1 Corriente de desplazamiento
(generalización del Teorema d'Ampère)

En el Tema 5 vimos que el campo magnético satisface el Teorema de Ampère:

La circulación de $ \overrightarrow {B}$ alrededor de cualquier trayectoria cerrada C es igual a $ \mu_{{0}}^{}$I , donde I es la corriente total a través de cualquier superficie S limitada por la trayectoria cerrada.

Es decir:

$\displaystyle \oint_{{C}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{B}$ . $\displaystyle \overrightarrow{dl}$ = $\displaystyle \mu_{{0}}^{}$I = $\displaystyle \mu_{{0}}^{}$$\displaystyle \int_{{S}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$

El Teorema de Ampère debería verficarse independientemente de la superficie S que se considere. Sin embargo, hay ocasiones en que ésto parece no cumplirse.

Por ejemplo, consideremos el circuito de la figura 1, que consiste en un condensador de placas paralelas, que se está cargando con una corriente de intensidad I constante1. Si se aplica el Teorema de Ampère a la trayectoria cerrada C y a la superficie S1 , vemos que

$\displaystyle \oint_{{C}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{B}$ . $\displaystyle \overrightarrow{dl}$ = $\displaystyle \mu_{{0}}^{}$$\displaystyle \int_{{S_{1}}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ = $\displaystyle \mu_{{0}}^{}$I (1)

Si, por otra parte, se aplica el Teorema de Ampère a la trayectoria C y a la superficie S2 , entonces $ \overrightarrow{j}$ es cero en todos los puntos de S2 y

$\displaystyle \oint_{{C}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{B}$ . $\displaystyle \overrightarrow{dl}$ = $\displaystyle \mu_{{0}}^{}$$\displaystyle \int_{{S_{2}}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ = 0 (2)

Vemos pues, que las ecuaciones anteriores se contradicen y, por tanto, ambas no pueden ser correctas.

Si suponemos que la trayectoria considerada está a una gran distancia del condensador, está claro que la influencia del condensador debe ser mínima y la primera ecuación (ec. 1) debería ser correcta. Por el contrario, la segunda ecuación (ec. 2) debería modificarse para incluir de alguna forma el efecto del condensador.

Figura: Inconsitencia del Teorema de Ampère al considerar un condensador durante el proceso de carga. La corriente que atraviesa las superficies S1 o S3 es I . Sin embargo, la que atraviesa S2 es cero. Según el Teorema de Ampère ¿cuál debería ser, entonces, la circulación de $ \overrightarrow {B}$ a lo largo de la trayectoria C?.
\includegraphics[%
width=0.70\textwidth,
keepaspectratio]{ampere1.eps}

Para deducir la modificación adecuada conviene observar que todo el problema proviene del hecho que

$\displaystyle \int_{{S_{1}}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ $\displaystyle \neq$ $\displaystyle \int_{{S_{2}}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$

es decir

- $\displaystyle \int_{{S_{1}}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ + $\displaystyle \int_{{S_{2}}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ $\displaystyle \neq$ 0

y teniendo en cuenta que S1 y S2 forman juntas una superficie cerrada, y que $ \overrightarrow{ds}$ señala hacia dentro en S1 y hacia fuera en S2 , lo anterior significa que

$\displaystyle \oint_{{S_{1}+S_{2}}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ $\displaystyle \neq$ 0

Vemos, pues, que la incosistencia en la aplicación del Teorema de Ampère proviene del hecho de que la corriente no es estacionaria.

Ocurre que la carga se está acumulando en las placas del condensador y la ecuación de continuidad (consecuencia de la conservación de la carga) requiere en este caso

$\displaystyle \oint_{{S_{1}+S_{2}}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ + $\displaystyle {\frac{{dQ}}{{dt}}}$ = 0 (3)
donde Q sería la carga acumulada en la placa izquierda del condensador.

La carga Q puede relacionarse con el flujo de campo eléctrico ($ \Phi^{{e}}_{}$ ) a través de S1 + S2 mediante la aplicación del Teorema de Gauss:

Q = $\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$$\displaystyle \Phi^{{e}}_{}$ = $\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$$\displaystyle \oint_{{S_{1}+S_{2}}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{E}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$

por lo tanto

$\displaystyle {\frac{{dQ}}{{dt}}}$ = $\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$$\displaystyle {\frac{{d}}{{dt}}}$$\displaystyle \oint_{{S_{1}+S_{2}}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{E}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ = $\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$$\displaystyle \oint_{{S_{1}+S_{2}}}^{}$$\displaystyle {\frac{{\partial\overrightarrow{E}}}{{\partial t}}}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$

y la ecuación 3 podría expresarse como

$\displaystyle \oint_{{S_{1}+S_{2}}}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{j}+\varepsilon_{0}\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ + $\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$$\displaystyle {\frac{{\partial\overrightarrow{E}}}{{\partial t}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{j}+\varepsilon_{0}\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}}\right)$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ = 0

lo que sugiere que la variación temporal del campo eléctrico debería tener el efecto de una corriente y probablemente es la modificación que debería incluirse en la ecuación 2.

En este sentido, Maxwell observó que el Teorema de Ampère podría aplicarse a cualquier situación si se considera una densidad de corriente generalizada que consiste de la corriente habitual de conducción ( $ \overrightarrow{j}$ ) más otro término que denominó corriente de desplazamiento ( $ \overrightarrow{j}_{{d}}^{}$ ):

$\displaystyle \overrightarrow{j}_{{d}}^{}$ = $\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$$\displaystyle {\frac{{\partial\overrightarrow{E}}}{{\partial t}}}$

esta sería, en realidad, la densidad de corriente de desplazamiento. La corriente de desplazamiento a través de una superficie S será

Id = $\displaystyle \int_{{S}}^{}$$\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$$\displaystyle {\frac{{\partial\overrightarrow{E}}}{{\partial t}}}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$

Al final, la forma generalizada del Teorema de Ampère propuesto por Maxwell es

$\displaystyle \oint_{{C}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{B}$ . $\displaystyle \overrightarrow{dl}$ = $\displaystyle \mu_{{0}}^{}$$\displaystyle \int_{{S}}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{j}+\overrightarrow{j}_{d}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{j}$ + $\displaystyle \overrightarrow{j}_{{d}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{j}+\overrightarrow{j}_{d}}\right)$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ = $\displaystyle \mu_{{0}}^{}$I + $\displaystyle \mu_{{0}}^{}$$\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$$\displaystyle \int_{{S}}^{}$$\displaystyle {\frac{{\partial\overrightarrow{E}}}{{\partial t}}}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$ (4)
ecuación que recibe el nombre de Teorema de Ampère-Maxwell.


J.M. Asensi
2004-05-12