The Parameterization Method for Quasiperiodic Invariant Circles

Abstract

This work examines two algorithms for computing an accurate approximation of a parameterization $K$ of a quasiperiodic invariant circle of an area preserving map $F$. Both approaches rely on a Newton scheme to iteratively solve the conjugacy equation that characterizes the invariant circle.

The first algorithm is the parameterization method, reviewed in [ À. Haro, M. Canadell, J. L. Figueras, A. Luque and J. M. Mondelo. (2016). The parameterization method for invariant manifolds: From Rigorous Results to Effective Computations. Springer]. This approach exploits the area preserving properties of $F$ to simplify computations and solve the invariance equation $F \circ K=K \circ R_\omega$, where $R_\omega$ is the rotation of angle $\omega$.

The second algorithm, the balanced parameterization method, is a novel approach that combines concepts from the parameterization method and the method reviewed in [D. Blessing and J. D. Mireles James. (2024). Weighted Birkhoff averages and the parameterization method. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 23(3), 1766-1804]. Specifically, we introduce a dummy parameter $\beta$ into the invariance equation, reformulating it as $F \circ K=(1+\beta) K \circ R_\omega$. This idea, following the strategy of the parameterization method, is combined with the exploitation of the area preserving properties of $F$, significantly improving computational efficiency. In particular, the method reviewed in [D. Blessing and J. D. Mireles James. (2024). Weighted Birkhoff averages and the parameterization method. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 23(3), 1766-1804] has a computational cost of $O\left(N^3\right)$, where N denotes the number of Fourier modes used in the discretization of the problem, whereas our balanced parameterization method reduces the cost to $O(N \log N)$.

Finally, we illustrate the utility of both approaches using the Hénon map and the standard map as examples. By employing a numerical continuation scheme, with the rotation number serving as the continuation parameter, we compute a substantial number of quasiperiodic invariant circles in these systems.

Aquest treball presenta dos algorismes per calcular una aproximació precisa d'una parametrització $K$ d'un cercle invariant quasiperiòdic d'una aplicació $F$ que preserva l'àrea. Ambdós enfocaments es basen en el mètode de Newton per resoldre iterativament l'equació de conjugació que caracteritza el cercle invariant.

El primer algorisme és el mètode de parametrització, revisat a [À. Haro, M. Canadell, J. L. Figueras, A. Luque i J. M. Mondelo. (2016). The parameterization method for invariant manifolds: From Rigorous Results to Effective Computations. Springer]. Aquest enfocament aprofita les propietats de preservació de l'area d' $F$ per simplificar els càlculs i resoldre l'equació d'invariància $F \circ K=K \circ R_\omega$, on $R_\omega$ és la rotació d'angle $\omega$.

El segon algorisme, el mètode de parametrització balancejat, és un enfocament innovador que combina conceptes del mètode de parametrització i del mètode revisat a [D. Blessing i J. D. Mireles James. (2024). Weighted Birkhoff averages and the parameterization method. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 23(3), 1766-1804]. Concretament, introduïm un paràmetre $\beta$ a l'equació d'invariància, reformulant-la com a $F \circ K=(1+\beta) K \circ R_\omega$. Aquesta idea, seguint l'estratègia del mètode de parametrització, es combina amb l'ús de les propietats de preservació de l'àrea d'F, millorant significativament l'eficiència computacional. En particular, el mètode revisat a [D. Blessing i J. D. Mireles James. (2024). Weighted Birkhoff averages and the parameterization method. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 23(3), 1766-1804] té un cost computacional de $O\left(N^3\right)$, on $N$ denota el nombre de modes de Fourier utilitzats en la discretització del problema, mentre que el nostre mètode de parametrització balancejat redueix el cost a $O(N \log N)$.

Finalment, il·lustrem la utilitat d'ambdós enfocaments utilitzant el mapa de Hénon i el mapa estàndard com a exemples. Mitjançant un esquema de continuació numèrica, amb el nombre de rotació com a paràmetre de continuació, calculem un nombre significatiu de cercles invariants quasiperiòdics en aquests sistemes.