Poncelet's Theorem over arbitrary characteristic for conics in general position

Abstract

El Teorema de Poncelet assegura que si és possible dibuixar un polígon de n costats inscrit a una cònica i circumscrit a una altra, aleshores aquesta mateixa construcció d’un polígon de n costats és possible començant per qualsevol punt de la cònica exterior. El principal objectiu d’aquest treball és presentar una prova completa i autocontinguda d’aquest teorema sobre una característica arbitrària per còniques en posició general. Per aquest motiu, començarem recordant algunes nocions bàsiques de geometria projectiva, introduint-nos en la teoria de corbes projectives mitjançant les multiplicitats i les branques de les corbes per demostrar el Teorema de Bézout. Introduirem el concepte de gènere d’una corba, juntament amb la fórmula d’adjunció, i l’estructura de grup de les corbes el·líptiques. Després del desenvolupament d’aquest marc teòric, es durà a terme la prova del Teorema de Poncelet detalladament. Acabarem amb l’estudi del cas particular de característica 2 per mostrar que en aquest cas el resultat no pot ser degudament expressat.