Subsecciones

1 Interacción de cargas en movimiento

En el tema 1 vimos que la fuerza electrostática que ejerce una partícula con carga q1 sobre otra con carga q2 viene dada por la Ley de Coulomb:

$\displaystyle \overrightarrow{F}_{{12}}^{{e}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{4\pi\varepsilon_{0}}}}$$\displaystyle {\frac{{q_{1}q_{2}}}{{r_{12}^{2}}}}$$\displaystyle \widehat{{\overrightarrow{r}}}_{{12}}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{4\pi\varepsilon_{0}}}}$$\displaystyle {\frac{{q_{1}q_{2}}}{{r_{12}^{3}}}}$$\displaystyle \overrightarrow{r}_{{12}}^{}$ (1)
donde $ \overrightarrow{r}_{{12}}^{}$ es el vector posición de q2 respecto a q1 ( $ \widehat{{\overrightarrow{r}}}_{{12}}^{}$ = $ \overrightarrow{r}_{{12}}^{}$/r12 es un vector unitario).

En la ecuación 1 se consideraba implícitamente que las dos cargas estaban en reposo.

Si las dos cargas se mueven uniformemente con velocidades respectivas $ \overrightarrow{v}_{{1}}^{}$ y $ \overrightarrow{v}_{{2}}^{}$ , además de la fuerza electrostática aparece una fuerza magnética que viene dada por la siguiente expresión

$\displaystyle \overrightarrow{F}_{{12}}^{{m}}$ = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}}}{{4\pi}}}$$\displaystyle {\frac{{q_{1}q_{2}}}{{r_{12}^{2}}}}$$\displaystyle \overrightarrow{v}_{{2}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{v}_{1}\wedge\widehat{\overrightarrow{r}}_{12}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{v}_{{1}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \widehat{{\overrightarrow{r}}}_{{12}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{v}_{1}\wedge\widehat{\overrightarrow{r}}_{12}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{{\mu_{0}}}{{4\pi}}}$$\displaystyle {\frac{{q_{1}q_{2}}}{{r_{12}^{3}}}}$$\displaystyle \overrightarrow{v}_{{2}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{v}_{1}\wedge\overrightarrow{r}_{12}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{v}_{{1}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{12}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{v}_{1}\wedge\overrightarrow{r}_{12}}\right)$ (2)
donde $ \mu_{{0}}^{}$ es una constante denominada permeabilidad magnética del vacío.

En el SI:

$\displaystyle \mu_{{0}}^{}$ = 4$\displaystyle \pi$×10-7 $\displaystyle {\frac{{\textrm{N}}}{{\textrm{A}^{2}}}}$

De la expresión 2 se comprueba que existen ciertas similitudes entre la interacción magnética y la eléctrostática:

Sin embargo, la interacción magnética resulta algo más complicada pues depende además de las velocidades de las cargas, y esta dependencia se expresa a través de productos vectoriales (lo que quizás representa una complicación añadida).

Del análisis de la ecuación 2 pueden extraerse algunas consecuencias, las cuales resumimos en el siguiente apartado.

1.1 Características de la interacción magnética

$\displaystyle {\frac{{\left\vert\overrightarrow{F}_{12}^{m}\right\vert}}{{\left\vert\overrightarrow{F}_{12}^{e}\right\vert}}}$ = $\displaystyle \mu_{{0}}^{}$$\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$$\displaystyle \left\vert\vphantom{\overrightarrow{v}_{2}\wedge\left(\overrightarrow{v}_{1}\wedge\widehat{\overrightarrow{r}}_{12}\right)}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{v}_{{2}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{v}_{1}\wedge\widehat{\overrightarrow{r}}_{12}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{v}_{{1}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \widehat{{\overrightarrow{r}}}_{{12}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{v}_{1}\wedge\widehat{\overrightarrow{r}}_{12}}\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{v}_{2}\wedge\left(\overrightarrow{v}_{1}\wedge\widehat{\overrightarrow{r}}_{12}\right)}\right\vert$

