Subsecciones

7 Teorema de Gauss

7.1 Flujo de campo a través de una superficie cerrada.

Por convenio, en una superficie cerrada el vector normal unidad $ \widehat{{\overrightarrow{n}}}$ se define dirigido hacia fuera en cada punto de la superficie. Por ejemplo, en un punto de la superficie donde $ \overrightarrow{E}$ está dirigido hacia dentro (línea de fuerza que entra en la superficie) el flujo $ \Phi$ es negativo.

El flujo total o neto a través de la superficie cerrada será positivo o negativo dependiendo de que $ \overrightarrow{E}$ sea predominantemente hacia fuera o hacia dentro de la superficie.

De acuerdo con lo visto en el apartado anterior: el flujo neto es proporcional al número neto de líneas de fuerza que salen de la superficie.

Matemáticamente, el flujo a través de una superficie cerrada se expresa de la siguiente forma:

$\displaystyle \Phi$ = $\displaystyle \oint_{{S}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{E}$ . $\displaystyle \widehat{{\overrightarrow{n}}}$ ds

7.2 Teorema de Gauss

Consideramos una carga puntual q y una superficie esférica de radio R con centro en la carga puntual [figura 10 (A)]. El campo eléctrico $ \overrightarrow{E}$ en un punto cualquiera de la superficie es perpendicular a la superficie y tiene de módulo:

E = $\displaystyle {\frac{{q}}{{4\pi\varepsilon_{0}R^{2}}}}$.

El flujo neto a través de la superficie esférica es

$\displaystyle \Phi$ = $\displaystyle \oint_{{S}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{E}$ . $\displaystyle \widehat{{\overrightarrow{n}}}$ ds = E $\displaystyle \oint_{{S}}^{}$ds = E 4$\displaystyle \pi$R2 = $\displaystyle {\frac{{q}}{{\varepsilon_{0}}}}$

Es decir: el flujo creado por una carga puntual q a través de una superficie esférica con centro la carga puntual es independiente del radio de la esfera y es igual a q/$ \varepsilon_{{0}}^{}$ .

De hecho, podemos comprobar que el número de líneas de fuerza que atraviesa una superficie cerrada que encierra a la carga q es independiente de la forma de la superficie cerrada [figura 10 (B)].

Como el flujo es proporcional al número de líneas, podemos concluir que el flujo neto a través de una superficie cualquiera que rodea una carga puntual q es igual a q/$ \varepsilon_{{0}}^{}$ .

A partir del principio de superposición podemos generalizar el resultado anterior al caso de un sistema cualquiera de cargas: efectivamente, como el campo en cualquier punto de la superficie es la suma del campo creado por cada carga, entonces el flujo es también la suma de los flujos debidos a las cargas individuales. Por ejemplo, si una carga esta fuera de la superficie, la contribución al flujo neto es 0 debido a que entran en la superficie tantas líneas como salen [figura 10 (C)].

Al final tenemos el Teorema de Gauss:

El flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a Q/$ \varepsilon_{{0}}^{}$ . Donde Q es la carga neta dentro de la superficie.
Figura 10: Flujo de campo eléctrico creado por una carga puntual a través de de diferentes superficies.
\includegraphics[%
width=0.90\textwidth,
keepaspectratio]{gauss.eps}

7.3 Cálculo del campo eléctrico mediante la ley de Gauss

En algunas distribuciones de carga altamente simétricas es posible determinar una superficie (superficie gaussiana) que por simetría posee un campo eléctrico constante perpendicular a la superficie.

A continuación puede evaluarse fácilmente el flujo y utilizar el teorema de Gauss para relacionar el campo con la carga en el interior.

Por ejemplo


$\displaystyle \Phi$ = $\displaystyle \oint_{{S}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{E}$ . $\displaystyle \overrightarrow{ds}$  
  = $\displaystyle \oint_{{S}}^{}$Eds    ($\displaystyle \overrightarrow{E}$y$\displaystyle \overrightarrow{\textrm{ds}}$perpendiculares)  
  = E$\displaystyle \oint_{{S}}^{}$ds   ($\displaystyle \overrightarrow{E}$constante)  
  = E . S  

y aplicando el teorema de Gauss:

E . S = $\displaystyle {\frac{{Q}}{{\varepsilon_{0}\textrm{ }}}}$

$\displaystyle \Rightarrow$      E =$\displaystyle {\frac{{Q}}{{S\cdot\varepsilon_{0}}}}$

En general, los casos de alta simetría se reducen a tres situaciones:

7.3.1 Simetría esférica

Figura 11: Coordenadas esféricas
\includegraphics[%
width=0.50\textwidth]{coord_esfericas.eps}

Coordenadas esféricas:

En la resolución de problemas con simetría esférica conviene utilizar el sistema de coordenadas esféricas (ver figura 11).

