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3 Ondas electromagnéticas (OEM)

3.1 Ecuación de onda

Una de las consecuencias más importantes de las ecuaciones de Maxwell es que predicen la aparición de las ondas electromagnéticas.

Se puede demostrar que en el vacío, y en regiones donde no existen fuentes (es decir, con $ \overrightarrow{j}$ = 0 y $ \rho$ = 0 ) el campo eléctrico $ \overrightarrow {E}$ cumple3

$\displaystyle \nabla^{{2}}_{}$$\displaystyle \overrightarrow{E}$ - $\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$$\displaystyle \mu_{{0}}^{}$$\displaystyle {\frac{{\partial^{2}\overrightarrow{E}}}{{\partial t^{2}}}}$ = 0 (9)
y análogamente para el campo magnético $ \overrightarrow {B}$ :

$\displaystyle \nabla^{{2}}_{}$$\displaystyle \overrightarrow{B}$ - $\displaystyle \varepsilon_{{0}}^{}$$\displaystyle \mu_{{0}}^{}$$\displaystyle {\frac{{\partial^{2}\overrightarrow{B}}}{{\partial t^{2}}}}$ = 0 (10)
que representa una onda propagándose, sin cambio de forma, con la velocidad

v = c = $\displaystyle {\frac{{1}}{{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}}}$ = 3×108m/s

donde c resulta ser la velocidad de la luz. De este resultado Maxwell dedujo que la luz no era otra cosa que una onda electromagnética (obsérvese que para esta deducción fue preciso el término que Maxwell añadió a la ley de Ampère).

3.2 Ondas planas monocromáticas

Dependiendo de las condiciones de contorno la solución de 9 y 10 conduce a la obtención de ondas planas, cilíndricas, esféricas o tipos más complicados. Aquí consideraremos el caso en que $ \overrightarrow {E}$ y $ \overrightarrow {B}$ dependen sólo de una coordenada cartesiana (x), con lo que la ecuación de onda para $ \overrightarrow {E}$ se reduce a

$\displaystyle {\frac{{\partial^{2}\overrightarrow{E}}}{{\partial x^{2}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{c^{2}}}}$$\displaystyle {\frac{{\partial^{2}\overrightarrow{E}}}{{\partial t^{2}}}}$

cuya solución es

$\displaystyle \overrightarrow{E}$(x, t) = $\displaystyle \overrightarrow{E}_{{1}}^{}$f (ct - x) + $\displaystyle \overrightarrow{E}_{{2}}^{}$g(ct + x) (11)
y, en general, cualquier sumatorio de expresiones como la anterior.

El primer término en 11 (es decir, con f(ct-x)) representa una onda propagándose en la dirección del eje x en el sentido positivo (ver figura 2), y el segundo término representa una onda que se propaga en sentido contrario.

Figura 2: Onda propagándose en el sentido positivo del eje x.
\includegraphics{propagacion.eps}

En el estudio de las ondas de cualquier tipo conviene definir una serie de conceptos:

Ondas planas sinusoidales

Por análisis de Fourier es posible reducir el estudio de cualquier variación en el tiempo al caso de variaciones sinusoidales. Podemos entonces considerar el caso en el que los campos varían en la forma

$\displaystyle \overrightarrow{E}$(x, t) = $\displaystyle \overrightarrow{E}_{{0}}^{}$cos$\displaystyle \left(\vphantom{\omega t-kx}\right.$$\displaystyle \omega$t - kx$\displaystyle \left.\vphantom{\omega t-kx}\right)$

$\displaystyle \overrightarrow{B}$(x, t) = $\displaystyle \overrightarrow{B}_{{0}}^{}$cos$\displaystyle \left(\vphantom{\omega t-kx}\right.$$\displaystyle \omega$t - kx$\displaystyle \left.\vphantom{\omega t-kx}\right)$

donde estamos suponiendo que la onda se propaga en el sentido positivo de x. Obsérvese que

$\displaystyle \omega$t - kx = k$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\omega}{k}t-x}\right.$$\displaystyle {\frac{{\omega}}{{k}}}$t - x$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\omega}{k}t-x}\right)$

con lo que la velocidad de propagación c de la onda será

c = $\displaystyle {\frac{{\omega}}{{k}}}$

Figura 3: Variación espacial y temporal de la onda sinusoidal: concepto de longitud de onda y periodo.
\includegraphics{lambdaT.eps}

Naturaleza transversal de la onda electromagnética

A partir de las ecuaciones de Maxwell se demuestra que para la onda propagándose en la dirección del eje x el campo eléctrico $ \overrightarrow {E}$ sólo puede tener componentes en y o en z5, esto es, es transversal a la dirección de propagación. Lo mismo ocurre para $ \overrightarrow {B}$ .

Además tambíén se demuestra que

$\displaystyle \overrightarrow{B}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{c}}}$$\displaystyle \overrightarrow{a}_{{x}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \overrightarrow{E}$

lo que implica que el campo magnético $ \overrightarrow {B}$ es perpendicular a $ \overrightarrow {E}$ . Además están en fase (cuando $ \overrightarrow {E}$ es máximo también lo es $ \overrightarrow {B}$ ) y la relación entre los módulos es:

$\displaystyle \left\vert\vphantom{\overrightarrow{B}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{B}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{B}}\right\vert$ = $\displaystyle {\frac{{\left\vert\overrightarrow{E}\right\vert}}{{c}}}$

En la figura 4 se muestra un ejemplo para una onda plana sinusoidal progándose en la dirección x y con el campo eléctrico oscilando en la dirección del eje z.

Figura 4: Onda electromagnética propagándose en la dirección x
\includegraphics{em-wave.eps}


J.M. Asensi
2004-05-12