Subsecciones

5 Representación de magnitudes sinusoidales en forma compleja

5.1 Representación mediante fasores

Hemos visto, como en un circuito de AC, la corriente (intensidad) y el voltaje, pueden ir desfasados según sea el elemento conectado en el circuito (resistencia, bobina o condensador)

Aunque en realidad ni la diferencia de el voltaje ni la intensidad son vectores podemos representarlos por unos vectores bidemensionales llamados fasores.

En la figura 9, la caida de tensión entre los extremos de una resistencia se representa por el vector $ \overrightarrow {V}_{{R}}^{}$ de módulo V0 = I0R y que, en un instante dado, hace un ángulo $ \theta$ con el eje x.

Este vector, que es el denominado fasor, gira con frecuencia angular $ \omega$ en sentido opuesto a las manecillas del reloj. Es decir, el ángulo $ \theta$ es función del tiempo: $ \theta$ = $ \omega$t .

De hecho, la utilización de fasores para representar magnitudes que varían sinusoidalmente con el tiempo se debe a que la proyección del fasor sobre cualquiera de los ejes de coordenadas es, precisamente, una magnitud que varía sinusoidalmente con el tiempo. Así, p.e., la caida de potencial VR en la resistencia puede considerarse como la proyección en el eje x del fasor $ \overrightarrow {V}_{{R}}^{}$ :

VR = V0cos$\displaystyle \theta$ = V0cos$\displaystyle \omega$t

De igual forma podríamos representar la intensidad que circula por la resistencia que, como hemos visto, está en fase con la caida de tensión VR . Es decir, sería de la forma

I = I0cos$\displaystyle \omega$t

con I0 = V0/R . Es decir, la intensidad podría considerarse la componente x de un fasor $ \overrightarrow{I}$ que tiene la misma orientación que $ \overrightarrow {V}_{{R}}^{}$ .

Figura 9: Fasor que representa la caida de tensión en una resistencia. El fasor gira con frecuencia angular $ \omega$ . La caida de tensión en la resistencia es realmente la componente x del fasor $ \overrightarrow {V}_{{R}}^{}$ .
\includegraphics[%
width=0.50\textwidth,
keepaspectratio]{fasor.eps}

En el caso de la bobina y el condensador existe un desfase entre la caida de tensión y la corriente. En la figura 10 se muestran los diagramas de fasores correspondientes.

En el caso de la bobina, el fasor $ \overrightarrow{I}$ , que representa la intensidad que circula por ella, y el fasor $ \overrightarrow{V}_{{L}}^{}$ , que representa la diferencia de potencial entre sus extremos, forman un ángulo de $ \pi$/2 radianes, tal como indica la figura 10. Obsérvese que ambos fasores giran con las misma velocidad angular $ \omega$ en sentido opuesto al de las manecillas del reloj. En cualquier instante, el desfase de $ \pi$/2 se mantiene constante y el fasor $ \overrightarrow{I}$ está retrasado con respecto a $ \overrightarrow{V}_{{L}}^{}$ .

En el caso del condesador, los fasores $ \overrightarrow{I}$ y $ \overrightarrow{V}_{{C}}^{}$ también forma un ángulo de $ \pi$/2 radianes. Aunque, en este caso el fasor $ \overrightarrow{I}$ está adelantado con respecto a $ \overrightarrow{V}_{{C}}^{}$ .

Figura 10: Representación mediante fasores de la caida de tensión en una bobina y la intensidad (esquema de la izquierda) y lo mismo para un condensador (esquema de la derecha). Cada vector gira en sentido opuesto a las manecillas del reloj con frecuencia angular $ \omega$ . En cualquier instante, la caida de tensión y la intensidad a través de un elemento es igual a la componente x del fasor correspondiente.
\includegraphics[%
width=0.80\textwidth,
keepaspectratio]{fasorLC.eps}

5.2 Representación mediante números complejos

A la hora de hacer cálculos es útil el uso de una representación basada en números complejos.

Números complejos (recordatorio)

z = x + iy

donde

i2 = - 1

De esta forma, la suma de dos números complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 es

z1 + z2 = (x1 + y1) + i(y1 + y2)

y el producto es:

z1z2 = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1)


Re(z) = x  
Im(z) = y  

De hecho, el número complejo z puede considerarse como un vector de componentes x e y (ver figura 11). Las figuras resultantes de esta representación de denominan diagramas de Argand.

