| 4.1. Introducció 4.1.1. Lleis de l’òptica geomètrica i índex de refracció L’òptica geomètrica es fonamenta en els axiomes de la propagació rectilínia de la llum i de les lleis de Descartes: conservació del pla d’incidència i lleis de la reflexió i de la refracció. Quan un raig de llum incideix sobre una superfície que separa dos medis d’índexs de refracció diferents part del raig es reflecteix, mentre que la resta penetra en el segon medi. Les direccions del raig incident i del raig reflectit estan relacionades per la llei de la reflexió:
| (1)
Les direccions del raig incident i del raig refractat estan relacionades a través de la llei de refracció (o de Snell):
| (2)
on n1 i n2 són els índexs de refracció dels dos medis, i θ1 i θ2, els angles d’incidència i de refracció respectivament. L’índex de refracció d’un medi és el quocient entre les velocitats de propagació de la llum en el buit i en aquest medi, i pren sempre valors n ≥ 1. D’acord amb l’expressió 2, si es coneix n1 (índex de refracció de l’aire, que val aproximadament 1) i es mesuren experimentalment els angles θ1 i θ2 es pot determinar l’índex de refracció del segon medi n2. Una altra manera de determinar l’índex de refracció és mitjançant la mesura de l’angle límit. Aquest angle és aquell valor de l’angle d’incidència a partir del qual (per a angles superiors) no existeix llum refractada; apareix el fenomen de la reflexió total interna:
| (3)
Aquest fenomen s’esdevé només quan l’índex de refracció del medi des del qual incideix la llum és més gran que el del segon medi (n1 > n2). 4.1.2. Trajectòria dels raigs de llum en miralls i lents i formació d’imatges La formació d’imatges en miralls i lents constitueix un dels aspectes més bàsics de l’òptica geomètrica. Anomenarem eix principal d’un sistema centrat la recta que uneix els centres de curvatura amb els centres de les superfícies del elements del sistema. Definirem el punt focal del sistema com aquell punt de l’eix òptic en el qual es tallen els raigs que arriben al sistema viatjant paral·lels a l’eix òptic, o bé les seves prolongacions. Per al cas dels miralls esfèrics, parlarem de miralls còncaus o miralls convexos segons la reflexió es faci en el costat còncau o el convex, respectivament. En l’aproximació paraxial (consistent en el fet que els raigs de llum formin angles petits amb l’eix òptic i, per tant, siguin vàlides les aproximacions θ (en rad) ≈ sin θ ≈ tan θ) , el radi de la superfície del mirall (R) es relaciona amb la focal (f) per:
| (4)
Una lent prima es pot considerar com un sistema òptic delimitat per dues superfícies esfèriques en què el gruix és negligible enfront de cada un dels radis de les superfícies (R1, R2). Tota lent prima té dos focus (F, F′) situats sobre l’eix principal i a igual distància del centre de la lent. Aquesta distància s’anomena distància focal de la lent (f). El focus imatge F′ és el punt de l’eix principal en què es tallen els raigs que han entrat en el sistema paral·lels a l’eix principal. De manera anàloga, els raigs que procedeixen del focus objecte F surten paral·lels entre si i respecte de l’eix principal, després de travessar la lent. El centre d’una lent prima té la propietat de no desviar els raigs que hi passen.
