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5 Campo eléctrico creado por distribuciones contínuas de carga

5.1 Concepto de densidad de carga

Aunque la carga eléctrica es una magnitud cuantizada, cualquier volumen contiene un número tan elevado de partículas eléctricas (electrones o protones) que podemos considerar la carga eléctrica como una magnitud contínua.

Figura 6: Elemento de volumen conteniendo partículas cargadas.
\includegraphics[%
width=0.50\textwidth]{densidad.eps}

A la carga eléctrica por unidad de volumen se le llama densidad de carga volúmica $ \rho$ :

$\displaystyle \rho$ = $\displaystyle \lim_{{\Delta V\rightarrow0}}^{}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{\Delta V}}}$$\displaystyle \sum_{{q_{i}\in\Delta V}}^{}$qi = $\displaystyle \lim_{{\Delta V\rightarrow0}}^{}$$\displaystyle {\frac{{\Delta q}}{{\Delta V}}}$ = $\displaystyle {\frac{{dq}}{{dV}}}$

que en el S.I. se medirá en C/m3 .

Hay que hacer una observación respecto al paso al límite en las definición anterior: No se trata de un límite en el sentido matemático abstracto, ya que, según hemos dicho, las cargas son por naturaleza discretas. Por otra parte, debe considerarse que en una distribución macroscópica arbitraria existe un número muy grande de partículas cargadas (del orden del número de Avogadro). El límite debe entenderse, por lo tanto, como sigue: La razón representa realmente la densidad de carga promedio en una región. Esta región es muy grande desde el punto de vista atómico, pero muy pequeña desde el punto de vista macroscópico. En otras palabras. $ \Delta$V se toma lo suficiente pequeño para que tenga el sentido matemático de diferencial, y lo suficientemente grande, para que en su interior exista un número considerable de cargas.

Densidad de carga superficial y lineal:

Si la carga electrica se distribuye a lo largo de una superficie (es decir, en una capa muy delgada), entonces se define la densidad de carga superficial $ \sigma$ como la carga por unidad de área;

$\displaystyle \sigma$ = $\displaystyle \lim_{{\Delta S\rightarrow0}}^{}$$\displaystyle {\frac{{\Delta q}}{{\Delta S}}}$ = $\displaystyle {\frac{{dq}}{{dS}}}$

y se mide en el S.I. en C/m2 .

Análogamente, si la carga se encuentra distribuida a lo largo de una línea, entonces definimos la densidad de carga lineal $ \lambda$ como la carga por unidad de longitud:

$\displaystyle \lambda$ = $\displaystyle \lim_{{\Delta l\rightarrow0}}^{}$$\displaystyle {\frac{{\Delta q}}{{\Delta l}}}$ = $\displaystyle {\frac{{dq}}{{dl}}}$

y se mide en el S.I. en C/m .

Las densidades superficiales y lineales pueden explicarse a partir de aproximaciones desde el concepto de densidad volúmica, la cual tiene, quizás, un significado físico más realista:

Por ejemplo, si el elemento de voumen dV es un cilindro plano de base dS y altura h, muy pequeña, se tiene dV=hdS y, por lo tanto, dq = $ \rho$hdS y $ \rho$h = dq/dS . Cuando h tiende a cero, la carga se reparte por la superficie con una densidad de carga $ \sigma$ tal que

$\displaystyle \sigma$ = $\displaystyle \lim_{{h\rightarrow0}}^{}$$\displaystyle \rho$h = $\displaystyle {\frac{{dq}}{{dS}}}$

igualmente, en un dominio filiforme de sección S muy pequeña, el elemento dV de longitud dl posee una carga dq = $ \rho$Sdl , de forma que la carga por unidad de longitud vale dq/dl = $ \rho$S . Cuando S tiende a cero, tenemos la densidad lineal de carga $ \lambda$

$\displaystyle \lambda$ = $\displaystyle \lim_{{S\rightarrow0}}^{}$$\displaystyle \rho$S = $\displaystyle {\frac{{dq}}{{dl}}}$

Figura 7: Densidad superficial y lineal
\includegraphics[%
width=0.50\textwidth]{densidad_ls.eps}

5.2 Cálculo del campo eléctrico

Para calcular el campo eléctrico creado por una distribución de cargas, descomponemos la distribución en elementos de carga dq , lo suficiente pequeños para que podemos considerarlos como cargas puntuales.

En un punto P el campo eléctrico $ \overrightarrow{dE}$ creado por el elemento de carga dq viene dado por la ley de Coulomb (figura 8):

$\displaystyle \overrightarrow{dE}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{4\pi\varepsilon_{0}}}}$$\displaystyle {\frac{{dq}}{{r^{2}}}}$$\displaystyle \widehat{{\overrightarrow{r}}}$

donde r es la distancia entre el elemento de carga y el punto P y $ \widehat{{\overrightarrow{r}}}$ es el vector unitario que apunta desde el elemento a dicho punto.

Figura 8: Campo eléctrico creado por un elemento volúmico de carga dq
\includegraphics[%
width=0.50\textwidth,
keepaspectratio]{dE.eps}

Según el principio de superposición, el campo total en P puede calcularse integrando para toda la distribución de carga.

En el caso de que la distribución sea volúmica tenemos:

$\displaystyle \overrightarrow{E}$ = $\displaystyle \int_{{V}}^{}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{4\pi\varepsilon_{0}}}}$$\displaystyle {\frac{{dq}}{{r^{2}}}}$$\displaystyle \widehat{{\overrightarrow{r}}}$

siendo dq = $ \rho$dV .

Cuando la carga está distribuida en una superficie utilizamos dq = $ \sigma$dS e integramos para toda la superficie.

Cuando la carga está distribuida en una línea utilizamos dq = $ \lambda$dl e integramos para toda la línea.


J.M. Asensi
2004-02-24