Subsecciones

3 Campo magnético creado por una corriente estacionaria

Hemos visto como una carga eléctrica en movimiento genera un campo magnético.

Una corriente eléctrica fluyendo por un conductor es precisamente una colección de cargas eléctricas en movimiento. Cada una de estas cargas generará un campo magnético de acuerdo con la expresión 5.

3.1 Campo creado por un elemento de corriente

Consideremos un elemento de corriente: es decir, un pequeño segmento dl de un conductor por el que circula una corriente de intensidad I (ver figura 4).

En un instante de tiempo la carga móvil dq contenida en dicho segmento genera un campo magnético igual a

$\displaystyle \overrightarrow{dB}$ = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}}}{{4\pi}}}$dq$\displaystyle {\frac{{\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{r}}}{{r^{3}}}}$ (6)
donde $ \overrightarrow{r}$ es el vector posición del punto donde calculamos el campo con respecto al elemento de corriente , y $ \overrightarrow {v}$ es la velocidad de las cargas en dicho segmento de conductor; es decir: la velocidad de deriva (para simplificar suponemos que las cargas móviles son positivas, con lo que el sentido de la corriente es idéntico al sentido de movimiento de los portadores de carga).

La velocidad de deriva puede calcularse a partir del tiempo dt que tardan las cargas en recorrer el segmento dl

v = $\displaystyle {\frac{{dl}}{{dt}}}$

y, por otra parte, la intensidad I de corriente que circula por el conductor es precisamente la carga dq dividida por el tiempo dt que tarda en recorrer el segmento dl , es decir

I = $\displaystyle {\frac{{dq}}{{dt}}}$

Por lo tanto

dq . v = I . dl

Vectorialmente:

dq . $\displaystyle \overrightarrow{v}$ = I . $\displaystyle \overrightarrow{dl}$ (7)
dónde hemos definido el vector $ \overrightarrow{dl}$ como un vector de módulo dl y dirección y sentido según el movimento de las cargas, es decir, según el sentido de la corriente.

Introduciendo la relación 7 en la expresión 6, obtenemos que el campo magnético creado por un elemento de corriente:

$\displaystyle \overrightarrow{dB}$ = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}}}{{4\pi}}}$I$\displaystyle {\frac{{\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{r}}}{{r^{3}}}}$ (8)
expresión que se conoce como Ley de Biot-Savart.

Figura 4: Campo magnético creado por un elemento de corriente (segmento dl de un conductor por el que fluye una corriente de intensidad I).
\includegraphics[%
width=0.30\textwidth,
keepaspectratio]{BiotSavart.eps}

Si tenemos expresamos la intensidad I que atraviesa el elmento dl en función de la densidad de corriente j:

I = jds

dónde ds es la sección del elemento de corriente; y si tenemos en cuenta que $ \overrightarrow{dl}$ y $ \overrightarrow{j}$ tienen la misma dirección, con lo que

I$\displaystyle \overrightarrow{dl}$ = $\displaystyle \overrightarrow{j}$dsdl = $\displaystyle \overrightarrow{j}$dv

siendo dv el volumen del elemento de corriente. Entonces la Ley de Biot-Savart también puede expresarse de la siguiente forma

$\displaystyle \overrightarrow{dB}$ = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}}}{{4\pi}}}$$\displaystyle {\frac{{\overrightarrow{j}\wedge\overrightarrow{r}}}{{r^{3}}}}$dv

3.2 Campo creado por un circuito

La ley de Biot-Savart proporciona el campo magnético en un punto debido a un pequeño elemento diferencial del conductor. Para calcular el campo magnético total $ \overrightarrow {B}$ debido a un circuito cerrado C por el que discurre una corriente de intensidad I, se deben sumar (principio de superposición) las contribuciones de todos los elementos de corriente que constituyen el circuito:

$\displaystyle \overrightarrow{B}$ = $\displaystyle \oint_{{C}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{dB}$ = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}I}}{{4\pi}}}$$\displaystyle \oint_{{C}}^{}$$\displaystyle {\frac{{\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{r}}}{{r^{3}}}}$

expresión que también se denomina 1a Ley de Laplace.

