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Theories of modified gravity and reconstruction schemes of cosmological models

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Universitat de Barcelona. Departament d'Estructura i Constituents de la Matèria

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[spa] En esta memoria de tesis se expone el trabajo llevado a cabo por el doctorando durante los últimos cuatro años, el cual versa principalmente sobre diversos aspectos de soluciones cosmológicas obtenidas a partir de teorías de gravedad modificada. Para entender el origen y la importancia de las teorías de gravedad modificada es necesario comentar antes algunos hechos acontecidos durante el siglo XX en el marco de la cosmología. La cosmología como ciencia nació gracias a la Teoría de la Relatividad General de Albert Einstein. Antes de ésta, el espacio no era más que el lugar en el que las estrellas y los planetas residían y el tiempo no era más que algo que iba pasando, siendo espacio y tiempo dos cosas completamente desconectadas y que no se veían afectadas por lo acontecido en el Universo. Sin embargo, la teoría de Einstein derrumbó estas ideas, proponiendo que espacio y tiempo están ligados entre sí y que, además, no son meros espectadores de lo que sucede en el Universo, sino que se ven afectados por su contenido. Fue de esta manera como surgió el concepto de espacio-tiempo, el cual, según Einstein, se curva debido a la presencia de materia y/o energía (ya unificadas en su teoría de la relatividad especial). Las ecuaciones de campo de Einstein son las ecuaciones que permiten a la cosmología ser considerada como una ciencia, y establecen un diálogo entre la forma del Universo y el contenido de materia y energía que en él hay. Las primeras soluciones cosmológicas que se dieron para el Universo eran estáticas, sin embargo éstas se desecharon cuando se verificó que la ley de expansión propuesta por Hubble era cierta. La teoría más aceptada hoy en día para describir el Universo es la Teoría del Big Bang, que predice un universo en expansión que habría empezado tras una gran explosión. Entre los logros de esta teoría se encuentran el estar de acuerdo con la ley de Hubble, haber podido predecir el fondo de radiación cósmica de microondas o el ser capaz de explicar la abundancia relativa de elementos primordiales. Sin embargo, este modelo no se encuentra exento de problemas, ya que hay ciertos aspectos que la teoría no es capaz de explicar, entre ellos se encuentran el problema de la bariogénesis (explicar el proceso que produce la asimetría encontrada entre bariones y antibariones) o los problemas de la planitud y del horizonte. Si bien es cierto que alguno de estos problemas pueden ser subsanados completando la teoría del Big Bang con otras como el modelo inflacionario, se ha demostrado que estos parches también presentan sus propios problemas. Aún así, la teoría del Big Bang está considerada como la mejor descripción que tenemos del Universo. A pesar de los pequeños o grandes problemas que aún quedaban por resolver, parecía que la cosmología estaba destinada a vivir de manera más o menos plácida. Pero esta aparente calma se vio truncada cuando, a finales del siglo XX, dos grupos liderados por Saul Perlmutter y por Adam Riess y Brian Schmidt, respectivamente, descubrieron, a partir de observaciones de supernovas de tipo Ia, que el Universo se encuentra en una fase de expansión acelerada. Esto contrasta con la visión que aporta la teoría del Big Bang, ya que según este modelo el Universo habría surgido de una gran explosión, fruto de la cual se estaría expandiendo; sin embargo, debido a la atracción gravitatoria de la masa contenida en el Universo, dicha expansión debería ir frenándose. Además, el grupo de Perlmutter determinó que, para poder explicar este hecho en el seno de la teoría del Big Bang, asumiendo un Universo espacialmente plano, la materia ordinaria y la materia oscura aportarían un 28% del total del contenido del Universo, mientras que el 72% restante debería atribuirse a un tipo de energía exótica denominada energía oscura y que ejercería una fuerza repulsiva. El descubrimiento de la expansión acelerada del Universo fue el origen del surgimiento de un gran número de teorías