En este sistema de coordenadas la posición de un punto en el espacio queda determinado por las coordenadas (r,$ \varphi$,$ \theta$) y un vector se expresa utilizando los vectores unitarios $ \overrightarrow{a}_{{r}}^{}$ , $ \overrightarrow{a}_{{\varphi}}^{}$ y $ \overrightarrow{a}_{{\theta}}^{}$ (Observese que la dirección y el sentido de estos vectores dependen de la posición concreta del punto en el espacio).

La expresión más general del vector campo eléctrico en coordenada esféricas es:

$\displaystyle \overrightarrow{E}$(r,$\displaystyle \varphi$,$\displaystyle \theta$) = Er(r,$\displaystyle \varphi$,$\displaystyle \theta$)$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{r}}^{}$ + E$\scriptstyle \varphi$(r,$\displaystyle \varphi$,$\displaystyle \theta$)$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{\varphi}}^{}$ + E$\scriptstyle \theta$(r,$\displaystyle \varphi$,$\displaystyle \theta$)$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{\theta}}^{}$

Sin embargo, en los problemas con simetría esférica (p.e., esfera uniformemente cargada) el campo puede reducirse a

$\displaystyle \overrightarrow{E}$(r,$\displaystyle \varphi$,$\displaystyle \theta$) = $\displaystyle \overrightarrow{E}$(r) = Er(r)$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{r}}^{}$

y las superficies gaussianas que permiten deducir el valor del campo son esferas.

7.3.2 Simetría cilíndrica

Figura 12: Coordenadas cilíndricas
\includegraphics[%
width=0.50\textwidth]{coord_cilindricas.eps}

Coordenadas cilíndricas:

En la resolución de problemas con simetría cilíndrica conviene utilizar el sistema de coordenadas cilíndricas (o polares) (ver figura 12).

En este sistema la posición de un punto en el espacio queda determinado por las coordenadas (r,$ \varphi$, z) y un vector se expresa utilizando los vectores unitarios $ \overrightarrow{a}_{{r}}^{}$ , $ \overrightarrow{a}_{{\varphi}}^{}$ y $ \overrightarrow{a}_{{z}}^{}$ (Obsérvese que la dirección y el sentido de los vectores $ \overrightarrow{a}_{{r}}^{}$ y $ \overrightarrow{a}_{{\varphi}}^{}$ dependen de la posición concreta del punto en el espacio).

La expresión más general del vector campo eléctrico en coordenada cilíndricas es:

$\displaystyle \overrightarrow{E}$(r,$\displaystyle \varphi$, z) = Er(r,$\displaystyle \varphi$, z)$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{r}}^{}$ + E$\scriptstyle \varphi$(r,$\displaystyle \varphi$, z)$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{\varphi}}^{}$ + Ez(r,$\displaystyle \varphi$, z)$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{z}}^{}$

Sin embargo, en los problemas con simetría cilíndrica (p.e., línea infinita de carga) el campo puede reducirse a

$\displaystyle \overrightarrow{E}$(r,$\displaystyle \varphi$, z) = $\displaystyle \overrightarrow{E}$(r) = Er(r)$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{r}}^{}$

y las superficies gaussianas que permiten deducir el valor del campo son cilindros finitos (Observese que el teorema de Gauss se aplica a superficies cerradas - ver figura 13).

Figura 13: Superficie gaussiana para calcular el campo eléctrico en el caso de simetría cilíndrica.
\includegraphics[%
width=0.50\textwidth]{gauss_cilindro.eps}

7.3.3 Simetría plana

En este caso conviene trabajar con el sistema de coordenadas más habitual: las coordenadas rectangulares o cartesianas.

La expresión más general del campo en coordenadas rectangulares es:

$\displaystyle \overrightarrow{E}$(x, y, z) = Ex(x, y, z)$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{x}}^{}$ + Ey(x, y, z)$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{y}}^{}$ + Ez(x, y, z)$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{z}}^{}$

Si existe simetría de traslación a lo largo de dos ejes la expresión del campo se simplifica.

Por ejemplo, en el caso de una lámina paralela al plano x=0 y con carga uniforme, existe simetría de traslación a lo largo del eje y y el eje z, con lo que el campo puede reducirse a

$\displaystyle \overrightarrow{E}$(x, y, z) = $\displaystyle \overrightarrow{E}$(x) = Ex(x)$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{x}}^{}$

Si existe simetría de traslación a lo largo de los ejes x y z (lámina paralela al plano y=0) el campo se reduce a

$\displaystyle \overrightarrow{E}$(x, y, z) = $\displaystyle \overrightarrow{E}$(y) = Ey(y)$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{y}}^{}$

Si existe simetría de traslación a lo largo de los ejes x e y (lámina paralela al plano z=0) el campo se expresa como

$\displaystyle \overrightarrow{E}$(x, y, z) = $\displaystyle \overrightarrow{E}$(z) = Ez(z)$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{z}}^{}$

Sin embargo, obsérvese que para poder construir una superficie gaussiana que nos permita aplicar el teorema de Gauss para calcular el campo, no basta con la simetría de traslación (necesitamos una relación de simetría adicional...).


J.M. Asensi
2004-02-24