Carregant...
Embargament
Document embargat fins el 2027-01-23Tipus de document
TesiVersió
Versió publicadaData de publicació
Llicència de publicació
Si us plau utilitzeu sempre aquest identificador per citar o enllaçar aquest document: https://hdl.handle.net/2445/228567
Two-frequency dynamical phenomena in three-dimensional volume-preserving maps
Títol de la revista
Autors
Director/Tutor
ISSN de la revista
Títol del volum
Recurs relacionat
Resum
[eng] The dynamics of three-dimensional real-analytic volume-preserving maps (VPMs) have recently attracted much attention due to their rich dynamical behaviour and relevance in various physical contexts. Although structurally simpler, volume-preserving maps share many properties with higher-dimensional symplectic maps. However, their lack of a full Hamiltonian structure allows for a broader range of bifurcation phenomena, such as the creation of bubbles of stability. This intermediate position makes volume-preserving maps a natural setting to explore complex dynamical phenomena within a manageable framework, while also motivating the use of general analytical and numerical tools beyond the symplectic setting. The phase space skeleton of a VPM involves fixed and periodic points, invariant curves, and invariant two-dimensional tori, together with their stable and unstable invariant manifolds when these objects are hyperbolic. On the other hand, the description of the phase space evolution involves global bifurcations such as the breakdown of invariant tori and the splitting of separatrices. Previous studies have addressed several aspects of the dynamics of VPMs, including the existence of KAM tori [CS90, Xia92] and the breakdown of two-dimensional invariant tori [FM13, Mei12]. Also, the geometric mechanisms leading to transport in phase space were studied in [LM00, LM03, MM12] and the stickiness properties near stability regions were analyzed in [MMSV18, DB20]. Beyond their mathematical interest, volume-preserving maps also arise in various physical applications. They appear, for instance, when modelling the motion of passive tracers in incompressible fluids [FKP88, CFP96] and in the study of magnetic field line configurations in plasma physics [LF92]. Moreover, near-identity volume-preserving maps are related to three-dimensional divergence-free vector fields, and we refer to [Bro81, BH19] for an overview of bifurcations in that context. This connection has further motivated the study of three-dimensional volume-preserving flows (VPFs), which are particularly relevant in fluid dynamics. In the absence of additional symmetries that allow for dimensional reduction, the velocity field of an incompressible fluid naturally defines a three-dimensional flow [FKP88, Hol84, Mez94]. Unsteady fluid flows, in which the conditions (the velocity, the pressure, and the cross-section) change over time, lead to time-dependent perturbations of divergence-free vector fields. In particular, volume-preserving flows with broken rotational symmetry and periodic forcing have been proposed to model such periodically time-dependent velocity fields in incompressible fluid flows, and have been studied both theoretically and experimentally [MNZ95, SCVH04, SMOW08]. A central object of study in these systems is the separatrix surface, whose structure plays a role in determining the transport and mixing properties of the flow. This has been explored in different related settings and applications, see, for example, [MM12, NV99, NSV03, VWG07]. This work investigates the evolution of the phase space of VPMs under conservative perturbations, with special attention to genuinely three-dimensional structures and mechanisms that distinguish them from planar area-preserving maps. In particular, we focus on phase space regions where the dynamics can be described as a two-angle one-action map and the interaction of two frequencies becomes crucial. As will be detailed later in this introduction, we consider direct perturbations of discrete 3D VPMs as well as periodic forcings of divergence-free 3D flows. These systems are related to a conservative unfolding of the Hopf-zero singularity, and they have a bubble of stability delimited by the two-dimensional invariant manifolds of a pair of saddle-focus fixed points. Inside this bubble, there is a foliation by two-dimensional tori organized around a normally elliptic invariant curve.
