Document type
Bachelor thesisPublication date
Publication license
Please use this identifier to cite or link to this item: https://hdl.handle.net/2445/228413
Sobre l'existència d'un cos complet i algebraicament tancat respecte del valor absolut p-àdic
Journal Title
Director/Tutor
Journal ISSN
Volume Title
Related resource
Abstract
[en] This dissertation provides an introduction to the arithmetic of $p$‑adic numbers, with special emphasis on the existence of a complete and algebraically closed field carrying the $p$‑adic absolute value. We first review the basic theory of non‑Archimedean absolute values and construct the field $\mathbb{Q}_p$ as the completion of $\mathbb{Q}$ with respect to $\lvert\cdot\rvert_p$. We then describe $\mathbb{Q}_p$ via $p$‑adic expansions, study its ring of integers $\mathbb{Z}_p$ and the residue field, and use Hensel’s lemma to analyse roots of polynomials and to prove that $\mathbb{Q}_p$ is not algebraically closed. Next we develop the algebraic theory of finite extensions of $\mathbb{Q}_p$, including unramified extensions, the role of roots of unity and Krasner’s lemma. Finally, we introduce the algebraic closure $\overline{\mathbb{Q}}_p$ and its completion $\mathbb{C}_p$.
[ca] En aquest treball presentem una introducció als nombres $p$‑àdics i a les seves propietats aritmètiques i topològiques, amb especial atenció a l’existència d’un cos complet i algebraicament tancat respecte del valor absolut $p$‑àdic. Comencem recordant la teoria dels valors absoluts no arquimedians i construïm el cos $\mathbb{Q}_p$ com la completació de $\mathbb{Q}$ respecte de $\lvert\cdot\rvert_p$. A continuació descrivim $\mathbb{Q}_p$ mitjançant expansions $p$‑àdiques, estudiem l’anell dels enters $p$‑àdics $\mathbb{Z}_p$ i el cos residual, i fem servir el lema de Hensel per analitzar arrels de polinomis i veure que $\mathbb{Q}_p$ no és algebraicament tancat. Després desenvolupem la teoria d’extensions finites de $\mathbb{Q}_p$, en particular les extensions no ramificades, el paper de les arrels de la unitat i el lema de Krasner. Finalment introduïm la clausura algebraica $\overline{\mathbb{Q}}_p$ i la seva completació $\mathbb{C}_p$.
Description
Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2026, Director: Carlos D’Andrea
Subject (English)
Citation
Collections
Citation
D'AMBROSIO QUIROGA, Kevin Sebastián. Sobre l'existència d'un cos complet i algebraicament tancat respecte del valor absolut p-àdic. [consulted: 11 of June of 2026]. Available at: https://hdl.handle.net/2445/228413