Subsecciones

3 Corriente alterna en una resistencia

3.1 Relación entre la diferencia de potencial y la intensidad

Suponemos un circuito de corriente alterna muy simple formado por un generador AC y una resistencia R (figura 4).

De acuerdo con la aproximación cuasi-estacionaria, en cada instante podemos considerar válida la ley de Ohm, con lo que la caida de potencial la resistencia es:

VR(t) = V1 - V2 = RI(t)

También debe verificarse la segunda ley de Kirchhoff (la suma de caidas de tensión en una malla debe ser 0) por lo tanto

e - VR(t) = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ VR(t) = e

Si suponemos que el generador produce una fem igual a6

e = e0cos$\displaystyle \omega$t

la caida de tensión en la resistencia es

VR(t) = V0cos$\displaystyle \omega$t

(con V0 = e0 ) y la intensidad que circula por la resistencia es

I(t) = $\displaystyle {\frac{{V_{R}(t)}}{{R}}}$ = $\displaystyle {\frac{{V_{0}}}{{R}}}$cos$\displaystyle \omega$t = I0cos$\displaystyle \omega$t

Vemos pues que la corriente en la resistencia está en fase con la diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia.

Figura 4: Generador de AC en serie con una resistencia. Los signos + y - indican el polo positivo y negativo del generador, para el sentido indicado de la corriente. En la gráfica inferior se muestra la intensidad y la caida de tensión en la resistencia en función del tiempo.
\includegraphics[%
width=0.60\textwidth,
keepaspectratio]{R.eps}

3.2 Potencia disipada

Hemos visto, al estudiar la corriente continua, que cuando un conductor, que presenta cierta resistencia R, es recorrido por una corriente eléctrica se produce calor debido al roce de los electrones libres con los iones del metal (efecto Joule).

En el caso de la corriente alterna, aunque los electrones se mueven ya hacia la derecha ya hacia la izquierda, el roce nada tiene que ver con el sentido de la corriente y se comprende en seguida que el desarrollo de calor no puede ser nulo.

Supongamos que por el conductor, que posee una resistencia R, pasa una corriente alterna I0cos$ \omega$t . La potencia instantánea P(t) disipada en forma de calor es

P(t) = I(t)VR(t) = I2(t)R = I02R cos2$\displaystyle \omega$t

es decir, P(t) es una función periódica del tiempo; pero como interviene el cuadrado de la intensidad I(t) , el valor medio de P(t) no es cero, pues cuando I(t) es negativo su cuadrado resulta positivo (ver figura 5).

Podemos calcular la energía WT disipada en un periodo:

WT = $\displaystyle \int_{{0}}^{{T}}$P(t)dt = $\displaystyle \int_{{0}}^{{T}}$I02R cos2$\displaystyle \omega$tdt

y haciendo $ \theta$ = $ \omega$t tenemos

WT = $\displaystyle {\frac{{I_{0}^{2}R}}{{\omega}}}$$\displaystyle \int_{{0}}^{{2\pi}}$cos2$\displaystyle \theta$d$\displaystyle \theta$ = $\displaystyle {\frac{{I_{0}^{2}R}}{{\omega}}}$$\displaystyle \left[\vphantom{\frac{\theta}{2}+\frac{1}{4}\sin\left(2\theta\right)}\right.$$\displaystyle {\frac{{\theta}}{{2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$sin$\displaystyle \left(\vphantom{2\theta}\right.$2$\displaystyle \theta$$\displaystyle \left.\vphantom{2\theta}\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\theta}{2}+\frac{1}{4}\sin\left(2\theta\right)}\right]_{{0}}^{{2\pi}}$ = $\displaystyle {\frac{{\pi I_{0}^{2}R}}{{\omega}}}$ = $\displaystyle {\frac{{I_{0}^{2}RT}}{{2}}}$

La potencia media disipada durante un periodo será la energía disipada WT dividida por T (este es, de hecho, el promedio temporal de P(t) ):

$\displaystyle \left\langle\vphantom{ P}\right.$P$\displaystyle \left.\vphantom{ P}\right\rangle_{{T}}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{W_{T}}}{{T}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$I02R (3)

Figura 5: Potencia disipada en función del tiempo para una resistencia en un circuito de corriente alterna.
\includegraphics[%
width=0.50\textwidth,
keepaspectratio]{Rpot.eps}

3.3 Valores eficaces

La ecuación 3 puede reescribirse de la siguiente forma

$\displaystyle \left\langle\vphantom{ P}\right.$P$\displaystyle \left.\vphantom{ P}\right\rangle_{{T}}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$I02R = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{I_{0}}{\sqrt{2}}}\right.$$\displaystyle {\frac{{I_{0}}}{{\sqrt{2}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{I_{0}}{\sqrt{2}}}\right)^{{2}}_{}$R = Ief2R

es decir: el efecto térmico de la corriente alterna I0cos$ \omega$t es el mismo que se obtendría con una corriente continua cuya intensidad fuese Ief = I0/$ \sqrt{{2}}$ .

A la intensidad Ief = I0/$ \sqrt{{2}}$ se le llama intensidad eficaz de dicha corriente alterna.

Valor cuadrático medio

En realidad el valor eficaz de una magnitud que varía con el tiempo es el valor cuadrático medio.

En el caso de la intensidad:

Ief = $\displaystyle \sqrt{{\left\langle I^{2}\right\rangle _{T}}}$

y para la dependencia sinusoidal se obtiene Ief = I0/$ \sqrt{{2}}$ .

De igual forma, el valor eficaz de una diferencia de potencial que varía sinusoidalmente (p.e., V0cos$ \omega$t ) es igual al valor máximo o amplitud (V0 ) dividido por $ \sqrt{{2}}$ .

En el caso de la diferencia de potencial VR(t) en la resistencia R :

Vef = $\displaystyle {\frac{{V_{0}}}{{\sqrt{2}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{I_{0}R}}{{\sqrt{2}}}}$ = IefR

es decir, se comprueba que la intensidad eficaz está relacionada con la diferencia de potencial eficaz de la misma forma que las amplitudes V0 e I0 .

La potencia disipada por efecto Joule en la resistencia también se podría expresar como

$\displaystyle \left\langle\vphantom{ P}\right.$P$\displaystyle \left.\vphantom{ P}\right\rangle_{{T}}^{}$ = Ief2R = VefIef = eefIef

donde eef sería la fem eficaz del generador AC.

Comprobamos pues que las ecuaciones para la potencia disipada y para la ley de Ohm en una resistencia son las mismas que en corriente continua pero utilizando valores eficaces.

Es habitual utilizar directamente los valores eficaces de tensiones y corrientes:


J.M. Asensi
2004-04-26