En els últims anys, la dinàmica que descriuen les aplicacions tridimensionals reals analítiques que preserven volum ha atret molta atenció, tant per la seva riquesa dinàmica com per la seva rellevància en diversos contextos físics. Tot i ser estructuralment més simples, aquestes aplicacions presenten moltes propietats de les aplicacions simplèctiques de dimensió superior. Tanmateix, la manca d’una estructura hamiltoniana completa permet un ventall més ampli de bifurcacions, com ara la creació de bombolles d’estabilitat. Aquesta posició intermèdia fa que les aplicacions que preserven volum constitueixin un entorn natural per explorar diversos fenòmens dinàmics complexos, alhora que motiven l’ús d’eines analítiques i numèriques generals més enllà de l’àmbit simplèctic. L’esquelet de l’espai de fases d’una aplicació que preserva volum inclou punts fixos i periòdics, corbes invariants i tors invariants bidimensionals, juntament amb les seves varietats invariants estables i inestables quan aquests objectes són hiperbòlics. D’altra banda, la descripció de l’evolució de l’espai de fases inclou bifurcacions globals com ara la destrucció de tors invariants i l’escissió de separatrius. Estudis previs han investigat diversos aspectes de la dinàmica de les aplicacions que preserven volum, incloent-hi l’existència de tors KAM [CS90, Xia92] i la destrucció de tors invariants bidimensionals [FM13, Mei12]. També s’han estudiat els aspectes geomètrics que donen lloc al transport en l’espai de fases [LM00, LM03, MM12], així com les propietats d’adherència a prop de les regions d’estabilitat [MMSV18, DB20]. Més enllà del seu interès matemàtic, les aplicacions que preserven volum també apareixen en diverses aplicacions físiques. Es troben, per exemple, en la modelització del moviment de traçadors passius en fluids incompressibles [FKP88, CFP96] i en l’estudi de configuracions de línies de camp magnètic en física de plasmes [LF92]. A més, les aplicacions properes a la identitat que preserven volum estan relacionades amb camps vectorials tridimensionals amb divergència zero, vegeu, per exemple, [Bro81, BH19] per a una visió general de les bifurcacions en aquest context. Aquesta connexió ha motivat l’estudi dels fluxos tridimensionals que preserven volum, particularment rellevants en dinàmica de fluids. En absència de simetries addicionals que permetin una reducció de la dimensió, el camp de velocitats d’un fluid incompressible defineix de manera natural un flux tridimensional [FKP88, Hol84, Mez94]. Els fluxos no estacionaris, en què les condicions (velocitat, pressió i secció transversal) varien amb el temps, generen pertorbacions temporals en camps vectorials amb divergència zero. En particular, s’han proposat fluxos que preserven volum, amb simetria rotacional trencada i sotmesos a un forçament periòdic, per modelitzar camps de velocitat que depenen periòdicament del temps en fluids incompressibles, i han estat estudiats tant teòricament com experimentalment [MNZ95, SCVH04, SMOW08]. Un dels elements centrals en l’estudi d’aquests sistemes és la superfície separatriu, que té un paper fonamental en la determinació de les propietats de transport i barreja del flux. Aquest fenomen s’ha explorat en diversos contextos i aplicacions relacionades; vegeu, per exemple, [MM12, NV99, NSV03, VWG07]. Aquest treball investiga l’evolució de l’espai de fases de les aplicacions que preserven volum sota pertorbacions conservatives, amb especial atenció a les estructures i mecanismes genuïnament tridimensionals que les diferencien de les aplicacions bidimensionals que preserven àrea. En particular, en aquelles regions de l’espai de fases on la dinàmica es pot descriure com una aplicació amb dos angles i una acció, la interacció de dues freqüències hi té un paper fonamental. Considerem tant pertorbacions discretes d’aplicacions tridimensionals preservant volum com forçaments periòdics de camps vectorials tridimensionals amb divergència zero. Aquests sistemes estan relacionats amb un desplegament conservatiu de la singularitat de tipus Hopf-zero i presenten una bombolla d’estabilitat delimitada per les varietats invariants bidimensionals d’un parell de punts fixos sella-focus. A l’interior d’aquesta bombolla es troba una foliació de tors bidimensionals organitzats al voltant d’una corba invariant normalment el·líptica.
