Exponenciació de cardinals

Abstract

The main aim of this work is to show some of the fundamental theorems on cardinal exponentiation in ZFC, particularly Silver's theorem on singular cardinals of uncountable cofinality. Firstly, we show the theory of infinite cardinal sums and products, together with elemental theorems on the gimel function and on how to compute $\kappa^\lambda$ for arbitrary $\kappa, \lambda$ cardinals. We also present some notions of infinitary combinatorics: we introduce the notion of the club filter and stationary sets, in order to prove Fodor's theorem. Finally we use these results to prove Silver's theorem in detail.

L'objectiu principal d'aquest treball és demostrar alguns teoremes fonamentals d'exponenciació de cardinals a ZFC, en particular el teorema de Silver, que parla de cardinals singulars de cofinalitat no numerable. Hom presenta productes i sumes infinites i la funció gimel, i donem algun teorema general sobre l'exponenciació de dos cardinals qualssevol $\kappa^\lambda$. Al treball s'hi troben també algunes nocions de combinatòria infinita: hom introdueix la noció de filtre club i de conjunt estacionari, amb l'objectiu de demostrar, entre d'altres resultats, el teorema de Fodor. Finalment, fent ús d'aquests resultats, demostrem de manera detallada el teorema de Silver.