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5 Energía de una onda electromagnética

Una de las propiedades más significativas de una onda electromagnética es que transporta energía.

Hemos discutido, al estudiar los campos eléctrico y magnético que exite una densidad de energía asociada a dichos campos. Para el campo eléctrico $ \overrightarrow {E}$ :

uE $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle {\frac{{dU_{E}}}{{dV}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$E2

y para el campo magnético $ \overrightarrow {B}$ :

uB $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle {\frac{{dU_{B}}}{{dV}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle {\frac{{B^{2}}}{{\mu_{0}}}}$

en el caso de una onda electromagnética la densidad de energía será la suma de las densidades de energía asociadas al campo eléctrico y magnético, es decir

uOEM = uE + uB

ademas los campos $ \overrightarrow {E}$ y $ \overrightarrow {B}$ están relacionados: E=cB. Es decir, para una onda electromagnética se cumple

uE = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$E2 = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{cB}\right.$cB$\displaystyle \left.\vphantom{cB}\right)^{{2}}_{}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}B}\right.$$\displaystyle {\frac{{1}}{{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}}}$B$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}B}\right)^{{2}}_{}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle {\frac{{B^{2}}}{{\mu_{0}}}}$ = uB

por lo tanto

uOEM = 2uE = $\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$E2

o

uOEM = 2uB = $\displaystyle {\frac{{B^{2}}}{{\mu_{0}}}}$

o, teniendo en cuenta que B=E/c

uOEM = $\displaystyle {\frac{{EB}}{{\mu_{0}c}}}$

Obsérvese que la densidad de energía puede estar variando muy rápidamente con el tiempo (si la longitud de onda corresponde al espectro visible (400-700 nm) el periodo de vibración es del orden de 10-14s !!). En muchos fenómenos de interés no necesitamos conocer exactamente esta variación (ni la podemos detectar experimentalmente), nos basta con calcular y medir el valor medio temporal de la densidad de energia $ \left\langle\vphantom{ u_{OEM}}\right.$uOEM$ \left.\vphantom{ u_{OEM}}\right\rangle$ . Así, si suponemos para el campo eléctrico que varía de la forma

$\displaystyle \overrightarrow{E}$(x, t) = E0cos$\displaystyle \left(\vphantom{\omega t-kx}\right.$$\displaystyle \omega$t - kx$\displaystyle \left.\vphantom{\omega t-kx}\right)$$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{y}}^{}$

obtenemos

$\displaystyle \left\langle\vphantom{ u_{OEM}}\right.$uOEM$\displaystyle \left.\vphantom{ u_{OEM}}\right\rangle$ = $\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$E02$\displaystyle \left\langle\vphantom{ \cos^{2}\left(\omega t-kx\right)}\right.$cos2$\displaystyle \left(\vphantom{\omega t-kx}\right.$$\displaystyle \omega$t - kx$\displaystyle \left.\vphantom{\omega t-kx}\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{ \cos^{2}\left(\omega t-kx\right)}\right\rangle$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$E02

o, también,

$\displaystyle \left\langle\vphantom{ u_{OEM}}\right.$uOEM$\displaystyle \left.\vphantom{ u_{OEM}}\right\rangle$ = $\displaystyle {\frac{{B_{0}^{2}}}{{2\mu_{0}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{E_{0}B_{0}}}{{2\mu_{0}c}}}$

La energía (en valor medio) contenida en una cierta región del espacio, por donde se propaga la onda electromagnética, se determina simplemente multiplicando la densidad de energía $ \left\langle\vphantom{ u_{OEM}}\right.$uOEM$ \left.\vphantom{ u_{OEM}}\right\rangle$ por el volumen de la región considerada.

Concepto de intensidad (o irradiancia)

Llamamos intensidad de una onda al valor medio de la energía que incide sobre una superficie arbitraria, por unidad de superficie y unidad de tiempo.

I = $\displaystyle {\frac{{\left\langle \Delta U\right\rangle }}{{S\Delta t}}}$

A partir de esta relación vemos que la intensidad tiene unidades de potencia por unidad de área, que en el sistema internacional corresponden a Watt/m2 .

Figura 11: Onda electromagnética incidiendo sobre una superficie S.
\includegraphics[%
scale=0.5]{intensidad.eps}

Si consideramos una onda electromagnética plana que incide normalmente sobre una superficie S (figura 11), notamos que durante un tiempo $ \Delta$t sólo puede atravesar la superficie S a lo sumo toda la energía acumulada en una distancia $ \Delta$x = c$ \Delta$t de la superficie, donde c es la velocidad de propagación de la luz. Es decir, toda la energía contenida en el cubo de lado c$ \Delta$t y base de superficie S, y por consiguiente de volumen

$\displaystyle \Delta$V = Sc$\displaystyle \Delta$t

De acuerdo a este razonamiento, transcurrido un tiempo $ \Delta$t , la superficie es atravesada por una cantidad de energía $ \left\langle\vphantom{ \Delta U}\right.$$ \Delta$U$ \left.\vphantom{ \Delta U}\right\rangle$ :

$\displaystyle \left\langle\vphantom{ \Delta U}\right.$$\displaystyle \Delta$U$\displaystyle \left.\vphantom{ \Delta U}\right\rangle$ = $\displaystyle \left\langle\vphantom{ u_{OEM}}\right.$uOEM$\displaystyle \left.\vphantom{ u_{OEM}}\right\rangle$$\displaystyle \Delta$V = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$E02Sc$\displaystyle \Delta$t

con lo que la intensidad de la onda electromagnética plana es

I = $\displaystyle {\frac{{\left\langle \Delta U\right\rangle }}{{S\Delta t}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$c$\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$E02

o, también

I = $\displaystyle {\frac{{cB_{0}^{2}}}{{2\mu_{0}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{E_{0}B_{0}}}{{2\mu_{0}}}}$

Hay que observar que este resultado es válido sólo para ondas planas. Por ejemplo, para una onda electromagnética esférica (i.e, el frente de onda es esférico) se obtendría

I = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$c$\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$$\displaystyle {\frac{{E_{0}^{2}}}{{r^{2}}}}$

resultado conocido como ley del cuadrado de la distancia.

Vector de Poyting

Para reflejar matemáticamente la idea de propagación de la energía que implica una onda electromagnética se introduce el llamado vector de Poynting que se define (para una OEM propagándose en el vacío) como

$\displaystyle \overrightarrow{S}$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{\mu_{0}}}}$$\displaystyle \overrightarrow{E}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{B}$      $\displaystyle \left(\vphantom{=c\varepsilon_{0}\overrightarrow{E}\wedge\overrightarrow{B}}\right.$ = c$\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{E}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{B}$$\displaystyle \left.\vphantom{=c\varepsilon_{0}\overrightarrow{E}\wedge\overrightarrow{B}}\right)$

se comprueba que este vector tiene la dirección y el sentido de propagación de la OEM, y su módulo expresa la variación de energía radiada por unidad de tiempo y de superficie perpendicular a la dirección de propagación.

Se comprueba que la intensidad (o irradiancia) de la onda electromagnética es

I = $\displaystyle \left\langle\vphantom{ \left\vert\overrightarrow{S}\right\vert}\right.$$\displaystyle \left\vert\vphantom{\overrightarrow{S}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{S}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{S}}\right\vert$$\displaystyle \left.\vphantom{ \left\vert\overrightarrow{S}\right\vert}\right\rangle$


J.M. Asensi
2004-05-12