En els últims anys, la dinàmica que descriuen les aplicacions tridimensionals reals analítiques que preserven volum ha atret molta atenció, tant per la seva riquesa dinàmica com per la seva rellevància en diversos contextos físics. Tot i ser estructuralment més simples, aquestes aplicacions presenten moltes propietats de les aplicacions simplèctiques de dimensió superior. Tanmateix, la manca d’una estructura hamiltoniana completa permet un ventall més ampli de bifurcacions, com ara la creació de bombolles d’estabilitat. Aquesta posició intermèdia fa que les aplicacions que preserven volum constitueixin un entorn natural per explorar diversos fenòmens dinàmics complexos, alhora que motiven l’ús d’eines analítiques i numèriques generals més enllà de l’àmbit simplèctic. L’esquelet de l’espai de fases d’una aplicació que preserva volum inclou punts fixos i periòdics, corbes invariants i tors invariants bidimensionals, juntament amb les seves varietats invariants estables i inestables quan aquests objectes són hiperbòlics. D’altra banda, la descripció de l’evolució de l’espai de fases inclou bifurcacions globals com ara la destrucció de tors invariants i l’escissió de separatrius. Estudis previs han investigat diversos aspectes de la dinàmica de les aplicacions que preserven volum, incloent-hi l’existència de tors KAM [CS90, Xia92] i la destrucció de tors invariants bidimensionals [FM13, Mei12]. També s’han estudiat els aspectes geomètrics que donen lloc al transport en l’espai de fases [LM00, LM03, MM12], així com les propietats d’adherència a prop de les regions d’estabilitat [MMSV18, DB20]. Més enllà del seu interès matemàtic, les aplicacions que preserven volum també apareixen en diverses aplicacions físiques. Es troben, per exemple, en la modelització del moviment de traçadors passius en fluids incompressibles [FKP88, CFP96] i en l’estudi de configuracions de línies de camp magnètic en física de plasmes [LF92]. A més, les aplicacions properes a la identitat que preserven volum estan relacionades amb camps vectorials tridimensionals amb divergència zero, vegeu, per exemple, [Bro81, BH19] per a una visió general de les bifurcacions en aquest context. Aquesta connexió ha motivat l’estudi dels fluxos tridimensionals que preserven volum, particularment rellevants en dinàmica de fluids. En absència de simetries addicionals que permetin una reducció de la dimensió, el camp de velocitats d’un fluid incompressible defineix de manera natural un flux tridimensional [FKP88, Hol84, Mez94]. Els fluxos no estacionaris, en què les condicions (velocitat, pressió i secció transversal) varien amb el temps, generen pertorbacions temporals en camps vectorials amb divergència zero. En particular, s’han proposat fluxos que preserven volum, amb simetria rotacional trencada i sotmesos a un forçament periòdic, per modelitzar camps de velocitat que depenen periòdicament del temps en fluids incompressibles, i han estat estudiats tant teòricament com experimentalment [MNZ95, SCVH04, SMOW08]. Un dels elements centrals en l’estudi d’aquests sistemes és la superfície separatriu, que té un paper fonamental en la determinació de les propietats de transport i barreja del flux. Aquest fenomen s’ha explorat en diversos contextos i aplicacions relacionades; vegeu, per exemple, [MM12, NV99, NSV03, VWG07]. Aquest treball investiga l’evolució de l’espai de fases de les aplicacions que preserven volum sota pertorbacions conservatives, amb especial atenció a les estructures i mecanismes genuïnament tridimensionals que les diferencien de les aplicacions bidimensionals que preserven àrea. En particular, en aquelles regions de l’espai de fases on la dinàmica es pot descriure com una aplicació amb dos angles i una acció, la interacció de dues freqüències hi té un paper fonamental. Considerem tant pertorbacions discretes d’aplicacions tridimensionals preservant volum com forçaments periòdics de camps vectorials tridimensionals amb divergència zero. Aquests sistemes estan relacionats amb un desplegament conservatiu de la singularitat de tipus Hopf-zero i presenten una bombolla d’estabilitat delimitada per les varietats invariants bidimensionals d’un parell de punts fixos sella-focus. A l’interior d’aquesta bombolla es troba una foliació de tors bidimensionals organitzats al voltant d’una corba invariant normalment el·líptica.
Matèries
Matèries (anglès)
Citació
Citació
MURILLO LÓPEZ, Ainoa. Two-frequency dynamical phenomena in three-dimensional volume-preserving maps. [consulta: 13 de abril de 2026]. [Disponible a: https://hdl.handle.net/2445/228567]