Les Cadenes de Markov homogènies a temps discret i l’aplicació als sistemes Bonus-Malus

Abstract

[en] This work aims to describe the Chains of Markov homogeneous at discrete time and show their application at the pricing systems Bonus Malus. Given a Markov chain, the work defines the transition probabilities between the different states, always fulfilling the Màrkov property and homogeneity. These probabilities can be written using the transition matrix. It classifies the states into classes using the relation of being "communicated", \leftrightsquigarrow, although there may also be "uncommunicated" states which are left unclassified. In relation to the transition probabilities after $n$ steps, it defines concepts such as the transience/recurrence of states and their periodicity. To finish the theory, it studies the behavior of the chain after $\mathrm{n}$ steps, when $n \rightarrow \infty$, defines the stationary distribution and the steady-state distribution, and gives conditions for them to exist. Finally, it provides a brief description of the Bonus-Malus systems, and specifically defines two: the classic UK system and the Brazilian one. It gives a numerical example for both systems. Applying the theory it finds the transition matrix, sees that the steady state distribution exists, and finds it. It also defines some terms specific of the insurances such as the average pure premium and the condition for the system to be balanced in pure premium.

[ca] Aquest treball té com a objectiu descriure les Cadenes de Markov homogènies a temps discret i mostrar l'aplicació d'aquestes als sistemes de tarificació Bonus Malus. Donada una cadena de Màrkov, el treball defineix les probabilitats de transició entre els diferents estats, sempre complint la propietat de Màrkov i l'homogeneïtat. Aquestes probabilitats poden ser escrites mitjançant la matriu de transició. Classifica els estats en classes mitjançant la relació d'ésser "comunicats", \leftrightsquigarrow, encara que també poden haver-hi estats "incomunicats"que deixa sense classificar. En relació a les probabilitats de transició després de $n$ passos, defineix conceptes com la transitorietat/recurrència dels estats i la seva periodicitat. Per acabar la teoria estudia el comportament de la cadena després de $n$ passos, quan $n \rightarrow \infty$, defineix la distribució estacionària i la distribució d'estat estable, i dona condicions per què existeixin. Finalment realitza una breu descripció dels sistemes Bonus-Malus, i en concret en defineix dos: el sistema clàssic del Regne Unit i el brasiler. Dona un exemple numèric per als dos sistemes. Aplicant-hi la teoria troba la matriu de transició, veu que existeix la distribució d'estat estable i la troba. També defineix algun terme propi de les assegurances com la prima pura mitjana i la condició perquè el sistema estigui equilibrat en prima pura.