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7 Inducción magnética. Ley de Faraday.

7.1 Fuerza electromotriz inducida

Consideremos una barra conductora de longitud L que se mueve con velocidad v a través de un campo magnético uniforme B dirigido hacia el papel [ver figura 13(a)].

Como los electrones se mueven horizontalmente con la barra, sobre ellos actúa una fuerza magnética $ \overrightarrow{F}^{{m}}_{}$ que viene dada por la fuerza de Lorentz:

$\displaystyle \overrightarrow{F}^{{m}}_{}$ = q $\displaystyle \overrightarrow{v}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{B}$

Esta fuerza va dirigida hacia abajo (los electrones tienen carga negativa) y su módulo es qvB .

Como resultado de la fuerza magnética los electrones se acumulan en la parte inferior de la barra dando lugar a una carga neta negativa. En la parte superior aparece, como consecuencia, una carga neta positiva.

Este desplazamiento de los electrones se produce hasta que la fuerza eléctrica producida por el campo electrostático que crean $ \overrightarrow{E}$ las cargas separadas equilibra la fuerza magnética [figura 13(b)]:

$\displaystyle \overrightarrow{F}^{{e}}_{}$ + $\displaystyle \overrightarrow{F}^{{m}}_{}$ = 0

Es decir:

q$\displaystyle \overrightarrow{E}$ = - q $\displaystyle \overrightarrow{v}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{B}$

con lo que la relación entre los módulos del campo eléctrico y magnético en la situación de equilibrio es

E = vB

y la diferencia de potencial entre los extremos de la barra es

$\displaystyle \Delta$V = EL = LvB

De hecho, la barra se comporta como un generador: la fuerza magnética por la unidad de carga es el campo electromotor E' = vB (ver Tema 4) y la fem de dicho generador es precisamente la diferencia de potencial que acabamos de calcular [figura 13(c)]:

e = $\displaystyle \int$$\displaystyle \overrightarrow{E'}$ . $\displaystyle \overrightarrow{dl}$ = - $\displaystyle \int$$\displaystyle \overrightarrow{E}$ . $\displaystyle \overrightarrow{dl}$ = LvB (10)
con lo que, si conectásemos un cable entre los estremos de la barra, se produciría una corriente que, según la ley de Ohm, sería

I = $\displaystyle {\frac{{e}}{{R}}}$

donde R es la resistencia de todo el circuito (incluida la propia resistencia de la barra).

En este caso particular, en que la fuerza electromotriz inducida e está asociada al movimiento de un conductor en el seno de un campo magnético, se habla de fem de movimiento.

Figura 13: Barra conductora moviéndose a través de un campo magnético uniforme.
\includegraphics[%
width=0.70\textwidth,
keepaspectratio]{induccion.eps}

7.2 Ley de Faraday

La ecuación 10 muestra como la fem es proporcional a la velocidad v de la barra. Por otra parte, el producto Lv es el área barrida por la barra en la unidad de tiempo, con lo que el producto BLv es el flujo magnético barrido en la unidad de tiempo.

Si imaginamos la barra conductora formando parte de un circuito deduciríamos que la fem inducida en el circuito (el producto BLv ) es igual a variación del flujo magnético $ \phi^{{m}}_{}$ a través del circuito en la unidad de tiempo [ve figura 13(d)]:

$\displaystyle {\frac{{\Delta\phi^{m}}}{{\Delta t}}}$ = $\displaystyle {\frac{{B\Delta S}}{{\Delta t}}}$ = $\displaystyle {\frac{{BLv\Delta t}}{{\Delta t}}}$ = BLv = e

Este resultado es general (la variación de flujo magnético puede ser provocado por distintas causas - ver apartado 1.4) y es conocido como la Ley de inducción de Faraday:

``La fem inducida en un circuito es directamente proporcional a la rapidez de cambio del flujo magnético a través del circuito''.
y matemáticamente se expresa como

e = - $\displaystyle {\frac{{d\phi^{m}}}{{dt}}}$ (11)

7.3 Ley de Lenz

El signo menos en la ecuación 11 está relacionado con el sentido de la fem inducida.

El sentido de la fem y de la corriente inducida se determinan a partir del principio conocido como Ley de Lenz:

``La polaridad de la fem inducida es tal que ésta tiende a producir una corriente que crea un flujo magnético que se opone al cambio en el flujo magnético a través del circuito.''
Es decir

``La fem y la corriente inducidas poseen un sentido tal que tienden a oponerse a la causa que las produce.''
Obsérvese, por ejemplo, el circuito hipotético de la figura 13(d). El flujo através de dicho circuito aumenta como resultado del desplazamiento de la barra (el área aumenta), y la intensidad inducida crea, precisamente, un campo magnético de sentido opuesto al existente. Es decir la variación de flujo magnético debido a la corriente inducida se opone a la variación de flujo magnético provocado por el desplazamiento de la barra.

