# metadata.dc.description[].value
Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2026, Director: Arnau Padrol

# metadata.dc.description.abstract[].value
[en] This thesis studies the fiber polytope, a construction introduced by Billera and Sturmfels that packages, into a single convex polytope, the geometry and combinatorics of coherent subdivisions associated with a projection of polytopes. Our starting point is an affine projection π : P → Q: while the map may hide part of the geometry of P, it leaves a precise footprint on Q in the form of polyhedral subdivisions. The guiding question of this work is how to describe these subdivisions in a natural and unified way. After recalling the basic language of convex polytopes, polyhedral complexes, and subdivisions, we explain coherence through a geometric principle: optimizing linear functionals along the fibers of π. This leads to piecewise-linear sections whose domains of linearity form coherent subdivisions of Q. To assemble this fiberwise information into a global object, we use Minkowski integration, which acts as a convex-geometric averaging of the fibers and produces the fiber polytope. In this perspective, vertices and faces of the fiber polytope arise from tight coherent sections and reflect how subdivisions refine one another. The central result discussed is the Billera–Sturmfels Theorem, establishing an order-reversing correspondence between the face lattice of the fiber polytope and the poset of π-coherent subdivisions of Q. Finally, we specialize to projections from a simplex and recover the classical secondary polytope of a point configuration, clarifying the role of regular triangulations and the appearance of GKZ vectors as vertex data. Throughout, the emphasis is on a clear geometric narrative that keeps the main ideas visible while maintaining full mathematical rigor.

[ca] Aquesta tesi estudia el polítop fibra, una construcció introduïda per Billera i Sturmfels que reuneix, en un únic polítop convex, la geometria i la combinatòria de les subdivisions coherents associades a una projecció de politops. El punt de partida és una projecció afí π : P → Q: tot i que la projecció pot amagar part de la geometria de P, deixa una petjada precisa sobre Q en forma de subdivisions polièdriques. La pregunta que guia el treball és com descriure aquestes subdivisions d’una manera natural i unificada. Després de recordar el llenguatge bàsic de politops convexos, complexos polièdrics i subdivisions, expliquem la coherència a partir d’un principi geomètric: optimitzar funcions lineals al llarg de les fibres de π. Això condueix a seccions a trossos lineals, i els dominis on aquestes seccions són afins determinen subdivisions coherents de Q. Per reunir aquesta informació fibra a fibra en un objecte global, utilitzem la integració de Minkowski, que actua com una mena de mitjana en geometria convexa i dona lloc al polítop de fibra. En aquesta visió, els vèrtexs i les cares del polítop fibra provenen de seccions coherents i reflecteixen com les subdivisions es refinen entre si. El resultat central és el Teorema de Billera–Sturmfels, que estableix una correspondència que inverteix l’ordre entre el reticle de cares del polítop fibra i el conjunt de les subdivisions π-coherents de Q. Finalment, especialitzem al cas de projeccions des d’un simplex i recuperem el polítop secundari clàssic d’una configuració de punts, aclarint el paper de les triangulacions regulars i l’aparició dels vectors GKZ com a dades dels vèrtexs. Al llarg del treball, l’èmfasi es posa en un fil narratiu geomètric clar, que manté visibles les idees principals sense renunciar al rigor matemàtic.

# metadata.dc.rights[].value
cc by-nc-nd (c) Elna Guardiola Andrés, 2026

# metadata.dc.source[].value
Treballs Finals de Grau (TFG) - Matemàtiques