cuyo objetivo era darle una explicación. La más aceptada actualmente es la teoría ¿-Cold-Dark-Matter (¿CDM) la cual propone que la energía oscura no es más que una constante cosmológica que daría cuenta de la energía de vacío del Universo. Otras teorías muy populares entre los cosmólogos para dar una explicación a la energía oscura son las teorías escalar-tensor, en las cuales la aceleración se consigue mediante la introducción de un campo escalar en el lagrangiano de la teoría, de manera similar a como el inflatón consigue la aceleración en el periodo de inflación. Básicamente, las teorías comentadas hasta ahora se basan en la introducción de algún tipo de materia o energía exótica en las ecuaciones de campo de Einstein para conseguir la aceleración deseada en el Universo. Sin embargo, ésta no es la única forma de conseguir el resultado deseado. Otra manera es suponer que las ecuaciones de Einstein son válidas hasta un cierto límite, pero han de ser modificadas más allá de este. De esta forma la aceleración en la expansión no estaría causada por un tipo de materia/energía exótica, sino que sería consecuencia de las nuevas ecuaciones. A este tipo de teorías es a las que se conoce como teorías de gravedad modificada. Entre los modelos que proponen modificar las ecuaciones de Einstein, para intentar dar una explicación a la actual aceleración en la expansión del Universo, se encuentran las teorías de gravedad modificada f(R). Estas teorías se basan en la sustitución de la curvatura escalar, R, en la acción de Einstein-Hilbert por una función genérica de la misma, f(R). Esta modificación, que a priori puede no parecer especialmente traumática, se traduce finalmente en que las ecuaciones de campo derivadas de la nueva acción sean ecuaciones diferenciales no lineales de cuarto orden, en lugar de ser de segundo orden como es el caso de las ecuaciones de campo de Einstein. Una parte muy importante, si bien no es la única, de los esfuerzos realizados para llevar a cabo este trabajo de tesis se basa en el estudio de diversos aspectos de diferentes teorías de gravedad modificada f(R). Uno de los bloques fundamentales de la memoria de la tesis es aquél dedicado a la reconstrucción de soluciones cosmológicas a partir de diferentes teorías gravitatorias. El objetivo es determinar si es posible encontrar una acción que sea capaz de reproducir una cosmología, dada por su factor de escala o su función de Hubble, y, en caso afirmativo, determinar la forma de dicha acción. Esta labor se ha llevado a cabo para teorías de gravedad modificada f(R) mediante el uso de dos esquemas de reconstrucción distintos, uno basado en el uso de un campo escalar y otro en el uso de las ecuaciones de campo obtenidas a partir de la acción de la teoría f(R). En el capítulo 2 se presentarán estos esquemas de reconstrucción y se analizarán los resultados obtenidos mediante el uso de ambos para una misma cosmología dada. Posteriormente, en el capítulo 3, se extenderá el uso de estos programas de reconstrucción a modelos cosmológicos acoplados de manera mínima a campos de Yang-Mills, estudiando de nuevo lo que ocurre con las soluciones obtenidas a partir de ambos métodos para una misma cosmología. Además, se llevará a cabo el desarrollo de un programa de reconstrucción para teorías de Yang-Mills acopladas de manera no-mínima a gravedad. Para terminar con el bloque dedicado a la reconstrucción de soluciones cosmológicas, se estudiará el caso de universos cíclicos en el seno de teorías de gravedad de Horava¿Lifshitz modificada. La gravedad de Horava-Lifshitz es una teoría renormalizable, propuesta por Horava, basada en la introducción de una anisotropía entre las cordenadas espaciales y la temporal, con la cual se rompe la invariancia bajo difeomorfismos de la Relatividad General. En el capítulo 4, se hará uso de los métodos de reconstrucción estudiados anteriormente para reconstruir un universo cíclico en el seno de teorías de gravedad de Horava¿Lifshitz modificada, dichas teorías se obtienen mediante una generalización del modelo de Horava-Lifshitz, de manera similar a como se obtienen las teorías f(R) a partir de la acción de Einstein-Hilbert. El estudio de la historia cósmica, y del crecimiento de las perturbaciones de densidad de