Subsecciones

10 Energía magnética

En el ejemplo del apartado 2 (circuito RL), dónde se discutía lo que sucedía al cerrar el interruptor en un circuito simple, vimos que la fem (auto)inducida impedía al generador establecer instantáneamente la corriente.

La inductancia de un circuito se puede incrementar de forma considerable si se añade una bobina, que puede ser un solenoide.

En general, todo elemento en un cicuito que tenga inductancia grande se llama inductor y su símbolo es el representado en la figura 18. (Siempre se supone que la autoinductancia de un circuito es despreciable comparada con la del inductor).

Por lo tanto, al cerrar el interruptor del circuito de la figura 18, la corriente comienza a crecer y, debido a este aumento, el inductor genera una fem que se opone a dicho incremento.

Es decir, el generador realiza un trabajo contra el inductor para generar una corriente.

Tenemos:

e + eL = e - L$\displaystyle {\frac{{dI}}{{dt}}}$ = RI $\displaystyle \Rightarrow$ e = RI + L$\displaystyle {\frac{{dI}}{{dt}}}$

y de aquí se deduce (multiplicando por Idt ):

eIdt = RI2dt + LIdI

Es decir, la energía suministrada por el generador (eIdt ) en el tiempo dt es igual a la energía disipada en la resistencia por efecto Joule (RI2dt ) y la energía almacenada en el inductor:

dUm = LIdI

La energía total alamacenada en el inductor (una vez establecida la corriente estacionaria) se obitiene integrando:

Um = $\displaystyle \int_{{0}}^{{U_{m}}}$dUm = $\displaystyle \int_{{0}}^{{I}}$LIdI = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$LI2 (13)

Figura 18: Representación de un circuito simple RL. Obsérvese el símbolo utilizado para representar la autoinducción.
\includegraphics[%
width=0.40\textwidth,
keepaspectratio]{energia.eps}

La ecuación 13 representa la energía almacenada como energía magnética en el campo del inductor cuando la corriente es I .

Obsérvese que la expresión 13 es análoga a la ecuación de la energía almacenada en el campo eléctrico de un condensador:

Ue = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$CV2

10.1 Densidad de energía magnética

También puede determinarse la densidad de energía (o energía por unidad de volumen) almacenada en un campo magnético.

Consideremos, por ejemplo, un solenoide muy largo ($ \approx$ infinito) con n espiras por unidad de longitud.

Puede demostrarse (ver figura 19) que el campo magnético es uniforme en el interior del solenoide y nulo en el exterior.

En el interior el campo es

B = $\displaystyle \mu_{{0}}^{}$nI

La inductancia L de un segmento9 de solenoide de longitud l es10:

L = $\displaystyle \mu_{{0}}^{}$n2Sl

dónde S es el área de la sección del solenoide.

Sustituyendo este valor de la inductancia L y I = B/$ \mu_{{0}}^{}$n en la ecuación 13 encontramos:

Um = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$LI2 = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\mu_{0}n^{2}Sl}\right.$$\displaystyle \mu_{{0}}^{}$n2Sl$\displaystyle \left.\vphantom{\mu_{0}n^{2}Sl}\right)$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{B}{\mu_{0}n}}\right.$$\displaystyle {\frac{{B}}{{\mu_{0}n}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{B}{\mu_{0}n}}\right)^{{2}}_{}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle {\frac{{B^{2}}}{{\mu_{0}}}}$$\displaystyle \left(\vphantom{Sl}\right.$Sl$\displaystyle \left.\vphantom{Sl}\right)$

dón Sl es el volumen del segmento de solenoide.

La energía almacenada por unidad de volumen será:

um = $\displaystyle {\frac{{dU_{m}}}{{dv}}}$ = $\displaystyle {\frac{{U_{m}}}{{Sl}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle {\frac{{B^{2}}}{{\mu_{0}}}}$

Esta expresión es válida para cualquier región del espacio donde exista un campo magnético.

Obsérvese que la forma de esta expresión es similar a la obtenida para la densidad en energía del campo eléctrico ( $ {\frac{{1}}{{2}}}$$ \varepsilon_{{0}}^{}$E2 ). En ambos casos, la densidad de energía es proporcional al cuadrado de la intensidad del campo.

Figura 19: Campo magnético creado por un solenoide muy largo ($ \approx$ infinto) con n espiras por unidad de longitud y recorrido por una intensidad I. Puede demostrarse que el campo es uniforme en el interior y en el exterior es nulo. Por consideraciones de simetría puede demostrarse que las líneas de campo deben ser paralelas al solenoide (tienen la dirección del eje z) y además el campo no puede depender de z (simetría de traslación) . Se encuentra que a lo largo del eje central del solenoide el campo es $ \overrightarrow {B}$ = $ \mu_{{0}}^{}$nI$ \overrightarrow {a}_{{z}}^{}$ (ver problema 5.4). A partir de este resultado, aplicando el teorema de Ampère a trayectorias del como las indicadas en la figura, puede comprobarse que el campo es uniforme en los puntos del interior de solenoide y nulo en el exterior.
\includegraphics[%
width=0.70\textwidth,
keepaspectratio]{solenoide.eps}


J.M. Asensi
2004-04-15