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2 Potencial creado por un sistema de cargas puntuales

2.1 Potencial creado por una carga puntual

Suponemos una carga puntual q en el origen.

El campo eléctrico que crea es

$\displaystyle \overrightarrow{E}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{4\pi\varepsilon_{0}}}}$$\displaystyle {\frac{{q}}{{r^{2}}}}$$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{r}}^{}$

Si traemos desde el infinito una carga unitaria (testigo) y la colocamos en el punto P (cuyo vector posición es $ \overrightarrow{r}_{{p}}^{}$ = rp$ \overrightarrow{a}_{{r}}^{}$ ) el trabajo que hemos de realizar es precisamente la variación de la energía potencial de la carga. El cambio de potencial eléctrico será

$\displaystyle \Delta$V = V(P) - V($\displaystyle \infty$) = - $\displaystyle \int_{{\infty}}^{{P}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{4\pi\varepsilon_{0}}}}$$\displaystyle {\frac{{q}}{{r^{2}}}}$$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{r}}^{}$ . $\displaystyle \overrightarrow{dl}$

Si escogemos una trayectoria radial para llevar la carga a P , es decir la trayectoria en coodenadas esféricas es r$ \overrightarrow{a}_{{r}}^{}$ (donde r varía entre rp y $ \infty$ ) y $ \overrightarrow{dl}$ = $ \overrightarrow{a}_{{r}}^{}$dr , entonces

$\displaystyle \Delta$V = V(P) - V($\displaystyle \infty$) = - $\displaystyle \int_{{\infty}}^{{P}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{4\pi\varepsilon_{0}}}}$$\displaystyle {\frac{{q}}{{r^{2}}}}$dr = $\displaystyle {\frac{{1}}{{4\pi\varepsilon_{0}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{q}{r}}\right.$$\displaystyle {\frac{{q}}{{r}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{q}{r}}\right\vert _{{\infty}}^{{P}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{4\pi\varepsilon_{0}}}}$$\displaystyle {\frac{{q}}{{r}}}$

Es costumbre definir el potencial cero a una distancia infinita de la carga puntual ( V($ \infty$) = 0 ).

Entonces, el potencial a una distancia r de la carga puntual es:

V(P) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{4\pi\varepsilon_{0}}}}$$\displaystyle {\frac{{q}}{{r}}}$

2.2 Potencial creado por un sistema de cargas puntuales

A partir del principio de superposición para el campo eléctrico (ver Tema 1), puede demostrarse que el potencial en un punto causado por varias cargas puntuales es la suma del potencial en dicho punto debido a cada una de las cargas por separado.

Es decir

V(P) = $\displaystyle \sum_{{i}}^{}$Vi(P) = $\displaystyle \sum_{{i}}^{}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{4\pi\varepsilon_{0}}}}$$\displaystyle {\frac{{q_{i}}}{{r_{i0}}}}$

donde el sumatorio se extiende a todas las cargas y ri0 es la distancia desde la carga i al punto P donde calculamos el potencial.


J.M. Asensi
2004-02-27