3.3 Ejemplos

Campo magnético creado por un conductor rectilíneo

(Ver problema 5.2)

Campo magnético creado por una espira de corriente

(Ver problema 5.3)

Campo magnético en el plano de simetría de una distribución de corriente

Se puede demostrar que si una distribución de corriente tiene un plano de simetría (es decir, el plano divide la distribución en dos partes siendo la una la imagen especular de la otra), el campo magnético en los puntos del plano es perpendicular al plano o nulo.

Para demostrar esta propiedad podemos descomponer el circuito en elementos de corriente y comprobar que para cada par de elementos simétricos ésto se cumple.

Así, consideramos dos elementos del circuito $ \overrightarrow{dl}_{{1}}^{}$ y $ \overrightarrow{dl}_{{2}}^{}$ recorridos por la misma corriente I y simétricos respecto un plano $ \pi$ . Ambos elementos pueden descomponerse en una componente perpendicular al plano ( $ \overrightarrow{dl}_{{\bot}}^{}$ ) y otra paralela (o que pertenece) al plano $ \pi$ ( $ \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ ). Por ser simétricos (se considera simetría especular) respecto al plano $ \pi$ se debe cumplir:


$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{1}}^{}$ = $\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ + $\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\bot}}^{}$  
$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{2}}^{}$ = $\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ - $\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\bot}}^{}$  

Se comprueba que

$\displaystyle \left\vert\vphantom{\overrightarrow{dl}_{1}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{1}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{1}}\right\vert$ = $\displaystyle \left\vert\vphantom{\overrightarrow{dl}_{2}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{2}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{2}}\right\vert$ $\displaystyle \Rightarrow$ dl1 = dl2

Queremos calcular el campo en un punto P del plano $ \pi$ .

El vector posición de P con respecto a $ \overrightarrow{dl}_{{1}}^{}$ es el vector $ \overrightarrow{r}_{{1}}^{}$ ; y el vector posición con respecto a $ \overrightarrow{dl}_{{2}}^{}$ es el vector $ \overrightarrow{r}_{{2}}^{}$ . Ambos vectores pueden descomponerse en una componente perpendicular al plano ( $ \overrightarrow{r}_{{\bot}}^{}$ ) y otra paralela (o que pertenece) al plano $ \pi$ . Estos vectores deben ser simétricos respecto al plano $ \pi$ (ver figura 5) por lo tanto se cumple


$\displaystyle \overrightarrow{r}_{{1}}^{}$ = $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\pi}}^{}$ + $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\bot}}^{}$  
$\displaystyle \overrightarrow{r}_{{2}}^{}$ = $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\pi}}^{}$ - $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\bot}}^{}$  

comprobándose que

$\displaystyle \left\vert\vphantom{\overrightarrow{r}_{1}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{r}_{{1}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{r}_{1}}\right\vert$ = $\displaystyle \left\vert\vphantom{\overrightarrow{r}_{2}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{r}_{{2}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{r}_{2}}\right\vert$ $\displaystyle \Rightarrow$ r1 = r2 $\displaystyle \equiv$ r

Figura 5: Elementos de corriente simétricos respecto el plano $ \pi$ .
\includegraphics[%
width=0.50\textwidth,
keepaspectratio]{simetria.eps}

El campo magnético $ \overrightarrow{dB}_{{1}}^{}$ creado por el elemento $ \overrightarrow{dl}_{{1}}^{}$ en el punto P es (según la ley de Biot-Savart - ec. 8) es


