Por convenio, en una superficie cerrada el vector normal unidad
El flujo total o neto a través de la superficie cerrada será positivo
o negativo dependiendo de que
De acuerdo con lo visto en el apartado anterior: el flujo neto
es proporcional al número neto de líneas de fuerza que salen de la
superficie.
Matemáticamente, el flujo a través de una superficie cerrada se expresa
de la siguiente forma:
Consideramos una carga puntual q
Es decir: el flujo creado por una carga puntual q
De hecho, podemos comprobar que el número de líneas de fuerza que
atraviesa una superficie cerrada que encierra a la carga q
Como el flujo es proporcional al número de líneas, podemos concluir
que el flujo neto a través de una superficie cualquiera que
rodea una carga puntual q
A partir del principio de superposición podemos generalizar el resultado
anterior al caso de un sistema cualquiera de cargas: efectivamente,
como el campo en cualquier punto de la superficie es la suma del campo
creado por cada carga, entonces el flujo es también la suma de los
flujos debidos a las cargas individuales. Por ejemplo, si una carga
esta fuera de la superficie, la contribución al flujo neto es 0 debido
a que entran en la superficie tantas líneas como salen [figura 10
(C)].
Al final tenemos el Teorema de Gauss:
En algunas distribuciones de carga altamente simétricas
es posible determinar una superficie (superficie gaussiana)
que por simetría posee un campo eléctrico constante perpendicular
a la superficie.
A continuación puede evaluarse fácilmente el flujo y utilizar el teorema
de Gauss para relacionar el campo con la carga en el interior.
Por ejemplo
En general, los casos de alta simetría se reducen a tres situaciones:
Coordenadas esféricas:
En la resolución de problemas con simetría esférica conviene utilizar
el sistema de coordenadas esféricas (ver figura 11).
En este sistema de coordenadas la posición de un punto en el espacio
queda determinado por las coordenadas
(r,
La expresión más general del vector campo eléctrico en coordenada
esféricas es:
Sin embargo, en los problemas con simetría esférica (p.e., esfera
uniformemente cargada) el campo puede reducirse a
Coordenadas cilíndricas:
En la resolución de problemas con simetría cilíndrica conviene utilizar
el sistema de coordenadas cilíndricas (o polares) (ver figura
12).
En este sistema la posición de un punto en el espacio queda determinado
por las coordenadas
(r,
La expresión más general del vector campo eléctrico en coordenada
cilíndricas es:
Sin embargo, en los problemas con simetría cilíndrica (p.e., línea
infinita de carga) el campo puede reducirse a
En este caso conviene trabajar con el sistema de coordenadas más habitual:
las coordenadas rectangulares o cartesianas.
La expresión más general del campo en coordenadas rectangulares es:
Si existe simetría de traslación a lo largo de dos ejes la
expresión del campo se simplifica.
Por ejemplo, en el caso de una lámina paralela al plano x=0
y con carga uniforme, existe simetría de traslación a lo largo
del eje y y el eje z, con lo que el campo puede reducirse
a
Sin embargo, obsérvese que para poder construir una superficie gaussiana
que nos permita aplicar el teorema de Gauss para calcular el campo,
no basta con la simetría de traslación (necesitamos una relación de
simetría adicional...).
=
.
ds
7.2 Teorema de Gauss
.
=
.
ds = E
ds = E 4
R2 =
El flujo neto a través de cualquier superficie cerrada
es igual a
Q/
7.3 Cálculo del campo eléctrico mediante la ley de Gauss
=
.
=
Eds (
y
perpendiculares)
=
E
ds (
constante)
=
E . S
y aplicando el teorema de Gauss:
E =
7.3.1 Simetría esférica
,
)
(r,
,
) = Er(r,
,
)
+ E
(r,
,
)
+ E
(r,
,
)
(r,
,
) =
(r) = Er(r)
7.3.2 Simetría cilíndrica
, z)
(r,
, z) = Er(r,
, z)
+ E
(r,
, z)
+ Ez(r,
, z)
(r,
, z) =
(r) = Er(r)
7.3.3 Simetría plana
(x, y, z) = Ex(x, y, z)
+ Ey(x, y, z)
+ Ez(x, y, z)
(x, y, z) =
(x) = Ex(x)
(x, y, z) =
(y) = Ey(y)
(x, y, z) =
(z) = Ez(z)
J.M. Asensi
2004-02-24