materia, para diversos modelos f(R) viables constituye otra de las partes fundamentales de esta memoria de tesis. Debido a la arbitrariedad de la función f(R), existen infinitas teorías de este tipo, tantas como funciones que se puedan proponer; sin embargo, no todas ellas son viables, para ello han de cumplir con una serie de condiciones, como pueden ser pasar los tests de Sistema Solar y tener un acoplo gravitacional efectivo positivo. En el capítulo 5 se hará un estudio de la historia cósmica para dos modelos viables. Se analizarán numéricamente las oscilaciones de alta frecuencia de energía oscura producidas durante la época de dominación de materia, las cuales pueden producir algunas divergencias. Es por ello que se propondrán unos términos correctivos para los modelos que ayudarán a estabilizar estas oscilaciones sin hacer perder la viabilidad a los modelos. Para estas nuevas teorías se hará un estudio de la evolución que tendrían en el futuro y, además, se analizará de manera exhaustiva la historia de crecimiento de las perturbaciones de densidad de materia. Para llevar a cabo esta última tarea se determinará el índice de crecimiento para ambos modelos según tres parametrizaciones distintas. En la segunda parte del capítulo 5 se realizará un análisis de la época inflacionaria para dos modelos exponenciales. Para terminar con este bloque, en el capítulo 6, se estudiará el crecimiento de las perturbaciones de densidad de materia, de manera similar a como se hizo en el capítulo 5, para dos nuevos modelos f(R) viables. Un tercer bloque, que consta de dos capítulos, se dedica al estudio de otros aspectos importantes para las teorías gravitatorias, como es el caso del problema de la aparición de singularidades y el estudio del límite de campo débil en teorías f(R,G), siendo G el invariante de curvatura de Gauss-Bonnet. El caso de la existencia de singularidades futuras en el seno de teorías de gravedad modificada y de energía oscura es tratado en el capítulo 7, en el cual también se dará una clasificación de las mismas dependiendo de la magnitud causante de la divergencia. Si bien es cierto que, para tratar de manera rigurosa el tema de las singularidades, es necesaria una teoría cuántica de la gravedad, de la que aún hoy carecemos, también es importante intentar encontrar escenarios naturales a nivel clásico o semiclásico que sean capaces de curar la aparición de estas singularidades. En el capítulo 7 se propondrá una posible cura para este problema, la cual está basada en la adición de un término R^2 en el Lagrangiano de la teoría. Tras este análisis del problema de la aparición de singularidades en el seno de distintas teorías gravitatorias, en el capítulo 8 se afronta el estudio del límite de campo débil para las teorías de gravedad modificada f(R,G). Hasta finales del siglo XX, la Relatividad General de Einstein se había mostrado como la teoría gravitatoria más fiable, debido a la excelente concordancia entre sus predicciones y los datos observacionales que se tenían en ese momento. Sin embargo, el descubrimiento del actual estado de aceleración, en el que se ve inmersa la expansión del Universo, abrió una grieta en la teoría gravitatoria de Einstein, poniendo en duda su validez a grandes escalas y en regímenes de altas energías. Aún así, los excelentes resultados a cortas escalas, como a nivel de sistema solar, de la Relatividad General hacen que el análisis del límite de campo débil de cualquier teoría gravitatoria sea muy relevante, ya que éstas deberían ser capaces de reproducir los resultados obtenidos por la Relatividad General para pequeñas escalas. De esta manera, el estudio del límite de campo débil puede ser usado para desechar o seguir teniendo en consideranción una teoría gravitatoria. En el capítulo 8, se calcularán los límites Newtoniano, post-Newtoniano y post-post-Newtoniano de las teorías f(R,G); además, el límite Newtoniano se resolverá a partir de funciones de Green. Para finalizar con el capítulo se presentarán los límites Newtoniano, post-Newtoniano y post-post -Newtoniano para dos casos especiales, las teorías f(R) y f(G).} La memoria de la tesis finaliza con un bloque dedicado a las conclusiones generales obtenidas y a las cuestiones que quedan abiertas para un trabajo futuro.