La longitud del vector que representa al número complejo z se denomina valor absoluto de z y se representa por $ \left\vert\vphantom{z}\right.$z$ \left.\vphantom{z}\right\vert$ :

$\displaystyle \left\vert\vphantom{z}\right.$z$\displaystyle \left.\vphantom{z}\right\vert$ = $\displaystyle \sqrt{{x^{2}+y^{2}}}$

z = r(cos$\displaystyle \varphi$ + i sin$\displaystyle \varphi$)

donde r = $ \left\vert\vphantom{z}\right.$z$ \left.\vphantom{z}\right\vert$ y el ángulo $ \varphi$ es el llamado argumento de z:

$\displaystyle \varphi$ = arg z = arctan$\displaystyle {\frac{{y}}{{x}}}$

ein$\scriptstyle \varphi$ = cos n$\displaystyle \varphi$ + i sin n$\displaystyle \varphi$

donde n es un entero positivo o negativo (o una fracción racional), el número complejo z puede expresarse como

z = rei$\scriptstyle \varphi$

expresión que se conoce como identidad de Euler. Esta forma de escribir un número complejo es muy util para obtener potencias y logaritmos de números complejos; y tambien hace mucho más simple la multiplicación. Por ejemplo, si z1 = r1ei$\scriptstyle \varphi_{{1}}$ y z2 = r2ei$\scriptstyle \varphi_{{2}}$ entonces

z1z2 = r1r2ei($\scriptstyle \varphi_{{1}}$+$\scriptstyle \varphi_{{2}}$)

La substitución de valores específicos de $ \varphi$ en la identidad de Euler permite derivar relaciones especiales, p.e.:

e$\scriptstyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\scriptstyle \pi$i = i

Figura 11: Representación vectorial del número complejo z = x + iy , y adición de dos números complejos.
\includegraphics[%
width=0.60\textwidth,
keepaspectratio]{complejo.eps}

Representación de la corriente alterna mediante números complejos

Si la caida de tensión en un elemento por el que circula una corriente alterna es

V(t) = V0cos$\displaystyle \left(\vphantom{\omega t+\varphi_{V}}\right.$$\displaystyle \omega$t + $\displaystyle \varphi_{{V}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\omega t+\varphi_{V}}\right)$

podemos utilizar la notación compleja para representar V(t) :

$\displaystyle \overline{{V}}$ = V0ei($\scriptstyle \omega$t+$\scriptstyle \varphi_{{V}}$)

donde

V(t) = Re$\displaystyle \left(\vphantom{\overline{V}}\right.$$\displaystyle \overline{{V}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overline{V}}\right)$

Igualmente, si la corriente que circula por el elemento es

I(t) = I0cos$\displaystyle \left(\vphantom{\omega t+\varphi_{I}}\right.$$\displaystyle \omega$t + $\displaystyle \varphi_{{I}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\omega t+\varphi_{I}}\right)$

utilizamos

$\displaystyle \overline{{I}}$ = I0ei($\scriptstyle \omega$t+$\scriptstyle \varphi_{{I}}$)

donde

I(t) = Re$\displaystyle \left(\vphantom{\overline{I}}\right.$$\displaystyle \overline{{I}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overline{I}}\right)$

5.3 Impedancia compleja (Ley de Ohm en corriente alterna).

Hemos visto que en circuitos de corriente alterna se verifica la ley de Ohm para los distintos elementos (resistencias, bobinas y condensadores).

Concretamente, hemos visto que existe una relación de proporcionalidad entre la amplitud de la caida de tensión y la amplitud de la intensidad que circula por el elemento (o entre los valores eficaces de ambas magnitudes).

La constante de proporcionalidad es la impedancia que, en el caso de una resistencia es simplemente el valor de la resistencia (R ) y, en el caso de bobinas y condensadores, es la reactancia inductiva (XL ) y capacitiva (XC ), respectivamente.

Por otra parte hemos comprobado que, en general, se produce un desfase (retraso o adelanto) entre la tensión y la intensidad.

Con ayuda de la impedancia compleja se puede describir, además de la proporcionalidad entre las amplitudes de la tensión y la intensidad, el desfase que se produce entre dichas mangitudes.

Así, expresando la intensidad que circula por un elemento y la diferencia de potencial en notación compleja (es decir $ \overline{{I}}$ y $ \overline{{V}}$ ), la impedancia compleja $ \overline{{Z}}$ del elemento se define de la siguiente forma

$\displaystyle \overline{{Z}}$ = $\displaystyle {\frac{{\overline{V}}}{{\overline{I}}}}$

Si escogemos el origen de tiempos de forma que $ \overline{{V}}$ = V0ei$\scriptstyle \omega$t , en general la intensidad que circula por el elemento podrá expresarse como $ \overline{{I}}$ = I0ei($\scriptstyle \omega$t-$\scriptstyle \varphi$) donde $ \varphi$ sería el posible retraso que experimenta la intensidad con respecto la tensión (si $ \varphi$ < 0 la intensidad se adelantaría).

