| 2.1. Introducció La major part de l’energia elèctrica utilitzada en l’actualitat és produïda en forma de corrent altern per generadors elèctrics. Aquests, proporcionen una tensió alterna sinusoïdal que es pot escriure de la forma:
| (1)
on v(t) és la tensió en l’instant t, V0 el valor màxim o amplitud i ω la pulsació o freqüència angular, que es relaciona amb el període, T, mitjançant la relació ω = 2π/T. (Per al cas de la xarxa elèctrica la freqüència és f = 1/T = 50 Hz.) En alimentar un circuit elèctric amb una tensió alterna sinusoïdal s’estableix, després d’un règim transitori, un règim permanent forçat en què el corrent és també sinusoïdal amb una certa amplitud, I0, i amb la mateixa pulsació:
| (2)
ara, però, pot aparèixer un cert desfasament, φ, entre la intensitat i la tensió, depenent dels elements que formin el circuit. La relació entre les amplituds de la tensió aplicada i la intensitat que hi circula s’anomena impedància del circuit:
| (3)
La impedància d’un circuit presenta una dependència amb la pulsació de tal manera que si el circuit està constituït únicament per una resistència òhmica, R, la impedància és constant:
| (4)
Si el circuit està constituït únicament per una autoinducció, L, la impedància és proporcional a la pulsació:
| (5)
Si el circuit està constituït únicament per una capacitat, C, la impedància és inversament proporcional a la pulsació:
| (6)
Aquests casos corresponen a circuits en els quals l’expressió de la impedància és simple. En general, per a circuits més complicats és aconsellable utilitzar el formalisme de nombres complexos per determinar la impedància. Per tal de mesurar tensions i corrents alterns utilitzarem respectivament voltímetres i amperímetres, connectats com s’indica en la pràctica 1 (vegeu l’apartat 1.1.3. Connexió d’aparells de mesura). Aquests aparells estan dissenyats per mesurar valors eficaços (valors quadràtics mitjans). Els valors eficaços de la tensió Vef i de la intensitat Ief es defineixen com:
| (7)
Atès que v(t) i i(t) són sinusoïdals, els valors eficaços seran:
| (8)
(El valor mitjà de és: ) De l’expressió (8) es dedueix fàcilment que la relació entre la tensió eficaç i la intensitat eficaç també és la impedància:
| (9)
2.2. Material 1 placa de connexions 2 resistències d’1 kΩ (R i R1) 1 condensador de capacitat C = 33 nF 1 bobina d’autoinducció L = 27 mH 1 oscil·loscopi 1 generador de funcions 1 voltímetre 1 amperímetre 2.3. Realització experimental 2.3.1. Relació entre l’amplitud de la tensió i la tensió eficaç Connecteu la sortida de 600 Ω del generador de funcions al canal X de l’oscil·loscopi utilitzant dos cables coaxials i la taula de connexions. Seleccioneu una freqüència de treball d’uns 6 kHz i col·loqueu el comandament d’amplitud del generador en una posició mitjana. Mesureu a la pantalla de l’oscil·loscopi amb l’ajut dels cursors l’amplitud del senyal subministrat pel generador, V0, i anoteu el valor obtingut en el full de dades. Connecteu ara el voltímetre en paral·lel amb el canal X de l’oscil·loscopi i anoteu el valor de la tensió indicada pel voltímetre, Vef. Caldrà que el voltímetre estigui en mode AC (alternating current). Comproveu que la relació entre les tensions V0 i Vef correspon a la de l’expressió (8). 2.3.2. Comprovació de la llei d’Ohm en corrent altern Munteu el circuit que es representa en la figura 1 de manera que es puguin mesurar simultàniament la intensitat que travessa l’element Z i la caiguda de potencial entre els seus dos extrems. L’element representat per Z serà en primer lloc una resistència R, a continuació una bobina d’autoinducció L i finalment un condensador de capacitat C. Seleccioneu el senyal sinusoïdal del generador de funcions i connecteu la sortida de 600 Ω al circuit. Utilitzeu com a freqüència de treball uns 6 kHz. Atès que el senyal subministrat és altern caldrà seleccionar el mode AC del voltímetre i de l’amperímetre. Podeu mesurar la freqüència amb qualsevol dels dos multímetres prement la tecla «Hz».