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[cat] En aquesta memòria de tesis s’exposa el treball dut a terme pel doctorant durant els últims quatre 
anys, i que versa principalment sobre diversos aspectes de solucions cosmològiques obtingudes a partir de teories de gravetat modificada. Per entendre l'orígen i la importància de les teories de gravetat modificada és necessari comentar abans alguns fets que ocorregueren durant el segle XX en el marc de la cosmologia. 

La cosmologia com a ciència va néixer gràcies a la Teoria de la Relativitat General d’Albert Einstein. Abans d’aquesta, l’espai no era més que el lloc on les estrelles i els planetes residien, i el temps no era més que quelcom que anava passant, essent l’espai i el temps dues coses completament desconectades i que no es veien afectades pel que passava a l’Univers. La teoria d’Einstein va enderrocar aquestes idees, proposant que l’espai i el temps estan conectats i que, a més, no son purs espectadors del que passa a l’Univers, sinó que es veuen afectats pel seu contingut. Va ser d’aquesta manera com va sorgir el concepte d’espai-temps, el qual, segons Einstein, es corba degut a la presència de matèria i/o energia (ja unificades en la seva teoria de la relativitat especial). Les equacions de camp d’Einstein són les equacions que permeten a la cosmologia ser considerada com una ciència, i estableixen un diàleg entre la forma de l’Univers i el seu contingut de matèria i energia. Les primeres solucions cosmològiques que es trobaren per a l’Univers eren estàtiques, 
malgrat que aquestes es rebutjaren quan es verificà que la llei de l’expansió proposada per Hubble era certa. 

Malgrat els petits o grans problemes que encara quedaven per resoldre, semblava que la cosmologia 
estava destinada a viure de manera més o menys plàcida. Però aquesta aparent calma es va veure truncada quan, a finals del segle XX, dos grups liderats per Saul Perlmutter i per Adam Riess i Brian Schmidt, respectivament, descobriren, a partir d’observacions de supernoves de tipus Ia, que l’Univers es troba en una fase d’expansió accelerada. Això constrata amb la visió que aporta la teoria del Big Bang, ja que segons aquest model l’Univers hauria surgit d’una gran explosió, fruit de la qual s’estaria expandint; no obstant, degut a l’atracció gravitatòria de la massa continguda en l’Univers, l’expansió hauria de frenar-se. A més, el grup de Perlmutter va determinar que, per tal d’explicar aquest fet en el marc de la teoria del Big Bang, assumint un univers espacialment pla, la matèria ordinària i la matèria fosca aportarien un 28% del total del continug de l’Universe, mentres que el 72% restant s’hauria d’atribuï r a un tipus d’energia exòtica denominada energia fosca i que exerciria una força repulsiva. 

El descobriment de l’expansió accelerada de l’Univers va ser seguit del naixement d’un gran número de teories que pretenien explicar-ne l’origen. La més acceptada actualment és la teoria Λ-Cold-Dark-Matter ( ΛCDM ), que proposa que l’energia fosca no és més que una constant cosmològica relacionada amb l’energia del buit de l’Univers. Altres teories molt populars entre els cosmòlegs per a donar una explicació a l’energia fosca són les teories escalar-tensor, en les que l’acceleració s’aconsegueix mitjançant la introducció d’un camp escalar en el Lagrangià de la teoria, de manera equivalent a com l’inflató aconsegueix l’acceleració en el periode d’inflació. Bàsicament, les teories comentades fins ara es basen en la introducció d’algun tipus de matèria o energia exòtica en les equacions de camp d’Einstein per tal d’aconseguir l'acceleració. Ara bé, aquesta no és l’única forma d’aconseguir el resultat desitjat. Una altra manera es suposar que les equacions d’Einstein només són valides fins a un cert límit, però que han de ser modificades 
un cop propassat aquest. D’aquesta manera l’acceleració en l’expansió no estaria causada per un tipus de matèria/energia exòtica, sinó que seria conseqüència de les noves equacions. A aquest tipus de teories és a les que es coneixen com a teories de gravetat modificada.

