Subsecciones

4 Corriente alterna en bobinas y condensadores.

A diferencia de las resistencias, el comportamiento de bobinas y condensadores es muy distinto en el caso de que la corriente sea continua o alterna.

4.1 Bobinas

En la figura 6 se muestra un circuito simple con una bobina de inductancia L situada entre los terminales de un generador AC.

En la bobina se induce una fem (eL ) debido a la variación de flujo magnético asociado con la dependencia temporal de la intensidad de corriente ( eL = - LdI/dt ).

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff (en la forma $ \sum$ei = $ \sum$IRi ) tenemos

e + eL = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ e - L$\displaystyle {\frac{{dI}}{{dt}}}$ = 0

También podríamos haber escrito (igual que en el caso anterior de la resistencia):

e - VL(t) = 0

donde VL(t) = V1 - V2 es la caida de tensión a través de la bobina.

Está claro que

VL(t) = e = L$\displaystyle {\frac{{dI}}{{dt}}}$

Obsérvese también que en las ecuaciones anteriores estamos suponiendo despreciable la resistencia de la bobina. Si esto no fuera así deberíamos incluirla al aplicar la ley de Kirchhoff:

e + eL = RLI $\displaystyle \Rightarrow$ e - L$\displaystyle {\frac{{dI}}{{dt}}}$ = RLI

donde RL sería la resistencia interna de la bobina.

Si suponemos una bobina ideal (RL = 0 ) y suponemos, igual que antes, que la fem del generador AC es

e = e0cos$\displaystyle \omega$t

tenemos

e0cos$\displaystyle \omega$t - L$\displaystyle {\frac{{dI}}{{dt}}}$ = 0

y de aquí

dI = $\displaystyle {\frac{{e_{0}}}{{L}}}$cos$\displaystyle \omega$tdt $\displaystyle \Rightarrow$ I = $\displaystyle {\frac{{e_{0}}}{{L}}}$$\displaystyle \int$cos$\displaystyle \omega$tdt $\displaystyle \Rightarrow$ I = $\displaystyle {\frac{{e_{0}}}{{L\omega}}}$sin$\displaystyle \omega$t + K

donde K sería la constante de integración.

De hecho K sería el valor del promedio temporal de la intensidad ( $ \left\langle\vphantom{ I}\right.$I$ \left.\vphantom{ I}\right\rangle_{{T}}^{}$ ), pues el valor promedio de sin$ \omega$t es 0.

Por lo tanto, si suponemos que la componente continua de la corriente es 0 (lo que ocurrirá necesariamente si el generador AC proporciona una señal alterna pura - sin componente continua) entonces

I = $\displaystyle {\frac{{e_{0}}}{{\omega L}}}$sin$\displaystyle \omega$t = $\displaystyle {\frac{{e_{0}}}{{\omega L}}}$cos$\displaystyle \left(\vphantom{\omega t-\frac{\pi}{2}}\right.$$\displaystyle \omega$t - $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\omega t-\frac{\pi}{2}}\right)$ (4)
donde utilizamos la identidad trigonométrica: sin$ \alpha$ = cos($ \alpha$ - $ \pi$/2) .

Vemos pues que la intensidad que circula por la bobina tiene la misma frecuencia (o pulsación) que la tensión aplicada pero, a diferencia del caso de la resistencia, ahora existe un desfase entre ambas señales.

En la figura 6 se ha representado la intensidad I(t) y la caida de tensión VL(t) a través de la bobina (obsérvese que VL(t) = e0cos$ \omega$t ). Se observa que el máximo de intensidad ocurre T/4 (es decir 90o ) después que el máximo de VL : decimos, entonces, que la intensidad está retrasada 90o (o $ \pi$/2 ) respecto de la tensión. O, lo que es lo mismo, que la tensión está avanzada 90o (o $ \pi$/2 ) respecto de la corriente.

El sentido físico es el siguiente: cuando la intensidad es nula pero está aumentando, el ritmo de crecimiento precisamente es el máximo y, como consecuencia, la fem inducida (es decir, la caida de potencial en la bobina) es máxima. Cuando la intensidad es máxima, el ritmo de variación (dI/dt ) es 0 y la caida de tensión es 0.

Figura 6: Generador de AC en serie con una bobina. Los signos + y - indican el polo positivo y negativo del generador, para el sentido indicado de la corriente. Recuérdese que el signo menos de eL es la ley de Lenz y significa que la fem inducida en la bobina crea corriente de sentido opuesto al indicado para la corriente. En la gráfica inferior se muestra la intensidad y la caida de tensión ( VL = V1 - V2 ) en la bobina en función del tiempo.
\includegraphics[%
width=0.60\textwidth,
keepaspectratio]{L.eps}

Reactancia inductiva

En la ecuación 4 vemos que la amplitud (o valor máximo) de la intensidad de corriente que circula por la bobina es

I0 = $\displaystyle {\frac{{e_{0}}}{{L\omega}}}$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle {\frac{{V_{0}}}{{L\omega}}}$

(donde hacemos uso del hecho de que e0 es la amplitud de la caida de tensión en la bobina; es decir: VL(t) = e(t) ).

Vemos que la caida de tensión y la intensidad que circula por la bobina son proporcionales (se cumple la ley de Ohm) y la constante de proporcionalidad es el factor L$ \omega$ , que recibe el nombre de reactancia inductiva y se representa por XL :

XL = L$\displaystyle \omega$

Igual que en el caso de la resistencia, la unidad XL es el ohm ($ \Omega$ ).

A diferencia de la resistencia, la reactancia inductiva XL depende de la frecuencia. Cuanto mayor es la frecuencia, mayor es la reactancia.

