Subsecciones

5 El gradiente de potencial

5.1 Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial

Hemos visto que las líneas de campo señalan en la dirección del potencial decreciente.

Si consideramos un pequeño desplazamiento $ \overrightarrow{dl}$ en el seno de un campo eléctrico $ \overrightarrow{E}$ , la variación de potencial es

dV = - $\displaystyle \overrightarrow{E}$ . $\displaystyle \overrightarrow{dl}$ = - E || dl

donde E || es la componente de $ \overrightarrow{E}$ paralela al desplazamiento.

Por lo tanto:

E || = - $\displaystyle {\frac{{dV}}{{dl}}}$

Obsérvese que si el desplazamiento $ \overrightarrow{dl}$ es perpendicular al campo, el potencial no varía (las superficies equipotenciales son perpendiculares al campo, como hemos visto).

La variación más grande del potencial se produce precisamente cuando el desplazamiento es paralelo (o antiparalelo) al campo $ \overrightarrow{E}$ .

Un vector que señala en la dirección de la máxima variación de una función escalar y cuyo módulo es igual a la derivada de la función con respecto a la distancia en dicha dirección, se denomina gradiente de la función.

Por lo tanto, el campo eléctrico $ \overrightarrow{E}$ es opuesto al gradiente de potencial V :

$\displaystyle \overrightarrow{E}$ = - $\displaystyle \nabla$V

En coordenadas rectangulares:

$\displaystyle \overrightarrow{E}$ = - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\partial V}{\partial x}\widehat{\overrighta...
...w{a_{y}}}+\frac{\partial V}{\partial z}\widehat{\overrightarrow{a_{z}}}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\partial V}}{{\partial x}}}$$\displaystyle \widehat{{\overrightarrow{a_{x}}}}$ + $\displaystyle {\frac{{\partial V}}{{\partial y}}}$$\displaystyle \widehat{{\overrightarrow{a_{y}}}}$ + $\displaystyle {\frac{{\partial V}}{{\partial z}}}$$\displaystyle \widehat{{\overrightarrow{a_{z}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\partial V}{\partial x}\widehat{\overrighta...
...w{a_{y}}}+\frac{\partial V}{\partial z}\widehat{\overrightarrow{a_{z}}}}\right)$


J.M. Asensi
2004-02-27