Few Interacting Particles in Low-Dimensional Quantum Systems: From Harmonic Oscillators to Fractal Lattices

Abstract

[eng] Quantum mechanics is a fascinating field to explore, where its effects are usually non- trivial and counterintuitive. In this Thesis, we focus on systems with a small number of particles in low dimensions, where the quantum effects are enhanced. We consider experimentally realistic systems, considering either an external harmonic confinement or a lattice potential. These systems can be created nowadays in ultracold atom laboratories worldwide, where they can control the dimensionality, the external potential, as well as the number of particles and the interactions. Our goal is to understand the static and dynamic properties of different systems involving few particles and a wide range of interactions. In particular, we focus on the one-dimensional harmonic trap, fractal lattices, and one-dimensional three-site lattices. In each system, we consider a contact interaction potential defined by a delta function in the continuum space or an on-site interaction for the lattices. In addition, we compute different properties, such as energy spectra, densities, pair correlations, mean square displacement, and population of each site, in both static and time-dependent cases. We combine analytical and numerical techniques to study the different systems. In particular, the numerical part is mostly done using exact diagonalization techniques. With this approach, we can only examine systems with few particles due to the intrinsic limitations of the method, although it provides the capacity to obtain any property needed. The case of the harmonic oscillator trap includes an additional limitation due to the exact diagonalization method, as the basis must be truncated, resulting in upper-bound energies. We show how to correct this error and obtain a better estimate of the energy and the density by using the analytical solution of the two-particle system. We demonstrate that this correction works for a larger number of particles by computing results for up to eight particles. For the systems with harmonic oscillator confinement, we compute the energy spectrum as a function of the interaction strength, the density for different interaction values, and pair correlations. We present the results for the symmetric SU (N ) case and then study systems with broken interaction symmetry. We present different interaction configurations, and we explore the ground state structure, where the correlations play an important role. We also consider the impurity case, where one particle interacts with all the bath particles but the bath particles do not interact with each other. We show that the impurity system can be mapped to an effective one particle in a double-well

model, showing two phases: the miscible and the immiscible. Afterwards, we study fractal lattice systems, where the sites and the tunneling connections are configured in a non-standard scheme creating an effective finite representation of a fractal structure. Under this situation, we explore the effect on the transport of a single-particle obtaining the diffusion exponent and relating it to spectral properties. We demonstrate that the fractal slows down the motion of the particle and that this effect is robust against a random potential. Using the slower dynamics, we show how the fractal system can preserve information about the initial phase of the wavefunction for much longer times than a regular lattice. We also explore the entanglement of a two-particle system and how the interactions affect entanglement creation. Finally, we study a three-site lattice where each site has a different energy and the couplings are time-dependent. We implement the spatial adiabatic passage protocol, that transfers a single particle from the first to the third site, and generalize it for a few particle systems with interactions. Due to the interactions, the adiabaticity of the protocol is lost, but we demonstrate that it is possible to populate the third state for certain interaction strength values. As a result, since the final state populates the most energetic site of the system, we propose this setup as a quantum battery model.

[cat] La mecànica quàntica és un camp fascinant a explorar, on els efectes solen ser no trivials i contraintuïtius. En aquesta Tesis, ens centrem en sistemes amb poques partícules i en dimensions petites, on els efectes quàntics s’accentuen. Considerem sistemes experimentalment realistes, considerant tant un confinament d’oscil·lador harmònic extern com un potencial reticular. Aquests sistemes poden ser creats actualment en laboratoris d’àtoms ultrafreds per tot el món, on poden controlar la geometria, els potencials externs, i també el numero de partícules i les interaccions. La interacció més comú en aquests sistemes es en ona s, modelitzat per una funció delta en les nostres simulacions. El nostre objectiu és calcular numèricament les propietats de diferents sistemes que involucren poques partícules interactuant. En particular, ens centrem en un oscil·lador harmònic unidimensional, retícules fractals i retícules unidimensionals de tres pous. En cada sistema, considerem interaccions de contacte definides per una delta en l’espai continu o per una interacció in situ per a les retícules. En aquests casos, calculem diferents propietats com els espectres d’energia, densitats, correlacions a parelles, desplaçament quadràtic mitjà, població en cada pou, tant en casos estàtics com dependents del temps. Obtenim els nostres resultats per mitjà de simulacions numèriques dels sistemes, on específicament fem servir el mètode de diagonalització exacta. Amb aquest plantejament, podem estudiar sistemes només amb poques partícules per les limitacions intrínseques del mètode, tot i que podem obtenir qualsevol propietat que necessitem. El cas de l’oscil·lador harmònic inclou una limitació addicional a la diagonalització exacta, ja que s’ha de truncar la base, amb l’efecte d’obtenir cotes superiors de la energia. Mostrem com corregir aquest error per obtenir una millor estimació de la energia i la densitat utilitzant el resultat analític del cas de dues partícules. Demostrem que aquesta correcció funciona per a més partícules obtenint resultats fins a vuit partícules. Per als sistemes amb l’oscil·lador harmònic, calculem l’espectre d’energia en funció de la intensitat de la interacció, la densitat per a diferents valors de la interacció i les correlacions a parelles. Presentem els resultats per al cas simètric SU (N ) i desprès estudiem sistemes amb la simetria d’interacció trencada. Mostrem diferents configuracions d’interacció i explorem la estructura del estat fonamental, on les correlacions tenen un rol important. També estudiem el cas de sistemes amb una impuresa, on una partícula interacciona amb totes les partícules del bany però les partícules del bany no interaccionen entre elles. Mostrem que el sistema amb la impuresa es pot mapejar a un model

efectiu d’una partícula en un doble pou, tenint dues fases: la fase miscible i la immiscible. A continuació, estudiem sistemes formats per una retícula fractal, on els pous i les connexions de tuneleig estan configurades en una forma no estàndard creant una representació finita d’una estructura fractal. En aquesta situació, explorem els efectes del transport d’una partícula obtenint l’exponent de difusió i relacionant-lo amb una propietat espectral. Demostrem que el fractal enlenteig el moviment i que aquest efecte és robust sota un potencial aleatori. Fent servir la dinàmica més lenta, mostrem com el sistema fractal preserva informació de la fase inicial de la funció d’ona per temps molt més llargs comparat amb les retícules estàndard. També explorem l’entrellaçament de sistemes de dues partícules i com la interacció afecta a la creació d’entrellaçament. Finalment, estudiem un sistema de tres pous on cada pou té una energia diferent i els acoblaments tenen dependència temporal. Utilitzant el protocol SAP (pas adiabàtic espacial) que transfereix una partícula del primer pou al tercer, ho implementem per a sistemes amb poques partícules amb interaccions. Degut a les interaccions, la adiabacitat del protocol es perd, però demostrem que es possible poblar el tercer pou per a certs valors de la interacció. Proposem aquest sistema com a un model de bateria quàntica.