Figura 1
2.3.2.1. Impedància resistiva Poseu en primer lloc la resistència i mesureu amb el voltímetre i l’amperímetre tres parells de valors de tensió i d’intensitat, que anotareu al corresponent full de pràctiques (utilitzeu tensions que us permetin mesurar els valors de tensió i d’intensitat com a mínim amb quatre dígits). Calculeu per a cada parell de valors la impedància d’aquesta resistència; aquests valors també els heu d’incloure a la taula. 2.3.2.2. Impedància inductiva A continuació, substituïu la resistència anterior per la bobina i mesureu, com abans, tres parells de valors de tensió i d’intensitat. Calculeu per a cada parell de valors la impedància de la bobina. 2.3.2.3. Impedància capacitiva Repetiu les mesures anteriors, però ara substituint la bobina pel condensador. 2.3.3. Estudi del comportament del circuit en funció de la freqüència En els propers tres subapartats estudiarem com varien cadascuna de les tres impedàncies (ZR, ZL i ZC) en funció de la freqüència angular de la tensió aplicada. Manteniu la tensió subministrada pel generador en uns 2 V. 2.3.3.1. Impedància resistiva Treballant amb l’esquema de la figura 1 i fent que Z sigui la resistència R, mesureu la tensió aplicada i la intensitat que hi circula per a cinc valors de la freqüència: 3,0, 4,5, 6,0, 7,5 i 9,0 kHz. Calculeu la impedància del circuit en cada cas. 2.3.3.2. Impedància inductiva Repetiu les mesures a freqüències idèntiques per al cas de la bobina. 2.3.3.3. Impedància capacitiva Repetiu les mesures a freqüències idèntiques per al cas del condensador. A continuació, representeu en la graella que hi ha en el full de pràctiques els valors de ZR, ZL i ZC en funció de la freqüència angular ω (recordeu que ω = 2πf). A partir d’aquesta representació podeu deduir els valors de la resistència R i de l’autoinducció L de la bobina mitjançant les regressions lineals corresponents. Per calcular la capacitat C del condensador representarem en una segona graella 1/ZC en funció de la freqüència angular ω per tal d’obtenir també una dependència lineal. Feu els càlculs i compareu-los amb els teòrics (els que es donen en aquest guió de pràctiques). 2.3.4. Suma de tensions d’impedàncies connectades en sèrie A continuació munteu el circuit que es mostra en la figura 2. En el circuit, la resistència R1 es mantindrà fixa, mentre que l’element marcat com a Z s’anirà canviant per una resistència, una bobina i un condensador. Poseu al generador de tensió una freqüència de 5 kHz i un voltatge d’uns 5 V.
Figura 2
Col·loqueu en primer lloc la resistència R en el lloc de Z i mesureu amb el voltímetre la caiguda de tensió a les dues resistències (VR1 i V Z) i la caiguda de tensió total (Vtot, exp). Anoteu aquests valors en el full de pràctiques. Tot seguit, substituïu la resistència R per la bobina, mesureu la caiguda de tensió a la resistència (VR1) i a la bobina (VZ), i la caiguda de tensió total (Vtot, exp). Repetiu les mesures posant el condensador en el lloc de la bobina. Observareu que la suma de les tensions parcials (VR1 + VZ) només en un cas és igual a la de la tensió total (Vtot, exp). Això és degut a la diferència de fase entre el voltatge aplicat i la intensitat que circula pel circuit quan no hi ha una resistència pura. En general, les expressions del voltatge i de la intensitat seran:
| (10)
on els desfasaments de la tensió i la intensitat són φV i φI respectivament. Per comprovar que hi ha aquesta diferència de fase utilitzarem un oscil·loscopi. Incorporeu l’oscil·loscopi al muntatge de la manera que indica la figura 3.
Figura 3
Connecteu el canal X de l’oscil·loscopi entre A i B i el canal Y entre C i B. Tingueu present que els endolls negres de les sondes (tots dos connectats a la massa de l’aparell) han d’anar situats al mateix punt, en aquest cas al punt de referència, B. En aquest muntatge, la tensió VAB (tensió que cau a la resistència òhmica R1) permet de visualitzar la intensitat que circula pel circuit i, per tant, per Z. La tensió VCB permet de visualitzar directament la tensió que cau en l’element Z. Poseu l’oscil·loscopi en mode base de temps de manera que vegeu tots dos canals alhora. Ara podeu calcular el desfasament entre els dos senyals, que serà el mateix que hi ha entre el voltatge i la intensitat. La diferència de fase entre dos senyals de la mateixa freqüència pot determinar-se si es visualitzen els dos senyals a la pantalla de l’oscil·loscopi i es mesuren el temps t i el període T que s’indiquen a la figura 4. Per mesurar-los podeu utilitzar els cursors de temps. Cal tenir present que, per la manera de connectar les sondes (amb els dos endolls negres al punt B del circuit), esteu introduint un desfasament de 180°, ja que mesureu VAB i VCB en lloc de VAB i VBC. Aquest desfasament instrumental no pot corregir-se permutant els connectors d’una de les sondes (proveu de fer-ho i observeu-ne el resultat), i cal corregir-lo matemàticament invertint a l’oscil·loscopi el signe d’un dels dos senyals (demaneu ajuda al professor per saber com fer-ho).
