Subsecciones

2 Corrientes estacionarias
(Ecuación de continuidad).

2.1 Ecuación de continuidad

La densidad de corriente $ \overrightarrow{j}$ y la densidad de carga $ \rho$ no son magnitudes independientes, sino que están relacionadas en cada punto por la llamada ecuación de continuidad.

Esta relación tiene su origen en el principio fundamental de conservación de la carga. Es decir, en el hecho de que la carga no puede crearse ni destruirse. Según ésto, si el sistema no esta aislado, toda variación de carga en él tiene que ser resultado del flujo de carga que atraviesa la superficie límite del sistema.

Suponemos una región del espacio de volumen V y limitada por una superficie cerrada S. Suponemos que en dicha región existe, en cada punto, una densidad de carga libre $ \rho_{{L}}^{}$ y una densidad de corriente $ \overrightarrow{j}$ . La cantidad total de carga (libre) contenida en en el volumen V en un instante dado es:

Q = $\displaystyle \int_{{V}}^{}$$\displaystyle \rho_{{L}}^{}$dv

Al cabo de cierto tiempo dt habrán entrado y salido cargas por la superficie S; es decir la carga Q varía con el tiempo, y en la unidad de tiempo el aumento de Q será

$\displaystyle {\frac{{dQ}}{{dt}}}$ = $\displaystyle \int_{{V}}^{}$$\displaystyle {\frac{{\partial\rho_{L}}}{{\partial t}}}$dv (3)
que será positivo (si entran más cargas que salen) o negativo (si entran menos cargas que salen).

Por otra parte, la carga que ha atravesado la superficie S en la unidad de tiempo, de fuera a dentro (es decir la carga que ha entrado en el volumen V) es

I = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{dQ}{dt}}\right.$$\displaystyle {\frac{{dQ}}{{dt}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{dQ}{dt}}\right)_{{fuera\rightarrow dentro}}^{}$ = - $\displaystyle \oint_{{S}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ (4)
donde el signo menos debe incluirse para corregir el sentido que se da a $ \overrightarrow{ds}$ en las superficies cerradas.

Finalmente, en virtud del principio de conservación de la carga, la ecuación 3 debe coincidir con 4. Por lo tanto, para cualquier volumen V dentro de un conductor se debe cumplir:

$\displaystyle \int_{{V}}^{}$$\displaystyle {\frac{{\partial\rho_{L}}}{{\partial t}}}$dv = - $\displaystyle \oint_{{S}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ (5)
que sería la expresión en forma integral de la llamada ecuación de continuidad.

Figura 5: La variación de carga en el interior del volumen V es debida al flujo de corriente a través de la superficie S que limita dicho volumen.
\includegraphics[%
width=0.30\textwidth,
keepaspectratio]{continuidad.eps}

2.2 Corrientes estacionarias (o contínuas)

En este tema tratamos sólo el caso particular en el que tanto $ \rho_{{L}}^{}$ como $ \overrightarrow{j}$ no dependen del tiempo (i.e., $ \partial$$ \rho_{{L}}^{}$/$ \partial$t = 0 y $ \partial$$ \overrightarrow{j}$/$ \partial$t = 0 ).

En este caso se dice que la corriente es estacionaria o contínua y, a partir de 5, se deduce inmediatamente que el flujo neto de corriente a través de cualquier superficie del sistema debe ser 0:

$\displaystyle \oint_{{S}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ = 0 (6)

Además, en este caso estacionario, se puede comprobar que la componente normal de la densidad de corriente $ \overrightarrow{j}$ en la superficie del sistema debe ser 0 (no existen líneas de corriente que acaben en la superficie del conductor... esto implicaría que la carga superficial en el punto donde acaba la línea de corriente va aumentando - o disminuyendo - con el tiempo).

De la condición 6 se deduce que en un circuito que circula una corriente estacionaria, la intensidad de corriente a través de cualquier sección del conductor es constante3.

Figura 6: Fragmento de un conductor transportando una corriente estacionaria. De acuerdo con la ecuación 6 la intensidad a través de las secciones S1 y S2 es la misma ( I1 = I2) .
\includegraphics[%
width=0.40\textwidth,
keepaspectratio]{estacionario.eps}

Por ejemplo, en la figura 6 consideramos el volumen de un trozo de conductor por el que circula una corriente estacionaria. El flujo de corriente es el que atraviesa las secciones S1 y S2 , ya que por la superficie límite lateral (SL ) la componente normal de $ \overrightarrow{j}$ es 0. Es decir

$\displaystyle \oint_{{S}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ = $\displaystyle \int_{{S_{1}}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ + $\displaystyle \int_{{S_{2}}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ = - I1 + I2

y debe igualarse a cero. Por lo tanto:

I1 = I2

Líneas de corriente cerradas

Otra propiedad importante que deben verificar las corrientes estacionarias y que puede deducirse de la condición 6, es que las líneas de corriente deben ser cerradas4. Obérvese que debe ser así, pues si existiera una línea abierta de corriente desde un volumen V1 hacia otro volumen V2 , la carga en V1 disminuiría y la de V2 aumentaría, y no serían constantes en el tiempo.

Figura 7: Las líneas de corriente no pueden ser abiertas si la corriente es estacionaria.
\includegraphics[%
width=0.40\textwidth,
keepaspectratio]{estacionario1.eps}


J.M. Asensi
2004-03-17