Figura 1. Representació de la trajectòria dels raigs per a una lent convergent: (a) focus objecte, (b) focus imatge
S’anomena potència d’una lent la magnitud inversa de la distància focal (f). Si aquesta darrera s’expressa en metres, la potència queda expressada en diòptries. Les lents convergents tenen focals i, per tant potències positives, mentre que les divergents les tenen negatives. La relació entre la distància objecte (s), la distància imatge (s′) i la focal (f) s’expressa per:
| (5)
En aquest cas el conveni de signes que s’ha d’utilitzar és el següent: Un objecte és real i la distància objecte és positiva si l’objecte és al mateix costat de la lent o del mirall que la llum abans de reflectir-se o refractar-se. En cas contrari l’objecte és virtual i la distància objecte és negativa. Una imatge és real i la distancia imatge és positiva si la imatge es forma en el mateix costat en què la llum es mou després d’haver-se reflectit o refractat. En cas contrari la imatge és virtual i la distància imatge és negativa. El radi de curvatura d’una superfície reflectora o refractiva és positiu si el centre de curvatura és al mateix costat de la superfície que la llum després d’haver-se reflectit o refractat. En cas contrari el radi és negatiu. La relació entre la grandària d’una imatge (y′) i la de l’objecte corresponent (y) és el que s’anomena augment lateral (m), i val:
| (6)
4.2. Material Banc òptic font lluminosa multiús disc giratori graduat (goniòmetre) amb suport peça semicilíndrica de metacrilat 2 lents cilíndriques de metacrilat (convergent i divergent) peça amb tres superfícies emmirallades (plana, còncava i convexa) 2 lents amb portadiafragmes (f = 100 mm i f = 200 mm) pantalla 4.3. Realització experimental 4.3.1. Mesura de l’índex de refracció Munteu la font lluminosa i el disc giratori amb els suports respectius en el banc òptic (figura 2). La font ha d’estar situada de manera que la part amb múltiples escletxes apunti cap al disc. Ajusteu la màscara d’escletxes de manera que la font projecti un únic raig de llum al llarg del centre del disc. Gireu el disc fins que el raig passi simultàniament pels dos zeros.
Figura 2
A continuació, situeu la peça semicilíndrica de manera que la part plana estigui alineada amb la perpendicular al raig, i desplaceu-la lleugerament al llarg d’aquesta línia fins que aconseguiu que el raig emergent passi novament pel zero. Això indicarà que el raig incideix ben bé pel centre de la cara plana, i que, independentment de l’angle d’incidència, la refracció es produirà en la direcció d’un radi de la superfície cilíndrica i, per tant, hi farà incidència normal i no patirà cap desviació en travessar aquesta segona superfície. Varieu l’angle d’incidència des de 0° fins a 80° a intervals de 5° i mesureu els angles de refracció corresponents. En fer la representació gràfica de sin θ1 en funció de sin θ2 podreu observar una dependència lineal on el pendent correspondrà al quocient n2/n1. L’ajust de la recta pel mètode dels mínims quadrats permetrà, doncs, obtenir el valor de n2 (n1 = 1). 4.3.2. Mesura de l’angle límit Munteu la peça de plàstic amb la part corba cap al focus lluminós, mantenint la part plana sobre un diàmetre de la plataforma i procurant que la incidència sobre la superfície plana s’esdevingui en el seu centre, de manera que no hi hagi canvi de la direcció del raig en travessar la primera superfície. Observeu el raig reflectit i el refractat. Mesureu directament l’angle límit i deduïu l’índex de refracció calculat mitjançant l’expressió 3 (tingueu present que ara el medi 1 és el plàstic i el 2, l’aire). 4.3.3. Trajectòria dels raigs de llum en miralls i lents Desmunteu la font del seu suport i poseu-la plana sobre la taula, de manera que la part amb cinc escletxes dibuixi cinc raigs de llum paral·lels. Dibuixeu sobre un full de paper blanc una línia recta que farà el paper d’eix principal. Col·loqueu el full a continuació de la font de manera que el raig central coincideixi amb la línia dibuixada. Col·loqueu la peça emmirallada sobre el paper, fent incidir els raigs paral·lels sobre la cara còncava (figura 3). Feu que els raigs reflectits es tallin en un punt situat sobre l’eix principal i que el raig que viatgi al llarg de l’eix òptic no es desviï. Dibuixeu sobre el paper el perfil del mirall i la marxa dels raigs. Mesureu sobre el paper la distància focal i, amb l’ajut d’un compàs, el radi de curvatura de la cara còncava. Repetiu l’experiència per a la cara convexa. En aquest cas la distància focal serà definida per la prolongació cap enrere dels raigs reflectits. Comproveu que les distàncies focals compleixen l’expressió 4.