Entre els models que proposen modificar les equacions d’Einstein, per intentar donar una explicació a l’actual acceleració en l’expansió de l’Univers, es troben les teories de gravetat modificada f (R) . Aquestes teories es basen en la substitució de la curvatura escalar, R , en l’acció d’Einstein-Hilbert per una funció genèrica de la mateixa, f (R) . Aquesta modificació, que a priori pot no semblar especialment traumàtica, es tradueix finalment en que les equacions de camp derivades de la nova acció siguin equacions diferencials no lineals de quart ordre, en lloc de ser de segon order com en el cas de les equacions d’Einstein. Una part molt important, si bé no l’ única, dels esforços realitzats per portar a terme aquest treball de tesis es basa en l’estudi de diversos aspectes de diferents teories de gravetat modificada f (R) . 

Un dels blocs fonamentals de la memòria de la tesis és dedicat a la reconstrucció de solucions cosmològiques a partir de diferents teories gravitatòries. L’objectiu és determinar si és possible trobar una acció que sigui capaç de reproduïr una cosmologia, donada pel seu factor d’escala o la seva funció de Hubble, i, en cas afirmatiu, determinar la forma d’aquesta acció. Aquesta feina s’ha dut a terme per teories de gravetat modificada f (R) mitjançant l’us de dos esquemes de reconstrucció diferents: un basat en l’ús d’un camp escalar i un altre en l’ús d’equacions de camp obtingudes a partir de l’acció de la teoria f (R) . En el capítol 2 es presentaran aquests esquemes de reconstrucció i s’analitzaran els resultats obtinguts mitjançant l’ ús d’ambdós esquemes per a una cosmologia donada. Posteriorment, en el capítol 3, s’extendrà l’ús d’aquests programes de reconstrucció a models cosmològics acoplats de manera mínima a camps de Yang-Mills, estudiant de nou el que succeeix amb les solucions obtingudes a partir d’ambdó s mètodes per a una mateixa cosmologia. També es durà a terme el desenvolupament d’un programa de reconstrucció per a teories de Yang-Mills acoplades de manera no-mínima a la gravetat. Per acabar amb el bloc dedicat a la reconstrucció de solucions cosmològiques, on s’estudiarà el cas d’universos cíclics en el marc de les teories de gravetat d’Hŏrava-Lifshitz modificada. La gravetat d’Hŏrava-Lifshitz és una teoria 
renormalitzable, proposada per Hŏrava, basada en la introducció d’una anisotropia entre les coordenades espacials i la temporal, amb la que es trenca la invariança sota difeomorfismes de la Relativitat General. En el capítol 4, es farà ús dels mètodes de reconstrucció estudiats anteriorment per tal de reconstruïr un univers cíclic en el marc de les teories de gravetat d’Hŏrava-Lifshitz modificada, teories obtingudes mitjan ̧ cant una generalització del model d’Hŏrava-Lifshitz, de manera similar a com s’obtenen les teories f (R) a partir de l’acció d’Einstein-Hilbert. 

