpidament fins a la tensió de l’alimentador V1. Anoteu el valor de la tensió (V1) en el full de mesures (t = 0).
Passeu el commutador a la posició D (descàrrega), al mateix temps que poseu en marxa el cronòmetre. Anoteu en el full de mesures els valors de la tensió del condensador donada pel voltímetre a intervals de 10 segons (30 lectures). El condensador s’ha descarregat a través de la resistència del circuit.
A partir de les dades, calculeu ln V(t) i representeu aquests valors en una gràfica en funció del temps. Feu una regressió lineal, i obteniu la constant de temps del circuit RC.
Un mètode més curt, però més imprecís, per calcular τ és el següent: determineu sobre la gràfica anterior el temps que ha trigat el condensador a passar d’una tensió qualsevol, V, a V/e. Aquest temps és la constant de temps del circuit.
Coneixent el valor de la resistència de descàrrega R, i amb el valor de τ obtingut, calculeu la capacitat del condensador, i compareu-la amb la nominal (anotada al condensador).

Vegeu les imatges de la pràctica

5.3.2. Càrregues successives per aplicació d’un V(t) de forma quadrada (2a part)

Si la constant de temps d’un circuit és curta, no és possible utilitzar un cronòmetre per prendre mesures de la descàrrega del condensador. En aquest cas s’aplica al circuit un senyal quadrat repetitiu, de freqüència adequada i s’observa la descàrrega periòdica del condensador a la pantalla d’un oscil·loscopi.
En la placa RC-2 munteu el circuit de la figura 4, amb R = 10 kΩ i C = 1 nF.
Ajusteu la freqüència del generador a 1 kHz. Visualitzeu tots dos canals en pantalla i ajusteu els controls de l’oscil·loscopi per tal de veure més d’un cicle complet de càrrega i descàrrega. Amb els controls de base de temps i d’amplificació del canal 2, tracteu d’obtenir sobre la pantalla una imatge semblant a la figura 5.

Figura 4

Ajudant-vos dels cursors mòbils de l’oscil·loscopi (dos de tensió i dos de temps), obteniu una col·lecció de valors V(t). Preneu com a origen de tensions el valor asimptòtic al qual tendeix V(t). Mesureu, almenys, 15 punts. Calculeu τ amb el mateix tractament de dades que l’efectuat enl’apartat 5.3.1.
Un mètode més curt, però més imprecís, per calcular τ és el següent: determineu sobre la pantalla de l’oscil·loscopi, amb l’ajut dels cursors, el temps que ha trigat el condensador a passar d’una tensió qualsevol, V, a V/e. Aquest temps és la constant de temps del circuit.

Figura 5. Detall d’una corba de descàrrega observada a la pantalla de l’oscil·loscopi

Compareu els valors de t obtinguts amb el del producte de R i C (no oblideu que a R cal sumar la resistència interna del generador de 600 Ω).Tingueu en compte la incertesa en mesurar τ.

Vegeu les imatges de la pràctica

5.3.3. Aplicació de freqüències massa elevades

Amb el muntatge anterior, visualitzeu simultàniament els dos canals de l’oscil·loscopi i seleccioneu una base de temps que permeti veure diversos períodes, de manera que la imatge sigui semblant a la de la figura 2.
Observeu l’efecte de l’augment de la freqüència tenint en compte la relació entre la constant de temps i el període del senyal. Anoteu el valor de la freqüència per a la qual la càrrega i descàrrega sigui de la forma mostrada a la figura 3. Compareu aquesta freqüència amb 1/τ.

5.3.4. Mesura d’una capacitat desconeguda

A la placa RC-2, connecteu-hi el condensador de valor desconegut i una resistència coneguda convenient. Ajusteu els valors de la freqüència del generador, per poder observar còmodament a l’oscil·loscopi la corba de descàrrega de RC.
Procedint com a 5.3.2 (amb el mètode més imprecís de càlcul de τ sobre la pantalla de l’oscil.loscopi), mesureu la constant de temps; a partir d’aquesta i de R calculeu la capacitat de C i estimeu el marge d’error.

Vegeu les imatges de la pràctica

5.4. Realització de l’informe

Quan hàgiu omplert el full de mesures, responeu les qüestions següents:
1. Demostreu que el producte RC té dimensions de temps.
2. Calculeu el temps que ha de passar, mesurat en termes de la constant de temps, perquè la tensió d’un condensador, en descarregar-se, arribi a un 1 % de la tensió inicial.
3. A partir del resultat de la qüestió anterior, indiqueu quina limitació existeix en el valor màxim de la freqüència del senyal quadrat, per a un valor determinat de R i C, si es vol mesurar la constant de temps.