Figura 3
Col·loqueu la lent cilíndrica convergent de metacrilat sobre el paper de manera que els raigs refractats es tallin en un punt situat sobre el traç indicatiu de l’eix principal. Marqueu amb llapis sobre el paper el contorn de la lent i la marxa dels raigs incidents i refractats. Per determinar la focal procediu de la manera següent: una vegada tingueu el dibuix de la lent i dels raigs, prolongueu els raigs emergents cap a l’interior de la lent i feu el mateix per als raigs incidents paral·lels. Traceu un eix imaginari que passi pels punts de tall d’aquestes dues prolongacions (si tot va bé, aquest eix serà perpendicular a l’eix òptic). El punt de tall d’aquest eix imaginari amb l’eix òptic proporciona l’origen de referència (centre de la lent) amb què es pot mesurar la distància focal. A continuació, col·loqueu sobre un nou eix òptic, indicat en el paper, el model de lent divergent, de manera que el seu focus imatge, definit per la prolongació cap enrere dels raigs refractats, coincideixi amb un punt de l’eix principal situat a l’esquerra de la lent. Com abans, dibuixeu el contorn de la lent i determineu la posició del focus imatge, marcant sobre el paper la marxa dels raigs incidents i refractats. Repetiu el procediment anterior per a l’associació de les dues lents (convergent + divergent). 4.3.4. Mesura de la distància focal i formació d’imatges Munteu novament la font lluminosa sobre el seu suport i situeu-la en un extrem del banc òptic. Ara caldrà utilitzar la part en què hi ha l’objecte format per les dues fletxes i els dos cercles. Situeu la lent de 100 mm de focal sobre el banc òptic i la pantalla en l’altre extrem del banc. Fixeu ara una distància entre l’objecte i la pantalla de 90 cm i busqueu la posició o posicions de la lent tals que sobre la pantalla s’observi una imatge nítida. Anoteu les distàncies objecte-lent (s) i imatge-lent (s′) resultants (figura 4). Mesureu sobre la pantalla el diàmetre d’un dels cercles i anoteu-ne el valor (y′). Observeu els sentits de les fletxes i compareu-los amb els de l’objecte. En cas que hi hagi inversió, caldrà canviar el signe de y′.
Figura 4
Aneu disminuint a intervals de 10 cm la distància de separació entre objecte i pantalla fins que no pugueu veure cap imatge sobre la pantalla, i repetiu per cada distància el mateix procés. Mitjançant l’equació 5 podreu calcular el valor de la distància focal per a cada parell de valors s i s′. A partir dels valors de s i s′ i de y′ i la mateixa dimensió mesurada sobre l’objecte (y) podeu comprovar l’equació 6. Canvieu la lent de 100 mm de focal per la de 200 mm i situeu-la a uns 40 cm de l’objecte. Desplaceu la pantalla fins a observar-hi la imatge i mesureu la distància imatge-lent (s′). Retireu la pantalla i situeu-vos sobre l’eix òptic i, allunyats de la taula, mirant cap a l’objecte. Intenteu acomodar l’ull fins a veure la mateixa imatge que heu vist projectada sobre la pantalla. Ara, situeu la lent just a 20 cm de l’objecte i intenteu localitzar la imatge amb la pantalla. En aquest cas, arès que l’objecte està situat just sobre el focus objecte, la seva imatge es forma a l’infinit. Retireu la pantalla, situeu-vos novament sobre l’eix òptic i observeu què passa en bellugar lleugerament la lent al voltant de la seva posició. Finalment, desplaceu la font amb l’objecte fins a una posició al voltant de 25 cm d’un extrem del banc, i situeu la lent de 200 mm de focal a 10 cm de l’objecte. Intenteu localitzar novament la imatge amb la pantalla. Comprovareu que la imatge no pot projectar-se sobre la pantalla (figura 5a). En aquest cas, la imatge és virtual. Podeu situar-vos sobre l’eix òptic i mirant cap a la font i observareu com la imatge es troba darrere la lent. Una manera de mesurar la posició