Subsecciones

4 Fuerza magnética sobre una corriente estacionaria

De igual forma que aparece una fuerza sobre una partícula cargada cuando se mueve a través de un campo magnético, un conductor por el que circula una corriente también experimenta una fuerza cuando se coloca en un campo magnético.

Así, si consideramos un segmento dl del conductor, por el cual discurre una carga dq, la fuerza que experimenta debida al campo magnético $ \overrightarrow {B}$ es la fuerza de Lorentz (ver 3):

$\displaystyle \overrightarrow{dF}^{{m}}_{}$ = dq . $\displaystyle \overrightarrow{v}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{B}$

donde $ \overrightarrow {v}$ es la velocidad de deriva de las cargas.

En el apartado anterior vimos que dq . $ \overrightarrow {v}$ = I . $ \overrightarrow{dl}$ , por lo tanto, la fuerza que actúa sobre el elemento de corriente es:

$\displaystyle \overrightarrow{dF}^{{m}}_{}$ = I . $\displaystyle \overrightarrow{dl}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{B}$

[Nota: esta expresión podría considerarse como una definición alternativa del campo magnético. Es decir, el campo $ \overrightarrow {B}$ puede definirse en términos de la fuerza medida en un elemento de corriente, donde la fuerza es máxima cuando $ \overrightarrow {B}$ es perpendicular al elemento de corriente y cero cuando $ \overrightarrow {B}$ es paralelo al elemento],

Para obtener la fuerza total que actua sobre el circuito, hay que integrar la expresión anterior para toda la longitud del circuito

$\displaystyle \overrightarrow{F}^{{m}}_{}$ = $\displaystyle \oint_{{C}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{dF}^{{m}}_{}$ = I$\displaystyle \oint_{{C}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{dl}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{B}$

expresión que se conoce como 2a Ley de Laplace.

4.1 Ley de Ampère de la fuerza

Consideramos dos circuitos C1 y C2 que transportan corrientes estacionarias I1 e I2 respectivamente (ver figura 7).

Por lo visto hasta ahora, esperamos que entre los dos circuitos aparezca una interacción de origen magnético debida a las corrientes5.

La fuerza que ejerce el circuito C1 sobre el circuito C2 puede determinarse a partir de la 2a Ley de Laplace:

$\displaystyle \overrightarrow{F}_{{12}}^{{m}}$ = $\displaystyle \oint_{{C_{2}}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{dF}_{{12}}^{{m}}$ = I2$\displaystyle \oint_{{C_{2}}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{2}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{B}_{{1}}^{}$

donde $ \overrightarrow{B}_{{1}}^{}$ es el campo magnético creado por el circuito C1 en cada punto del circuito C2 .

Por otra parte, el campo $ \overrightarrow{B}_{{1}}^{}$ puede calcularse a partir de la 1a Ley de Laplace (o Ley de Biot-Savart):

$\displaystyle \overrightarrow{B}_{{1}}^{}$ = $\displaystyle \oint_{{C_{1}}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{dB}_{{1}}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}I_{1}}}{{4\pi}}}$$\displaystyle \oint_{{C_{1}}}^{}$$\displaystyle {\frac{{\overrightarrow{dl}_{1}\wedge\overrightarrow{r}_{12}}}{{r_{12}^{3}}}}$

Introduciendo esta expresión en la anterior obtenemos:


$\displaystyle \overrightarrow{F}_{{12}}^{{m}}$ = I2$\displaystyle \oint_{{C_{2}}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{2}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\mu_{0}I_{1}}{4\pi}\oint_{C_{1}}\frac{\overrightarrow{dl}_{1}\wedge\overrightarrow{r}_{12}}{r_{12}^{3}}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\mu_{0}I_{1}}}{{4\pi}}}$$\displaystyle \oint_{{C_{1}}}^{}$$\displaystyle {\frac{{\overrightarrow{dl}_{1}\wedge\overrightarrow{r}_{12}}}{{r_{12}^{3}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\mu_{0}I_{1}}{4\pi}\oint_{C_{1}}\frac{\overrightarrow{dl}_{1}\wedge\overrightarrow{r}_{12}}{r_{12}^{3}}}\right)$  
  = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}I_{1}I_{2}}}{{4\pi}}}$$\displaystyle \oint_{{C_{2}}}^{}$$\displaystyle \oint_{{C_{1}}}^{}$$\displaystyle {\frac{{\overrightarrow{dl}_{2}\wedge\left(\overrightarrow{dl}_{1}\wedge\overrightarrow{r}_{12}\right)}}{{r_{12}^{3}}}}$ (9)

expresión que se conoce como Ley de Ampère de la fuerza (entre dos circuitos).