Por otra parte

$\displaystyle \mu_{{0}}^{}$$\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{c^{2}}}}$

donde c es la velocidad de la luz en el vacío ( c $ \approx$ 3×108 m/s ). Por lo tanto

$\displaystyle {\frac{{\left\vert\overrightarrow{F}_{12}^{m}\right\vert}}{{\left\vert\overrightarrow{F}_{12}^{e}\right\vert}}}$ = $\displaystyle \left\vert\vphantom{\frac{\overrightarrow{v}_{2}}{c}\wedge\left(\...
...overrightarrow{v}_{1}}{c}\wedge\widehat{\overrightarrow{r}}_{12}\right)}\right.$$\displaystyle {\frac{{\overrightarrow{v}_{2}}}{{c}}}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\overrightarrow{v}_{1}}{c}\wedge\widehat{\overrightarrow{r}}_{12}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\overrightarrow{v}_{1}}}{{c}}}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \widehat{{\overrightarrow{r}}}_{{12}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\overrightarrow{v}_{1}}{c}\wedge\widehat{\overrightarrow{r}}_{12}}\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\overrightarrow{v}_{2}}{c}\wedge\left(\frac...
...rightarrow{v}_{1}}{c}\wedge\widehat{\overrightarrow{r}}_{12}\right)}\right\vert$

lo que permite comprobar que la fuerza magnética es mucho más pequeña que la electrostática; a menos, que las velocidades de las partículas cargadas sean comparables a la velocidad de la luz.

Una forma sencilla de comprobarlo es a partir de la siguiente identidad vectorial

$\displaystyle \overrightarrow{v}_{{2}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{v}_{1}\wedge\overrightarrow{r}_{12}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{v}_{{1}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{12}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{v}_{1}\wedge\overrightarrow{r}_{12}}\right)$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{v}_{2}\cdot\overrightarrow{r}_{12}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{v}_{{2}}^{}$ . $\displaystyle \overrightarrow{r}_{{12}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{v}_{2}\cdot\overrightarrow{r}_{12}}\right)$$\displaystyle \overrightarrow{v}_{{1}}^{}$ - $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{v}_{2}\cdot\overrightarrow{v}_{1}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{v}_{{2}}^{}$ . $\displaystyle \overrightarrow{v}_{{1}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{v}_{2}\cdot\overrightarrow{v}_{1}}\right)$$\displaystyle \overrightarrow{r}_{{12}}^{}$

que muestra como la fuerza puede descomponersee en dos componentes: una en la dirección del vector velocidad $ \overrightarrow{v}_{{1}}^{}$ y otra en la dirección del vector posición $ \overrightarrow{r}_{{12}}^{}$ ; con lo que necesariamente debe estar contenida en el plano definido por ambos vectores.

$\displaystyle \overrightarrow{F}_{{12}}^{{m}}$ $\displaystyle \neq$ - $\displaystyle \overrightarrow{F}_{{21}}^{{m}}$

Figura 1: Interacción magnética entre dos cargas en movimiento uniforme. Se considera que las cargas se mueven en el plano xy. En la esquina superior se muestra una situación particular en la cual existe fuerza magnética sobre una de las cargas (q2 ) mientras que para la otra no.
\includegraphics[%
width=0.70\textwidth,
keepaspectratio]{magneticQ.eps}

1.2 Principio de superposición

Al igual que las fuerzas electrostáticas, las interacción magnética entre varias cargas cumple el principio de superposición:

La fuerza magnética neta ejercida sobre una carga por un sistema de cargas se determina por la superposición de las fuerzas separadas ejercidas por cada carga del sistema:

$\displaystyle \overrightarrow{F}_{{j}}^{{m}}$ = $\displaystyle \sum_{{\begin{array}{c}
i=1\\
i\neq j\end{array}}}^{{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{F}_{{ij}}^{{m}}$


J.M. Asensi
2004-04-15