Hemos visto, como en un circuito de AC, la corriente (intensidad) y el voltaje, pueden ir desfasados según sea el elemento conectado en el circuito (resistencia, bobina o condensador)
Aunque en realidad ni la diferencia de el voltaje ni la intensidad son vectores podemos representarlos por unos vectores bidemensionales llamados fasores.
En la figura 9, la caida de tensión entre los extremos
de una resistencia se representa por el vector
de módulo
V0 = I0R
y que, en un instante dado, hace un ángulo
con el eje x.
Este vector, que es el denominado fasor, gira con frecuencia
angular
en sentido opuesto a las manecillas del reloj. Es
decir, el ángulo
es función del tiempo:
=
t
.
De hecho, la utilización de fasores para representar magnitudes que
varían sinusoidalmente con el tiempo se debe a que la proyección del
fasor sobre cualquiera de los ejes de coordenadas es, precisamente,
una magnitud que varía sinusoidalmente con el tiempo. Así, p.e., la
caida de potencial VR
en la resistencia puede considerarse como
la proyección en el eje x del fasor
:
De igual forma podríamos representar la intensidad que circula por la resistencia que, como hemos visto, está en fase con la caida de tensión VR . Es decir, sería de la forma
con I0 = V0/R . Es decir, la intensidad podría considerarse la componente x de un fasor
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En el caso de la bobina y el condensador existe un desfase entre la caida de tensión y la corriente. En la figura 10 se muestran los diagramas de fasores correspondientes.
En el caso de la bobina, el fasor
, que representa
la intensidad que circula por ella, y el fasor
,
que representa la diferencia de potencial entre sus extremos, forman
un ángulo de
/2
radianes, tal como indica la figura 10.
Obsérvese que ambos fasores giran con las misma velocidad angular
en sentido opuesto al de las manecillas del reloj. En cualquier
instante, el desfase de
/2
se mantiene constante y el fasor
está retrasado con respecto a
.
En el caso del condesador, los fasores
y
también forma un ángulo de
/2
radianes. Aunque, en este caso
el fasor
está adelantado con respecto a
.
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A la hora de hacer cálculos es útil el uso de una representación basada en números complejos.
donde
De esta forma, la suma de dos números complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 es
y el producto es:
Re(z) | = | x | |
Im(z) | = | y |
De hecho, el número complejo z puede considerarse como un vector de componentes x e y (ver figura 11). Las figuras resultantes de esta representación de denominan diagramas de Argand.
La longitud del vector que representa al número complejo z se denomina valor absoluto de z y se representa porz
:
donde r =z
y el ángulo
es el llamado argumento de z:
donde n es un entero positivo o negativo (o una fracción racional), el número complejo z puede expresarse como
expresión que se conoce como identidad de Euler. Esta forma de escribir un número complejo es muy util para obtener potencias y logaritmos de números complejos; y tambien hace mucho más simple la multiplicación. Por ejemplo, si z1 = r1eiy z2 = r2ei
entonces
La substitución de valores específicos deen la identidad de Euler permite derivar relaciones especiales, p.e.:
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Si la caida de tensión en un elemento por el que circula una corriente alterna es
podemos utilizar la notación compleja para representar V(t) :
donde
Igualmente, si la corriente que circula por el elemento es
utilizamos
donde
Hemos visto que en circuitos de corriente alterna se verifica la ley de Ohm para los distintos elementos (resistencias, bobinas y condensadores).
Concretamente, hemos visto que existe una relación de proporcionalidad entre la amplitud de la caida de tensión y la amplitud de la intensidad que circula por el elemento (o entre los valores eficaces de ambas magnitudes).
La constante de proporcionalidad es la impedancia que, en el caso de una resistencia es simplemente el valor de la resistencia (R ) y, en el caso de bobinas y condensadores, es la reactancia inductiva (XL ) y capacitiva (XC ), respectivamente.
Por otra parte hemos comprobado que, en general, se produce un desfase (retraso o adelanto) entre la tensión y la intensidad.
Con ayuda de la impedancia compleja se puede describir, además de la proporcionalidad entre las amplitudes de la tensión y la intensidad, el desfase que se produce entre dichas mangitudes.
Así, expresando la intensidad que circula por un elemento y la diferencia
de potencial en notación compleja (es decir
y
),
la impedancia compleja
del elemento se define de la
siguiente forma
Si escogemos el origen de tiempos de forma que
= V0ei
t
,
en general la intensidad que circula por el elemento podrá expresarse
como
= I0ei(
t-
)
donde
sería el posible retraso que experimenta la intensidad con respecto
la tensión (si
< 0
la intensidad se adelantaría).
Por lo tanto
Es decir, el módulo de la impedancia compleja es la relación entre amplitudes (o valores eficaces...):
y el argumento es el retraso que experimenta la corriente con respecto la caida de tensión.
Si el elemento es una resistencia, entonces
y
entonces
es decir la impedancia de una resistencia es real e igual a la resistencia R.
Si el elemento es una bobina de inductancia L, entonces, si la caida de tensión entre sus extremos es
la intensidad que circula es
entonces
Es decir, la impedancia de la bobina es una magnitud compleja (consecuencia del desfase que aparece entre la intensidad y la diferencia de potencial) y aumenta con la frecuencia. En circuitos de corriente continua
Si el elemento es un condensador de capacidad C, entonces, si la caida de tensión entre sus extremos es
la intensidad que circula es
entonces
Es decir, la impedancia del condensador es una magnitud compleja y disminuye con la frecuencia. En circuitos de corriente continua
Si dos impedancias se conectan en serie, entonces fluye la misma corriente
a través de cada una. Los voltajes a traves de las
dos impedancias son
=
y
=
. La caida de tensión
total para la combinación es
+
= (
+
)
.
Por lo tanto, en la asociación de impedancias en serie se suman las
impedancias. Esto es lo mismo que en corriente continua, salvo que
ahora las impedancias se suman como números complejos.
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Por ejemplo, hemos comentado que una bobina real siempre posee cierta resistencia RL . Esto significa que puede considerarse como una bobina ideal de inductancia L en serie con una resistencia RL . Su impedancia será:
En este caso, aparece el mismo voltaje
a través de
cada impedancia, y las corrientes vendrán dadas por
=
/
,
=
/
, etc. La corriente
total es
por lo tanto
En este caso, en que se conectan impedancias en paralelo, resulta útil introducir el concepto de admitancia. Que se define como el inverso de la impedancia:
entonces, para la asociacion de varias impedancias en paralelo, se tiene simplemente