Figura 7: Interacción magnética entre dos circuitos de corriente.
\includegraphics[%
width=0.75\textwidth,
keepaspectratio]{ampere.eps}

Es destacable el hecho de que, si bien el principio de acción y reacción no se cumple en general para dos elementos de corriente cualquiera, es decir

$\displaystyle \overrightarrow{dF}_{{12}}^{}$ $\displaystyle \neq$ - $\displaystyle \overrightarrow{dF}_{{21}}^{}$

(ver, p.e., la figura 7); sin embargo, puede llegar a demostrarse que sí se cumple para las fuerzas totales (las que se deducen de aplicar la ecuación 9). Es decir

$\displaystyle \overrightarrow{F}_{{12}}^{}$ = - $\displaystyle \overrightarrow{F}_{{21}}^{}$

4.2 Ejemplo: fuerza magnética entre dos conductores paralelos

Consideramos dos conductores largos (indefinidos) y paralelos separados una distancia d y que llevan corrientes I1 e I2 en la misma dirección (como muestra la figura 9).

Se demuestra (ver problema 5.2) que las líneas de campo magnético que crea un hilo conductor indefinido por el que circula una intensidad I son circunferencias alrededor del hilo. La magnitud del campo depende sólo de la distancia r al hilo (simetría cilíndrica). El campo expresado en coordenadas cilíndricas (coincidiendo el eje z con el hilo) es:

$\displaystyle \overrightarrow{B}$ = $\displaystyle \overrightarrow{B}$(r) = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}I}}{{2\pi r}}}$$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{\varphi}}^{}$

Figura 8: Campo magnético creado por un hilo conductor indefinido.
\includegraphics[%
width=0.30\textwidth,
keepaspectratio]{hilo.eps}

Vemos entonces, que el campo $ \overrightarrow{B}_{{1}}^{}$ que crea el conductor 1 (por el que circula la corriente I1 ) es constante en todos los puntos del conductor 2 y su valor es (expresado en coordenadas cartesianas; ver figura 9):

$\displaystyle \overrightarrow{B}_{{1}}^{}$ = - $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}I_{1}}}{{2\pi d}}}$$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{x}}^{}$

La fuerza que este campo ejerce sobre un segmento de longitud $ \ell$ del conductor 2 la deducimos aplicando la 2a Ley de Laplace:

$\displaystyle \overrightarrow{F}_{{12}}^{}$ = I2$\displaystyle \int_{{\ell}}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{dl}_{{2}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{B}_{{1}}^{}$ = I2$\displaystyle \int_{{\ell}}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{dl\cdot\overrightarrow{a}_{z}}\right.$dl . $\displaystyle \overrightarrow{a}_{{z}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{dl\cdot\overrightarrow{a}_{z}}\right)$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \left(\vphantom{-\frac{\mu_{0}I_{1}}{2\pi d}\cdot\overrightarrow{a}_{x}}\right.$ - $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}I_{1}}}{{2\pi d}}}$ . $\displaystyle \overrightarrow{a}_{{x}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{-\frac{\mu_{0}I_{1}}{2\pi d}\cdot\overrightarrow{a}_{x}}\right)$ = - $\displaystyle {\frac{{\ell\mu_{0}I_{1}I_{2}}}{{2\pi d}}}$$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{y}}^{}$

De igual forma puede comprobarse que la fuerza que ejerce el conductor 2 sobre el conductor 1 es

$\displaystyle \overrightarrow{F}_{{21}}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{\ell\mu_{0}I_{1}I_{2}}}{{2\pi d}}}$$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{y}}^{}$

que es lo que esperábamos de acuerdo con la ley de acción y reacción.

Vemos que, en este caso que los conductores llevan corrientes en la misma dirección, la fuerza es atractiva.

Cuando las corrientes son opuestas se invierte el sentido de las fuerzas y los conductores se repelen.

Figura 9: Fuerzas magnéticas entre dos conductores paralelos.
\includegraphics[%
width=0.50\textwidth,
keepaspectratio]{2conductores.eps}


J.M. Asensi
2004-04-15