Figura 14: Barra conductora desplazándose sobre dos rieles conductores en el seno de un campo magnético B dirigido hacia dentro del papel. El circuito se cierra con una resistencia R. Cuando la barra se desliza el flujo magnético a través del circuito aumenta con el tiempo. Por la ley de Lenz, la corriente inducida debe estar en dirección contraria a las manecillas del reloj produciendo un campo magnético en sentido contrario (saliendo del papel). Se comprueba que la fuerza magnética que actúa sobre la corriente tiende a frenarla.
\includegraphics{induccion1.eps}

Relación de la ley de Lenz con el Principio de conservación de la energía

En la figura 14 mostramos una variación de la experiencia de la barra conductora desplazándose en el seno de un campo magnético. Consideramos que la barra se desplaza sobre dos rieles conductores y además ambos conductores estan conectados a través de una resistencia R. Es decir, consideramos que realmente la barra forma parte de un circuito.

Imaginemos que inicialmente la barra estaba quieta y, de repente, le damos un ligero empujón. Según la Ley de Lenz, este movimiento debe generar en el circuito una corriente que circula en dirección contraria a las manecillas del reloj. Obsérvese que, si por la barra circula una corriente, entonces debe aparecer una fuerza magnética pues la corriente se produce en el seno de un campo magnético. Se comprueba fácilmente que el sentido de la fuerza es contrario al de la velocidad de la barra, con lo que la fuerza tiende a frenar la barra.

Ahora véase lo que sucede si se supone que la corriente circula en dirección de las manecillas del reloj (es decir, si no se cumple la Ley de Lenz). En este caso se comprueba que la fuerza magnética que aparece sobre la barra tiene el sentido de la velocidad. Es decir, la fuerza tiende a acelerar la barra, con lo que la velocidad aumenta. Esto, a su vez, ocasionaría que el área del circuito aumentara más rápido, lo que aumentaría la corriente inducida, con lo que se incrementaría la fuerza.... En definitiva, el sistema adquiriría energía sin que existiese ninguna fuente de energía, lo que violaría el Principio de conservación de la energía.

7.4 Fenómenos de inducción magnética

Como hemos indicado, la ley de la inducción de Faraday es general: siempre que exista una variación del flujo magnético a través de la superficie de un circuito, aparece una fuerza electromotriz inducida y, por lo tanto, una corriente inducida:

I = $\displaystyle {\frac{{e}}{{R}}}$ = - $\displaystyle {\frac{{1}}{{R}}}$$\displaystyle {\frac{{d\phi^{m}}}{{dt}}}$

donde R es la resistencia del circuito.

Existen dos posibles orígenes para la variación del flujo magnético:

  1. El campo $ \overrightarrow {B}$ es estacionario pero el circuito se traslada o se deforma. Este es el caso, por ejemplo, de la barra conductora que hemos estudiado. Como hemos visto, el origen de la fuerza electromotriz es la fuerza de Lorentz sobre las cargas libres arrastradas por el conductor.
  2. El campo $ \overrightarrow {B}$ varía con el tiempo: $ \overrightarrow {B}$(t) . El circuito puede estar fijo. De hecho, se puede considerar que aparece un campo $ \overrightarrow{E}$ de inducción (el campo electromotor) en todos los puntos del espacio independientemente de la presencia del circuito. Si existe un conductor, el campo provocará el movimiento de las cargas libres y, por lo tanto, la corriente inducida.
Figura 15: Corriente inducida en un circuito estacionario: el flujo de campo magnético varía porque el campo magnético varía con el tiempo al desplazar el imán. (a) El imán se mueve hacia la espira. (b) La corriente inducida produce su propio flujo en sentido contrario. (c) El imán se aleja. (d) Campo creado por la corriente inducida en este caso.
\includegraphics[%
width=0.40\textwidth,
keepaspectratio]{ejemplo1.eps}

Figura 16: Corriente inducida en un circuito móvil en el seno de un campo magnético estacionario. El dispositivo constituye un generador (de A.C.?).
\includegraphics[%
width=0.40\textwidth]{ejemplo2.eps}


J.M. Asensi
2004-04-15