L’estudi de la història còsmica, i del creixement de les perturbacions de densitat de matèria, per diversos models f (R) viables constitueix una altra de les parts fonamentals d’aquesta memòria de tesis. Degut a l’arbitrarietat de la funció f (R) , existeixen un infinit de teories d’aquest típus, tantes com fun cions es puguin proposar; ara bé, no totes elles són viables, ja que per això han de satisfer una sèrie de condicions, com ara els tests de Sistema Solar i tenir un acoblament gravitacional efectiu positiu. En el capítol 5 es farà un estudi de la història còsmica per a dos models viables. S’analitzaran numèricament les oscil·lacions d’alta freqüència d’energia fosca produïdes durant l’època de domini de la matèria, les quals podrien produïr alguna divergència. Es per això que es proposaran uns termes correctius per als models que ajudaran a establir  aquestes oscil·lacions sense fer perdre la viabilitat dels models. Per a aquestes noves teories es farà un estudi de l’evolució que tindran en el futur i, a més, s’analitzarà de manera exhaustiva la història de creixement de les pertorbacions de densitat de matèria. Per tal de dur a terme aquesta darrera tasca es determinarà l’índex de creixement per ambdós models segons tres parametritzacions diferents. En la segona part del capítol 5 es realitzarà un anàlisis de l’època inflacionària per a dos models exponencials. Per acabar aquest bloc, en el capítol 6, s’estudiarà el creixement de les perturbacions de densitat de matèria, de manera similar a com es fa en el capítol 5, per a dos nous models f (R) viables. 

Un tercer bloc, que consta de dos capítols, es dedica a l’estudi d’altres aspectes importants per a les 
teories gravitatòries, com és el cas del problema de l’aparició de singularitats i l’estudi del límit de campdèbil en teories f (R, G) , essent G l’invariant de curvatura de Gauss-Bonnet. El cas de l’existència de singularitats futures en el marc de teories de gravetat modificada i d’energia fosca és tractat al capítol 7, en el que també es farà una classificació de les mateixes, en funció de la magnitud causant de la divergència. Si bé és cert que, per tal de tractar de manera rigorosa el tema de les singularitats, és necessària una teoria quàntica de la gravetat, teoria que encara ens manca avui en dia, també és important intentar trobar escenaris naturals a nivell clàssic o bé  semi–clàssic que siguin capaços de capturar l’aparició d’aquestes singularitats. En el capítol 7 es proposarà una possible cura per a aquest problema, que estarà basada a de la teoria. Després de fer aquesta anàlisi del problema de les en afegir un terme R2 en el Lagrangià singularitats en el context de les diferents teories de gravetat, el capítol 8 es dedicarà a l’estudi del límit de camp feble per les teories de gravetat modificada de tipus f (R,G). Fins a finals del segle XX, la Teoria de la Relativitat General d’Einstein era tinguda com la teoria gravitatòria més fiable, degut a la concordància excel·lent entre les seves prediccions i les dades observacionals que s’havien obtés fins aleshores. Però el descobriment que va tenir lloc a finals de segle sobre l’estat present d’acceleració que afecta l’expansió de l’Univers obr ́ı una escletxa en la teoria gravitatòria d’Einstein, posant en dubte de sobte la seva validesa a escales molt grans i en règims de molt alta energia. Així i tot, els seus excel·lents resultats a escales petites, com ara a nivell del nostre sistema solar, no s’han vist en absolut afectats. Això fa que l’anàlisi de camp feble de qualsevol teoria gravitatòria segueixi sent extraordinariament relevant, ja que tota teoria ha de ser capa de reproduïr els molt bons resultats obtinguts per la Relativitat General a escales petites. D’aquesta manera, l’estudi del límit de camp feble pot ser usat per tal de rebutjar o, contràriament, de seguir tenint en consideració una teoria gravitatòria. Dins del capítol 8 es calcularan els límits Newtonià, post–Newtonià i post–post–Newtonià de les teories f (R, G) ; a més. el límit Newtonià serà resolt mitjançant funcions de Green. Per acabar aquest capítol es presentaran explícitament els límits Newtonià, post–Newtonià i post–post–Newtonià de dos cassos especials importants, les teories f (R) i f (G). 

La memòria de la tesis finalitza amb un bloc dedicat a les conclusions obtingudes i a qüestions que queden obertes per a un treball futur.

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Tesis Doctorals - Departament - Estructura i Constituents de la Matèria

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Theories of modified gravity and reconstruction schemes of cosmological models