Obsérvese que para los valores eficaces de I(t) y VL(t) también se cumple

Ief = $\displaystyle {\frac{{V_{ef}}}{{X_{L}}}}$

Potencia disipada

Obsérvese que la potencia instantánea suministrada a la bobina por el generador es

P(t) = eI(t) = $\displaystyle \left(\vphantom{e_{0}\cos\omega t}\right.$e0cos$\displaystyle \omega$t$\displaystyle \left.\vphantom{e_{0}\cos\omega t}\right)$$\displaystyle \left(\vphantom{I_{0}\sin\omega t}\right.$I0sin$\displaystyle \omega$t$\displaystyle \left.\vphantom{I_{0}\sin\omega t}\right)$ = e0I0cos$\displaystyle \omega$t sin$\displaystyle \omega$t

de donde se puede deducir que la potencia media suministrada (y por lo tanto consumida en la bobina) es cero.

Figura 7: El valor medio de la potencia suministrada por el generador a la bobina es 0. Por lo tanto en la bobina no se disipa energía (esto es cierto sólo en el caso ideal RL = 0 ).
\includegraphics[%
width=0.50\textwidth,
keepaspectratio]{Lpot.eps}

4.2 Condensadores

En la figura 8 se muestra un circuito simple con un condensador de capacidad C situado entre los terminales de un generador AC.

Quizás el caso del condensador es donde se aprecia más claramente el diferente comportamiento en un circuito de corriente continua o alterna. Cuando un condensador está en serie en un circuito de corriente continua, la corriente queda completamente interrumpida una vez se ha cargado el condensador. En corriente alterna continuamente se carga y descarga el condensador con lo que no se interrumpe el paso de la corriente.

De acuerdo con el sentido indicado para la corriente en la figura 8, la intensidad I se relaciona con la carga del condensador como

I(t) = $\displaystyle {\frac{{dQ}}{{dt}}}$

y, por otra parte, la caida de tensión VC = V1 - V2 en el condensador es

VC(t) = $\displaystyle {\frac{{Q(t)}}{{C}}}$

por lo tanto

I(t) = C$\displaystyle {\frac{{dV_{C}(t)}}{{dt}}}$

Por otra parte, como se debe verificar la segunda ley de Kirchhoff (regla de las mallas) tenemos que

e - VC = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ VC = e = e0cos$\displaystyle \omega$t

(donde suponemos la misma fem del generador AC que en los casos anteriores de la resistencia y la bobina).

Al final obtenemos

I(t) = C$\displaystyle {\frac{{dV_{C}(t)}}{{dt}}}$ = - e0C$\displaystyle \omega$sin$\displaystyle \omega$t = e0C$\displaystyle \omega$cos$\displaystyle \left(\vphantom{\omega t+\frac{\pi}{2}}\right.$$\displaystyle \omega$t + $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\omega t+\frac{\pi}{2}}\right)$

donde utilizamos la identidad trigonométrica: sin$ \alpha$ = - cos($ \alpha$ + $ \pi$/2) .

Igual que en el caso de la bobina comprobamos que la intensidad no está en fase con la caida de tensión en el condensador (que es igual a la tensión que proporciona el generador).

En la figura 8 se ha representado la intensidad I(t) y la caida de tensión VC(t) en el condensador (obsérvese que VC(t) = Q(t)/C = e0cos$ \omega$t ). Se observa que la intensidad está avanzada 90o (o $ \pi$/2 ) respecto de la tensión. O, lo que es lo mismo, que la tensión está retrasada 90o (o $ \pi$/2 ) respecto de la corriente.

El sentido físico es el siguiente: cuando la carga del condensador es nula (y por lo tanto la caida de potencial es 0) pero está aumentando, el ritmo de crecimiento es el máximo y, como consecuencia, la intensidad es máxima. Cuando el condensador está cargado la caida de potencial es máxima y el el ritmo de variación (dQ/dt ) es 0 con lo que la intensidad de corriente es 0.

Figura 8: Generador de AC en serie con un condensador. Los signos + y - indican el polo positivo y negativo del generador, para el sentido indicado de la corriente. En la gráfica inferior se muestra la intensidad y la caida de tensión ( VC = V1 - V2 ) en el condensador en función del tiempo.
\includegraphics[%
width=0.60\textwidth,
keepaspectratio]{C.eps}

Reactancia capacitiva

Ahora, la amplitud (o valor máximo) de la intensidad de corriente es

I0 = C$\displaystyle \omega$e0 $\displaystyle \equiv$ C$\displaystyle \omega$V0 = $\displaystyle {\frac{{V_{0}}}{{X_{C}}}}$

donde se comprueba que, igual que antes, la caida de tensión y la intensidad que circula por el condensador son proporcionales (se cumple la ley de Ohm) y la constante de proporcionalidad se denomina reactancia capacitiva y se representa por XC :

XL = $\displaystyle {\frac{{1}}{{C\omega}}}$

La unidad XC es el ohm ($ \Omega$ ).

Igual que la reactancia inductiva, XC depende de la frecuencia. En este caso, sin embargo, cuanto mayor es la frecuencia, menor es la reactancia.

Para los valores eficaces de I(t) y VC(t) también se cumple

Ief = $\displaystyle {\frac{{V_{ef}}}{{X_{C}}}}$

Potencia disipada

Igual que en el caso de la bobina, la potencia media disipada en el condensador es cero. Esto es debido a que, igual que en el caso de la bobina, la potencia instantánea suministrada por el generador (o consumida en el condensador) es proporcional al producto de sin$ \omega$t y cos$ \omega$t .


J.M. Asensi
2004-04-26