d’aquesta imatge virtual és utilitzar-la com a objecte per formar una imatge real amb una altra lent. I posteriorment, mantenint fixades les posicions de la pantalla on s’ha format aquesta imatge real i la d’aquesta segona lent, buscar on cal situar un objecte real perquè la imatge es formi en el mateix lloc. Per fer-ho, situeu la lent de 100 mm a continuació de la lent de 200 mm i la pantalla a l’extrem més allunyat del banc òptic. Desplaceu la lent de 100 mm fins que formeu una imatge real sobre la pantalla (l’objecte que produeix aquesta imatge real amb aquesta lent és la imatge que s’ha obtingut amb la lent de 200 mm) (figura 5b). Mantenint ara les posicions de la lent de 100 mm i de la pantalla, el que caldrà fer serà retirar la lent de 200 mm i desplaçar la font amb l’objecte fins trobar per quina posició obtenim una imatge nítida sobre la pantalla (figura 5c). La posició actual d’aquest objecte és la mateixa que la posició del que abans feia d’objecte, és a dir, la imatge virtual obtinguda a través de la primera lent. Considerant la posició on estava la lent de 200 mm, podeu mesurar la distància imatge de la imatge virtual obtinguda anteriorment i comprovar l’equació 5 (recordeu que ara la distància imatge serà negativa).
Figura 5
4.4. Elaboració de l’informe De l’apartat 4.3.1: Presenteu la taula de valors de θ1, θ2, sin θ1 i sin θ1 per al plàstic. Presenteu la gràfica i la corresponent regressió lineal de sin θ1 en funció de sin θ2. Feu que la recta passi per l’origen. Indiqueu el valor obtingut de l’índex de refracció del plàstic amb aquest mètode i estimeu l’error comès. De l’apartat 4.3.2: Calculeu el valor de l’índex de refracció del plàstic a partir dels valors de l’angle límit. De l’apartat 4.3.3: Determineu la distància focal i el radi per a cada mirall i comproveu l’expressió 4. Determineu la distància focal i la potència de les dues lents a partir de l’esquema de la marxa de raigs que les travessen. Determineu així mateix la distància focal i la potència de l’associació de dues lents en contacte (convergent + divergent). Quines conclusions de caràcter qualitatiu obteniu de la col·locació de dues lents juntes l’una al costat de l’altra? De l’apartat 4.3.4: Presenteu la taula de valors corresponent a les diferents distàncies objecte, les distàncies imatge, les dimensions de la imatge, la focal corresponent i les relacions −s′/s i y′/y. Calculeu la distància focal de la lent fent el promig dels valors calculats. Justifiqueu a partir de l’equació 5 el que heu observat per a les tres distàncies objecte que heu provat amb la lent de 200 mm. En el cas de la imatge virtual, presenteu el càlcul de la seva posició amb el mètode descrit i calculeu la distància focal de la lent. 4.5. Qüestions Q4.1. Expliqueu què és l’índex de refracció d’un material i digueu quins valors pot presentar. Poseu alguns exemples. Q4.2. Raoneu si les afirmacions següents són correctes: a) En una lent convergent, la distància imatge sempre és positiva. b) Una lent divergent no pot formar imatges reals d’objectes reals. c) Una imatge virtual no pot ser recollida en una pantalla. Q4.3. Un objecte lluminós està separat una distància fixa, D, d’una pantalla. a) Justifiqueu amb el diagrama de raigs quin tipus de lent situada entre l’objecte i la pantalla dóna una imatge real sobre la pantalla. b) Demostreu que, en general, hi ha dues posicions de la lent per les quals es forma una imatge nítida a la pantalla. c) Per a quina distància D només hi ha una posició? BIBLIOGRAFIA Tipler, P. A. Física para la ciencia y la tecnología. Barcelona: Reverté, 1999, vol. 2, cap. 33-34. Sears, F. W.; Zemansky, M. W.; Young, H. D.; Freedman R. A. Física universitaria. Mèxic: Addison Wesley Longman, 1999, vol. 2, cap. 34-35. |