Por lo tanto

$\displaystyle \overline{{Z}}$ = $\displaystyle {\frac{{\overline{V}}}{{\overline{I}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{V_{0}e^{i\omega t}}}{{I_{0}e^{i(\omega t-\varphi)}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{V_{0}}}{{I_{0}}}}$ei$\scriptstyle \varphi$

Es decir, el módulo de la impedancia compleja es la relación entre amplitudes (o valores eficaces...):

$\displaystyle \left\vert\vphantom{\overline{Z}}\right.$$\displaystyle \overline{{Z}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overline{Z}}\right\vert$ = $\displaystyle {\frac{{V_{0}}}{{I_{0}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{V_{ef}}}{{I_{ef}}}}$

y el argumento es el retraso que experimenta la corriente con respecto la caida de tensión.

Impedancia resistiva

Si el elemento es una resistencia, entonces

VR(t) = V0cos$\displaystyle \omega$t $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \overline{{V}}_{{R}}^{}$ = V0ei$\scriptstyle \omega$t

y

IR(t) = $\displaystyle {\frac{{V_{0}}}{{R}}}$cos$\displaystyle \omega$t $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \overline{{I}}$ = $\displaystyle {\frac{{V_{0}}}{{R}}}$ei$\scriptstyle \omega$t

entonces

$\displaystyle \overline{{Z}}_{{R}}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{\overline{V}_{R}}}{{\overline{I}}}}$ = R

es decir la impedancia de una resistencia es real e igual a la resistencia R.

Impedancia inductiva

Si el elemento es una bobina de inductancia L, entonces, si la caida de tensión entre sus extremos es

VL(t) = V0cos$\displaystyle \omega$t $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \overline{{V}}_{{L}}^{}$ = V0ei$\scriptstyle \omega$t

la intensidad que circula es

I(t) = $\displaystyle {\frac{{V_{0}}}{{L\omega}}}$cos$\displaystyle \left(\vphantom{\omega t-\frac{\pi}{2}}\right.$$\displaystyle \omega$t - $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\omega t-\frac{\pi}{2}}\right)$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \overline{{I}}$ = $\displaystyle {\frac{{V_{0}}}{{L\omega}}}$ei$\scriptstyle \left(\vphantom{\omega t-\frac{\pi}{2}}\right.$$\scriptstyle \omega$t - $\scriptstyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$$\scriptstyle \left.\vphantom{\omega t-\frac{\pi}{2}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{{V_{0}}}{{L\omega}}}$e-i$\scriptstyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$ei$\scriptstyle \omega$t = $\displaystyle {\frac{{V_{0}}}{{iL\omega}}}$ei$\scriptstyle \omega$t

entonces

$\displaystyle \overline{{Z}}_{{L}}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{\overline{V}_{L}}}{{\overline{I}}}}$ = iL$\displaystyle \omega$

Es decir, la impedancia de la bobina es una magnitud compleja (consecuencia del desfase que aparece entre la intensidad y la diferencia de potencial) y aumenta con la frecuencia. En circuitos de corriente continua $ \omega$ = 0 y $ \overline{{Z}}_{{L}}^{}$ = 0 .

Impedancia capacitiva

Si el elemento es un condensador de capacidad C, entonces, si la caida de tensión entre sus extremos es

VC(t) = V0cos$\displaystyle \omega$t $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \overline{{V}}_{{C}}^{}$ = V0ei$\scriptstyle \omega$t

la intensidad que circula es

I(t) = V0C$\displaystyle \omega$cos$\displaystyle \left(\vphantom{\omega t+\frac{\pi}{2}}\right.$$\displaystyle \omega$t + $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\omega t+\frac{\pi}{2}}\right)$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \overline{{I}}$ = V0C$\displaystyle \omega$ei$\scriptstyle \left(\vphantom{\omega t+\frac{\pi}{2}}\right.$$\scriptstyle \omega$t + $\scriptstyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$$\scriptstyle \left.\vphantom{\omega t+\frac{\pi}{2}}\right)$ = V0C$\displaystyle \omega$ei$\scriptstyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$ei$\scriptstyle \omega$t = iV0C$\displaystyle \omega$ei$\scriptstyle \omega$t

entonces

$\displaystyle \overline{{Z}}_{{C}}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{\overline{V}_{C}}}{{\overline{I}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{iC\omega}}}$ = - $\displaystyle {\frac{{i}}{{C\omega}}}$

Es decir, la impedancia del condensador es una magnitud compleja y disminuye con la frecuencia. En circuitos de corriente continua $ \omega$ = 0 y $ \overline{{Z}}_{{C}}^{}$ = $ \infty$ con lo que se comprueba que un condensador no permite el paso de la corriente continua.