Figura 4
La diferència de fase en graus, φ, és donada per:
| (11)
Per als tres casos considerats (posant en el lloc de Z la resistència R , l’autoinducció L i el condensador C ) mesureu el desfasament entre la tensió i la intensitat amb la precisió més gran possible. Anoteu els resultat i dibuixeu en el full d’informe les figures que heu observat a l’oscil·loscopi. Identifiqueu clarament els dos senyals observats i poseu especial atenció en el signe del desfasament. Representació de fasors Les relacions entre el voltatge total mesurat en cada cas i la suma dels voltatges parcials, també poden establir-se si tractem les magnituds sinusoïdals com a fasors. En aquest cas, a cada magnitud depenent del temps, s’hi associa un vector de mòdul la seva amplitud i amb un angle respecte a l’eix x que serà el seu desfasament en el temps inicial (figura 5). Així representats, els fasors poden sumar-se de la mateixa manera que es faria amb dos vectors. Per al cas de l’associació sèrie, atès que la intensitat és la mateixa per a tots els elements, representarem la intensitat en l’eix de les x i referirem a aquest eix les magnituds de les diferents tensions del circuit. Per al cas de dos elements la tensió suma s’obtindrà gràficament com es mostra en la figura 6. La tensió resultant es calcula aplicant la relació geomètrica següent:
| (12)
Atès que coneixeu el mòdul i la fase de les tensions VR1 i VZ, feu la representació amb fasors pels casos de la bobina i el condensador i calculeu el mòdul de la seva suma (Vtot, calc). Comproveu que, ara, aquest valor sí que coincideix amb el valor mesurat de la tensió total (Vtot, exp).
Figura 5 | Figura 6
2.4. Elaboració de l’informe Calculeu la relació entre les tensions V0 i Vef. Completeu la taula de l’apartat 2.3.2. Completeu la taula de l’apartat 2.3.3 i feu les representacions de ZR, ZL, ZC i 1/ZC en funció de la pulsació. Presenteu el resultat de les regressions i compareu els valors de R, L i C que es dedueixen de les regressions amb els corresponents valors nominals. Completeu la taula de l’apartat 2.3.4 per a la suma de tensions d’impedàncies connectades en sèrie. Dibuixeu les figures observades a l’oscil·loscopi que mostren el desfasament entre la tensió i la intensitat en els tres casos considerats. Indiqueu el període, la freqüència, el temps (t) i l’angle de desfasament (φ) que se’n dedueix. Feu la representació amb fasors corresponent a les associacions sèrie R-L i R-C. 2.5. Qüestions Q2.1. Dibuixeu un esquema d’un muntatge que permeti de visualitzar en la pantalla d’un oscil·loscopi la intensitat que circula per un dispositiu elèctric en funció de la tensió aplicada. Indiqueu clarament la connexió de les masses i quin canal de l’oscil·loscopi ens permet visualitzar la tensió i quin la intensitat. Q2.2. Indiqueu com mesuraríeu una tensió eficaç utilitzant un oscil·loscopi. Q2.3. Expliqueu breument el moviment dels electrons en un conductor quan hi circula a) un corrent continu, b) un corrent altern i c) un corrent continu i un corrent altern alhora. Q2.4. Indiqueu l’expressió de la impedància d’un circuit RLC sèrie. Per a un valor donat de la tensió aplicada, a quina freqüència la intensitat que travessa el circuit és màxima? Q2.5. Feu una representació de dos senyals sinusoïdals desfasats 90°. Indiqueu quin senyal va avançat i quin retardat. Si el senyal avançat correspon a la intensitat que circula per un component elèctric i el retardat a la tensió entre els extrems del component, digueu de quin tipus de component es tracta. Raoneu la resposta. BIBLIOGRAFIA Tipler, P. A. Física para la ciencia y la tecnología. Barcelona: Reverté, 1999, vol. 2, cap. 31. Sears, F. W.; Zemansky, M. W.; Young, H. D.; Freedman R. A. Física universitaria. Mèxic: Addison Wesley Longman, 1999, vol. 2, cap. 32. |