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Curvas elípticas y sus aplicaciones criptográficas

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Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2025, Director: Xevi Guitart

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[en] Elliptic curves are an algebraic object defined over a field that, with a particular sum operation determined geometrically between their points, present a group structure. When these curves are defined over finite fields, their corresponding groups are also finite and can be used as a "base"for really secure cryptographic algorithms. These algorithms form the so called elliptic curve cryptography. This work explores the theory around these curves and their applications in different cryptographic algorithms. Starting from the definition, we will analyze some properties of the curves to then define the sum operation and prove the group structure. Next we will study these curves over finite fields to finish their analysis stating and proving a bound for their cardinal. Then we will explain the discrete logarithm problem for elliptic curves, and lastly, we will explore different cryptographic algorithms that use these curves and analyze what makes
these algorithms so secure. 

[es] Las curvas elípticas son un objeto matemàtico definido sobre un cuerpo que, bajo la definición geometrica de una operación suma entre sus puntos, presentan estructura de grupo. Cuando estas curvas estan definidas sobre cuerpos finitos, dichos grupos tambien lo son y pueden usarse como "base"para desarrollar algoritmos criptográficos muy seguros. Estos algoritmos forman la llamada criptografía de curvas elípticas. Este trabajo explora la teoria alrededor de estas curvas y sus aplicaciones en diferentes algoritmos criptográficos. Empezando por su definición veremos algunas propiedades de estas para luego definir la operación suma y demostrar la estructura de grupo. Después estudiaremos dichas curvas sobre cuerpos finitos para acabar enunciando y demostrando la existencia de una cota para su cardinal. Posteriormente analizaremos el problema del logaritmo discreto sobre las curvas elípticas y finalmente, nos adentraremos en los diferentes algoritmos criptográficos definidos alrededor de las curvas elípticas y analizaremos que los hace tan seguros.

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cc by-nc-nd (c) Guillermo Frontera Cambronero, 2025

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Treballs Finals de Grau (TFG) - Matemàtiques

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Curvas elípticas y sus aplicaciones criptográficas