# name
The Multisymplectic Geometry of Classical Field Theories on Finite-Dimensional Covariant

# metadata.dc.contributor.other[].value
Universitat de Barcelona. Facultat de Física

# metadata.dc.description.abstract[].value
[eng] This thesis presents new developments in the De Donder–Weyl formulation of classical field theories, which treats space and time on an equal footing. The formal Lagrangian geometric construction of field theories takes place on manifolds of jets, giving rise to the standard Euler–Lagrange equations, while the equivalent Hamiltonian formulation of De Donder–Weyl takes place on affine dual jets, giving rise to the Hamilton–De Donder–Weyl equations. Manifolds of jets (and their duals) act as finite-dimensional phase spaces, and their multisymplectic geometry acts as a generalization of symplectic geometry in classical mechanics, underpinning variational calculus and providing a powerful set of tools for the investigation of Noether symmetries and bonds. In addition, the multisymplectic construction of relativistic field theories preserves covariance throughout the analysis of these theories and, by working on sections of jet manifolds (and their duals) over space-time, it is possible to derive the covariant phase space formalism from Zuckerman [152], Crnković and Witten [34], and Lee and Wald [108],  best known in physical literature and, in general, of infinite dimension. The original contributions of this thesis include new properties of De Donder–Weyl bonds and natural symmetries, which we present as recently proven mathematical propositions and can be found in the following publications: [63, 75, 76]. This work also provides a multisymplectic construction of the Poisson parentheses introduced by Marsden et al. [116] to obtain the Hamilton–De Donder–Weyl equations from the action functional, in direct analogue with the analysis of classical mechanics. In addition, we show how our geometric interpretation of these Poisson parentheses also leads to field equations and discuss their relationship to the infinite-dimensional covariant formalism mentioned above. Finally, we offer a first step towards understanding the multisymplectic geometry associated with the BRST–BV analysis of gauge theories in the Lagrangian framework. After constructing the BRST symmetry, we find the corresponding multimoment application and show that it provides the standard BRST charge except for a total derivative. The novelties presented in this thesis offer a new selection of geometric techniques that allow us to move from the infinite-dimensional language of local functionals to the finite-dimensional language of vector fields and differential forms, treating space and time on an equal footing.

# metadata.dc.description.abstract[].value
[cat] Aquesta tesi presenta nous desenvolupaments en la formulació de De Donder–Weyl de les teories de camps clàssiques, que tracta l’espai i el temps en peu d’igualtat. La construcció geomètrica formal lagrangiana de les teories de camps té lloc sobre les varietats de jets, donant lloc a les equacions estàndard d’Euler–Lagrange, mentre que la formulació hamiltoniana equivalent de De Donder–Weyl té lloc sobre els jets duals afins, donant lloc a les equacions de Hamilton–De Donder– Weyl. Les varietats de jets (i els seus duals) actuen com espais de fases de dimensió finita, i la seva geometria multisimplèctica actua com una generalització de la geometria simplèctica en la mecànica clàssica, tot fonamentant el càlcul variacional i proporcionant un conjunt potent d’eines per a la investigació de les simetries de Noether i els lligams. A més, la construcció multisimplèctica de les teories de camps relativistes preserva la covariància al llarg de l’anàlisi d’aquestes teories i, treballant sobre seccions de les varietats de jets (i els seus duals) sobre l’espai-temps, és possible derivar el formalism de l’espai de fases covariant de Zuckerman [152], Crnković i Witten [34], i Lee i Wald [108], més conegut en la literatura física i, en general, de dimensió infinita. Les contribucions originals d’aquesta tesi inclouen noves propietats dels lligams de De Donder–Weyl i simetries naturals, que presentem com a proposicions matemàtiques demostrades recentment i que es poden trobar a les següents publicacions: [63, 75, 76]. Aquest treball també proporciona una construcció multisimplèctica dels parèntesis de Poisson introduïts per Marsden et al. [116] per obtenir les equacions de Hamilton–De Donder–Weyl a partir del funcional d’acció, en anàloga directa amb l’anàlisi de la mecànica clàssica. A més, mostrem com la nostra interpretació geomètrica d’aquests parèntesis de Poisson també condueix a les equacions del camp i discutim la seva relació amb el formalisme covariant de dimensió infinita esmentat anteriorment. Finalment, oferim un primer pas cap a la comprensió de la geometria multisimplèctica associada a l’anàlisi BRST–BV de les teories de gauge en el marc lagrangià. Després de construir la simetria BRST, trobem la aplicació multimoment corresponent i mostrem que proporciona la càrrega BRST estàndard llevat d’una derivada total. Les novetats presentades en aquesta tesi ofereixen una nova selecció de tècniques geomètriques que ens permeten passar del llenguatge infinit-dimensional dels funcionals locals al llenguatge finit-dimensional dels camps de vectors i les formes diferencials, tot tractant l’espai i el temps en peu d’igualtat.

# metadata.dc.title[].value
The Multisymplectic Geometry of Classical Field Theories on Finite-Dimensional Covariant