Càlcul d'òrbites periòdiques amb mètodes de Fourier

Abstract

Aquest treball de final de grau desenvolupa un algorisme per a calcular òrbites periòdiques, tant horitzontals com verticals, a partir de punts fixos en el problema restringit dels tres cossos (RTBP). La investigació subratlla la importància de les òrbites periòdiques en la mecànica celeste i les seves aplicacions en missions espacials i en astrofísica, amb l’objectiu de crear un algorisme robust per identificar aquestes òrbites. L’estudi es basa en la mecànica clàssica, incloent la mecànica Lagrangiana i Hamiltoniana, el càlcul de variacions i la derivació de les equacions de Lagrange i Hamilton. Aquesta base és crucial per entendre el RTBP, on es deriven les equacions de moviment i s’examinen les solucions d’equilibri i la seva estabilitat. La investigació de les òrbites periòdiques comença amb l’anàlisi de les linealitzacions al voltant dels punts fixos i l’exploració de la persistència de famı́lies d’òrbites periòdiques en sistemes Hamiltonians. S’introdueix l’anàlisi de Fourier, que cobreix les sèries de Fourier, la transformada discreta de Fourier (DFT) i l’algorisme de la transformada ràpida de Fourier (FFT). Aquestes tècniques optimitzen el rendiment de l’algorisme. El mètode habitual per investigar aquestes òrbites és utilitzar seccions de Poincaré, que necessiten integració numèrica. Amb aquest mètode l’evitem amb un enfocament nou. El treball demostra la fiabilitat de l’algorisme en diversos escenaris, mostrant el seu potencial per resoldre problemes dinàmics complexos. Es proporciona el codi font per garantir la reproductibilitat i transparència, millorant significativament la comprensió i el càlcul de les òrbites periòdiques amb aplicacions en camps científics i d’enginyeria.

This degree final project develops an algorithm to calculate periodic orbits, both horizontal and vertical, from fixed points in the Restricted Three-Body Problem (RTBP). The research emphasizes the importance of periodic orbits in celestial mechanics and their applications in space missions and astrophysics, aiming to create a robust algorithm for identifying these orbits. The study is based on classical mechanics, including Lagrangian and Hamiltonian mechanics, the calculus of variations, and the derivation of Lagrange’s and Hamilton’s equations. This foundation is crucial for understanding the RTBP, where the equations of motion are derived, and the equilibrium solutions and their stability are examined. The investigation of periodic orbits starts with analyzing linearizations around fixed points and exploring the persistence of families of periodic orbits in Hamiltonian systems. Fourier analysis is introduced, covering Fourier series, the Discrete Fourier Transform (DFT), and the Fast Fourier Transform (FFT) algorithm. These techniques optimize the algorithm’s performance. The usual method to investigate these orbits is to use Poincaré sections, which require numerical integration. This project avoids numerical integration with a novel approach. The project demonstrates the algorithm’s reliability in various scenarios, showcasing its potential in solving complex dynamical problems. The source code is provided to ensure reproducibility and transparency, significantly enhancing the understanding and computation of periodic orbits with applications in scientific and engineering fields.