Localización y conservación de estructuras en homotopía estable

Abstract

[spa] La localización es una técnica bien conocida en álgebra conmutativa y geometría algebraica. Muchas de las propiedades formales de las localizaciones de módulos son compartidas por otras transformaciones de naturaleza parecida definidas en otros contextos. Este hecho ha conducido a una axiomatización del concepto de funtor de localización en categorías arbitrarias, con una terminología similar a la del álgebra.

La implementación de la localización en topología algebraica tuvo sus raíces en los trabajos de Serre y Adams, y se comenzó a formalizar principalmente gracias a las contribuciones de Sullivan y Quillen.

Las localizaciones homológicas fueron la vía principal de transporte a la homotopía estable, así como la herramienta principal para el cálculo de los grupos de homotopía estables de las esferas durante muchos años.

En las dos últimas décadas ha ido aumentando cada vez más el uso de técnicas del álgebra conmutativa en homotopía estable. La teoría de homotopía estable se centra en el estudio de los espectros y captura una parte esencial de las propiedades homotópicas de los espacios, prescindiendo de los fenómenos peculiares que se dan en dimensiones concretas. El tratamiento axiomático de la categoría estable utilizando el lenguaje de categorías de modelos y categorías trianguladas ha dado lugar a nuevas categorías estables, como la categoría de los espectros simétricos o la categoría de los S-módulos, que permiten trasladar fielmente diversas técnicas y construcciones del álgebra conmutativa a la categoría estable, y trabajar con "espectros anillo" y "espectros módulo" de la misma manera que con sus análogos algebraicos.

El objetivo principal de esta memoria es el estudio de los funtores de localización en homotopía estable, centrándose fundamentalmente en las estructuras algebraicas que se conservan bajo la acción de estos funtores. Uno de los resultados centrales de este trabajo establece que bajo hipótesis apropiadas, los funtores de localización en la categoría homotópica estable conservan álgebras sobre opéradas. En particular, transforman espectros anillo en espectros anillo, y espectros módulo sobre un anillo en espectros módulo sobre el mismo espectro anillo (o incluso sobre el localizado de ese espectro).

[eng] Localization is a well-known technique in commutative algebra and algebraic geometry. Many of the formal properties of localization of modules are shared by other transformations of similar nature defined in different contexts. This fact has led to an axiomatization of the concept of localization functor in arbitrary categories, with a terminology similar to the one used in algebra.

The implementation of localization in algebraic topology had its roots in the work of Serre and Adams, and it begun to formalize thanks to the contributions of Sullivan and Quillen.

Homological localizations were the main connection to stable homotopy and a key tool for the computation of the stable homotopy groups of the spheres for many years.

In the last two decades the use of commutative algebra techniques in stable homotopy has increased considerably. Stable homotopy theory is focused on the study of spectra and captures an essential part of the homotopical properties of spaces, by forgetting particular phenomena occurring in concrete dimensions. The axiomatic treatment of the stable category using the language of model categories and triangulated categories has produced new stable categories, such as the category of symmetric spectra or the category of S-modules. These new categories allow to translate different techniques and constructions from commutative algebra to the stable category, and to work with "ring spectra" and "module spectra" in the same way as with their algebraic counterparts.

The main objective of this thesis is the study of localization functors in stable homotopy and the algebraic structures that these functors preserve. One of the central results of this work states that, under suitable conditions, localization functors in the stable homotopy category preserve algebras over operads. In particular, they send ring spectra to ring spectra, and modules over a ring spectrum to modules over the same ring spectrum (or even over the localization of the ring).