PRÀCTICA VIII

8. CONDUCTIVITAT ELÈCTRICA I EFECTE HALL

Resum. Les mesures elèctriques de conductivitat elèctrica i de l’efecte Hall permeten de determinar magnituds característiques de la conducció del corrent en materials. De l’estudi que s’efectua en aquest treball sobre una mostra semiconductora amb geometria de barra, s’obtenen la conductivitat elèctrica, el tipus de portadors, la seva densitat i la seva mobilitat.

8.1. Fonament

8.1.1. Conductivitat

En els materials òhmmics, la relació entre la densitat de corrent j i el camp aplicat E és:

| (1)

on la constant de proporcionalitat γ s’anomena conductivitat del medi, i és la inversa de la resistivitat ρ.
La densitat de corrent també es pot expressar en funció de la velocitat dels portadors v com:

| (2)

on n és el número de portadors per unitat de volum. Per als materials òhmics, la velocitat v és proporcional al camp E:

| (3)

on la constant de proporcionalitat µ s’anomena mobilitat. Comparant les equacions 1, 2 i 3, podem veure que:

| (4)

8.1.2. Mesura de la conductivitat

Per tal de mesurar la conductivitat d’un material amb geometria de barra el més senzill és fer elèctrodes a les cares 1 i 4 i mesurar la resistència amb un òhmmetre (figura 1). Això és equivalent a fer el muntatge de la figura 2, en què es fa circular una intensitat coneguda I entre 1 i 4, i es mesura la caiguda de tensió entre aquests punts.
No obstant això, aquest muntatge no dóna, en general, un valor correcte de la conductivitat. La lectura del voltímetre de la figura 2, o d’aquell que porta incorporat l’òhmmetre de la figura 1, és:

| (5)

on R14 és la resistència de la barra i R1 i R4 són les resistències dels contactes 1 i 4.

Figura 1

Figura 2

Una manera correcta de mesurar la conductivitat és amb quatre contactes (figura 3). El corrent circula entre 1 i 4, i la tensió es mesura entre 2 i 3. Per la branca del voltímetre es deriva una intensitat I′ negligible donada l’elevada resistència interna del voltímetre.

Figura 3

En aquest cas:

| (6)

i així es pot determinar la conductivitat si es coneix la separació entre 2 i 3 i la secció de la barra.

8.1.3. Efecte Hall

En la figura 4 es representa un conductor pel qual circula un corrent d’intensitat I en la direcció y. L’efecte Hall consisteix en el fet que, en aplicar un camp magnètic B en la direcció z perpendicular a les línies de corrent, apareix un camp elèctric en la direcció x.

Figura 4

Els portadors de corrent, electrons de càrrega negativa o forats de càrrega positiva, sota l’acció de la força de Lorentz es desvien de la seva trajectòria i s’acumulen a la cara lateral. En les figures 5 i 6 es representen ambdós casos.
La càrrega a la cara lateral crea un camp elèctric EH que se superposa a la força de Lorentz. Després d’un temps molt curt, en estat estacionari no hi ha força neta en la direcció x, EH = −v × B, i els portadors es mouen només en la direcció y.
Suposem que els contactes 2 i 3 siguin sobre una mateixa secció perpendicular a les línies de corrent; llavors, sense cap camp magnètic aplicat, la diferència de potencial entre ells és nul·la. En aplicar el camp B apareix la tensió de Hall, i si la distància entre els contactes és a, llavors V2 − V3 = VH = ± EH · a, on VH > 0 si el material és de tipus p i VH < 0 si és de tipus n. Naturalment aquests signes s’inverteixen si s’inverteix el sentit del camp magnètic, o el sentit del corrent o si es mesura V3 − V2.
L’efecte Hall permet, d’aquesta manera, de determinar si un material és de tipus p o tipus n. Per això cal tenir en compte la posició del contactes, el sentit del camp aplicat i el sentit en què es connecta el voltímetre.
A més, mesurant VH es determina la concentració de portadors n o p en el material, ja que:

| (7)

on RH= −1/(n q) és el coeficient Hall i q la càrrega de l’electró. Si el material és de tipus p, la densitat de portadors s’acostuma a representar per la lletra p. Així, doncs, en el cas de material d’aquest tipus totes les expressions són les mateixes amb la substitució de n per p. En particular RH = +1/(p q).

Figura 5

Figura 6

8.2. Dispositiu experimental

1 font de tensió
1 amperímetre
1 voltímetre
1 imant permanent, amb un camp de 0,21 T
1 mostra de material amb geometría de barra: la secció d’aquesta mostra és de 5 mm2 ; el seu gruix és d = 0,8 mm. Els contactes 2 i 3 són en dues seccions que disten 0,5 mm.