5.4 Asociación de impedancias

Asociación en serie

Si dos impedancias se conectan en serie, entonces fluye la misma corriente $ \overline{{I}}$ a través de cada una. Los voltajes a traves de las dos impedancias son $ \overline{{V}}_{{1}}^{}$ = $ \overline{{Z}}_{{1}}^{}$$ \overline{{I}}$ y $ \overline{{V}}_{{2}}^{}$ = $ \overline{{Z}}_{{2}}^{}$$ \overline{{I}}$ . La caida de tensión total para la combinación es $ \overline{{V}}_{{1}}^{}$ + $ \overline{{V}}_{{2}}^{}$ = ($ \overline{{Z}}_{{1}}^{}$ + $ \overline{{Z}}_{{2}}^{}$)$ \overline{{I}}$. Por lo tanto, en la asociación de impedancias en serie se suman las impedancias. Esto es lo mismo que en corriente continua, salvo que ahora las impedancias se suman como números complejos.

$\displaystyle \overline{{Z}}_{{eq}}^{}$ = $\displaystyle \sum_{{i=1}}^{{n}}$$\displaystyle \overline{{Z}}_{{i}}^{}$

Figura 12: Asociación en serie de dos impedancias $ \overline{{Z}}_{{1}}^{}$ y $ \overline{{Z}}_{{2}}^{}$ . Se muestra, a la derecha, el diagrama de fasores para la intensidad (que es común) y las diferentes caidas de tensión.
\includegraphics[%
width=0.60\textwidth,
keepaspectratio]{serie1.eps}

Por ejemplo, hemos comentado que una bobina real siempre posee cierta resistencia RL . Esto significa que puede considerarse como una bobina ideal de inductancia L en serie con una resistencia RL . Su impedancia será:

$\displaystyle \overline{{Z}}_{{L}}^{}$ = RL + iL$\displaystyle \omega$

Figura 13: Impedancia compleja de una bobina real.
\includegraphics[%
width=0.60\textwidth,
keepaspectratio]{RL.eps}

Asociación en paralelo

En este caso, aparece el mismo voltaje $ \overline{{V}}$ a través de cada impedancia, y las corrientes vendrán dadas por $ \overline{{I}}_{{1}}^{}$ = $ \overline{{V}}$/$ \overline{{Z}}_{{1}}^{}$ , $ \overline{{I}}_{{2}}^{}$ = $ \overline{{V}}$/$ \overline{{Z}}_{{2}}^{}$ , etc. La corriente total es

$\displaystyle \overline{{I}}$ = $\displaystyle \overline{{I}}_{{1}}^{}$ + $\displaystyle \overline{{I}}_{{2}}^{}$ + ... = $\displaystyle {\frac{{\overline{V}}}{{\overline{Z}_{1}}}}$ + $\displaystyle {\frac{{\overline{V}}}{{\overline{Z}_{2}}}}$ + ... = $\displaystyle \overline{{V}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{\overline{Z}_{1}}+\frac{1}{\overline{Z}_{2}}+...}\right.$$\displaystyle {\frac{{1}}{{\overline{Z}_{1}}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{\overline{Z}_{2}}}}$ + ...$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{\overline{Z}_{1}}+\frac{1}{\overline{Z}_{2}}+...}\right)$

por lo tanto

$\displaystyle {\frac{{1}}{{\overline{Z}_{eq}}}}$ = $\displaystyle \sum_{{i=1}}^{{n}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{\overline{Z}_{i}}}}$

En este caso, en que se conectan impedancias en paralelo, resulta útil introducir el concepto de admitancia. Que se define como el inverso de la impedancia:

$\displaystyle \overline{{Y}}$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{\overline{Z}}}}$

entonces, para la asociacion de varias impedancias en paralelo, se tiene simplemente

$\displaystyle \overline{{Y}}_{{eq}}^{}$ = $\displaystyle \sum_{{i=1}}^{{n}}$$\displaystyle \overline{{Y}}_{{i}}^{}$


J.M. Asensi
2004-04-26