$\displaystyle \overrightarrow{dB}_{{1}}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}I}}{{4\pi r^{3}}}}$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{1}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{1}}^{}$  
  = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}I}}{{4\pi r^{3}}}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}+\overrightarrow{dl}_{\bot}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ + $\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\bot}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}+\overrightarrow{dl}_{\bot}}\right)$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{r}_{\pi}+\overrightarrow{r}_{\bot}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\pi}}^{}$ + $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\bot}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{r}_{\pi}+\overrightarrow{r}_{\bot}}\right)$  
  = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}I}}{{4\pi r^{3}}}}$$\displaystyle \left[\vphantom{\left(\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightar...
...+\left(\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\bot}\right)}\right.$$\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\pi}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\bot}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\bot}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\bot}}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\bot}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\pi}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\bot}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\bot}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\bot}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\bot}}\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{\left(\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightar...
...+\left(\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\bot}\right)}\right]$  
  = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}I}}{{4\pi r^{3}}}}$$\displaystyle \left[\vphantom{\left(\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightar...
...)+\left(\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}\right)}\right.$$\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\pi}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\bot}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\bot}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\bot}}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\bot}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\pi}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{\left(\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightar...
...)+\left(\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}\right)}\right]$  

y el campo $ \overrightarrow{dB}_{{2}}^{}$ creado por el elemento $ \overrightarrow{dl}_{{2}}^{}$ :


$\displaystyle \overrightarrow{dB}_{{2}}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}I}}{{4\pi r^{3}}}}$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{2}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{2}}^{}$  
  = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}I}}{{4\pi r^{3}}}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}-\overrightarrow{dl}_{\bot}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ - $\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\bot}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}-\overrightarrow{dl}_{\bot}}\right)$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{r}_{\pi}-\overrightarrow{r}_{\bot}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\pi}}^{}$ - $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\bot}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{r}_{\pi}-\overrightarrow{r}_{\bot}}\right)$  
  = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}I}}{{4\pi r^{3}}}}$$\displaystyle \left[\vphantom{\left(\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightar...
...+\left(\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\bot}\right)}\right.$$\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\pi}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right)$ - $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\bot}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\bot}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\bot}}\right)$ - $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\bot}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\pi}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\bot}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\bot}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\bot}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\bot}}\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{\left(\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightar...
...+\left(\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\bot}\right)}\right]$  
  = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}I}}{{4\pi r^{3}}}}$$\displaystyle \left[\vphantom{\left(\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightar...
...)+\left(\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}\right)}\right.$$\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\pi}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right)$ - $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\bot}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\bot}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\bot}}\right)$ - $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\bot}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\pi}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{\left(\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightar...
...)+\left(\overrightarrow{dl}_{\bot}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}\right)}\right]$  

El campo total es la suma de ambas contribuciones:

$\displaystyle \overrightarrow{dB}$ = $\displaystyle \overrightarrow{dB}_{{1}}^{}$ + $\displaystyle \overrightarrow{dB}_{{2}}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}I}}{{2\pi r^{3}}}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{\pi}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{dl}_{\pi}\wedge\overrightarrow{r}_{\pi}}\right)$

con lo que se demuestra que el campo es un vector perpendicular a $ \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ y $ \overrightarrow{r}_{{\pi}}^{}$ , vectores contenidos en el plano $ \pi$, luego $ \overrightarrow{dB}$ debe ser perpendicular a dicho plano.

Se comprueba, también, que el campo es nulo en aquellos puntos en los que $ \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ y $ \overrightarrow{r}_{{\pi}}^{}$ tienen la misma dirección. O en la situación particular en la que $ \overrightarrow{dl}_{{\pi}}^{}$ = 0 ; es decir cuando los elementos decorriente son perpendiculares al plano $ \pi$ .

Determinación de las líneas de campo: para algunas distribuciones de corriente muy simétricas puede utilizarse esta propiedad para justificar la forma de las líneas de campo (ver figura 6).

Figura 6: Ejemplo de dos distribuciones de corriente con planos de simetría: (a) Solenoide infinito; cualquier plano perpendicular al solenoide es un plano de simetría. Las líneas de campo son rectas paralelas al eje del solenoide. (b) Conductor rectilineo infinito de sección circular; todos los planos que contienen al eje del conductor son planos de simetría. Las líneas de campo son circunferencias que rodean la corriente y centradas en dicho eje.
\includegraphics[%
width=0.90\textwidth,
keepaspectratio]{simetria1.eps}


J.M. Asensi
2004-04-15