Figura 7. Disposició dels contactes a la mostra (vista per la cara del davant).

8.3. Procediment experimental

Nota. La mostra que s’ha de mesurar està penjada verticalment al final d’un braç d’alumini. La correspondència de la geometria de la figura 4 es veu en la figura 7. Ha estat encapsulada per tal de protegir-la. L’encapsulant de la cara del davant de la mostra es veu, mentre que per la cara posterior està adherida al suport d’alumini.

8.3.1. Mesura de la conductivitat

Munteu el circuit de la figura 3 amb el «High» (+) del voltímetre connectat a 2 i el «Low» (−) a 3. El corrent ha de circular d’1 a 4. L’escala del voltímetre ha de ser l’adequada per apreciar dècimes de mil·livolt. Seleccioneu l’escala de 100 mA en l’amperímetre. Llegiu la tensió per a diferents valors de la intensitat I14, i obteniu així una col·lecció d’unes 20 mesures V(I) uniformement distribuïdes al llarg del rang estudiat.

Vegeu les imatges de la pràctica

8.3.2. Observació de l’efecte Hall. Determinació del tipus de portadors

Nota. En la pràctica, els contactes 2 i 3 de la mesura de conductivitat es faran servir també per mesurar el coeficient de Hall. Com que aquests contactes no són en la mateixa secció perpendicular al corrent, ja abans d’aplicar el camp magnètic, hi ha una diferència de potencial V23 entre ells. La tensió de Hall és l’increment o la disminució de la tensió que s’observa en aplicar el camp B en un sentit o en l’oposat.
Amb el mateix circuit de la figura 3, moveu acuradament l’imant fins a situar la mostra al mig del seu entreferro. Observeu si la lectura de tensió augmenta o disminueix en aplicar el camp magnètic, i tenint en compte el sentit del camp B i de la intensitat I que circula per la mostra, identifiqueu si es tracta d’un material de tipus p o bé de tipus n. Tingueu en compte que cal ajustar la tensió de la font per tal que el corrent sigui suficient perquè aquest efecte sigui prou visible.

Vegeu les imatges de la pràctica

8.3.3. Mesura del coeficient de Hall

Ajusteu el valor de la intensitat I14 a 10 mA i amb la mostra a l’entreferro mesureu la tensió V23. Moveu l’imant fins a apartar-lo de la mostra, gireu-lo 180° per intercanviar la posició dels pols N i S, i acosteu-lo a la mostra fins que aquesta quedi situada de nou a l’entreferro. Anoteu la nova lectura del voltímetre.
Com que la tensió de Hall VH sempre està superposada a la V23 mesurada sense camp, i COM que VH pot ser positiu o negatiu depenent del sentit del camp aplicat, tenim que V+ = V23 + |VH| i V = V23 − |VH| on V+ i V− són les mesures de tensió fetes en els dos sentits del camp d’aplicació. Les expressions anteriors permeten de calcular VH mitjançant: VH = (V+ − V−)/2
Obteniu una col·lecció d’unes 20 mesures de |VH|(I) ben distribuïdes en el mateix rang estudiat a 8.3.1.

8.4. Realització de l’informe

• De 8.1
— Havent vist que VH = EHa i EH = Bv, i utilitzant l’equació 2, demostreu l’equació 7.

• De 8.3.1
— Elaboreu la taula de valors V, I.
— Representeu gràficament V(I).
— Feu una regressió lineal per determinar R23 i a partir d’aquí la conductivitat.

• De 8.3.2
— Indiqueu el sentit del camp, del corrent, la connexió del voltímetre i el signe de l’increment de tensió observat. El material és de tipus n o p?

• De 8.3.3
— Doneu la taula de valors V+, V−, |VH|, I.
— Representeu gràficament |VH|(I).
— Feu una regressió lineal per determinar el coeficient de Hall i a partir d’aquest la concentració, p o n, de portadors.
— A partir de la conductivitat, σ, i de la concentració de portadors, p o n, calculeu la mobilitat dels portadors, µ.
— En aplicar el camp magnètic, a més de la tensió de Hall, n’ hi ha una altra de menor que se li superposa: és la tensió de magnetoresistència, que és proporcional a B2. Justifiqueu si, tal com s’han fet les mesures, aquesta tensió apareix superposada a la tensió de Hall, VH, obtinguda, i si això ha comportat una mesura errònia de la densitat de portadors.