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Homologı́a persistente de las redes complejas

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Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2020, Director: Javier J. Gutiérrez Marín

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[es] La homologı́a persistente constituye a dı́a de hoy una de las herramientas esenciales del TDA (Topological Data Analysis). Desarrollada principalmente en la última década, nace de la topologı́a algebraica y hace uso de uno de los más importantes invariantes algebraicos de un espacio, la sucesión de grupos de homologı́a, para determinar las caracterı́sticas topológicas del espacio subyacente de una cierta nube de puntos. Se construye
un complejo simplicial a partir de los datos iniciales y se define una filtración (sucesión de subcomplejos encajados) que permite estudiar cómo varı́an los rangos de grupos de homologı́a (números de Betti) según evoluciona el parámetro que controla la dicha filtración.
Esto proporciona un estudio trasversal de las propiedades topológicas a todas las escalas, permitiendo desvelar cuáles de ellas son verdaderamente caracterı́sticas del conjunto de estudio y cuáles son menos significativas o simplemente producto de ruido estadı́stico. La semejanza entre un grafo y un complejo simplicial es el motor de la incursión de la homologı́a persistente en la teorı́a de redes. Aún sin tener dimensionalidad, es fácil pensar que un grafo completo de tres vértices es un triángulo, y que uno completo con cuatro vértices constituye algo topológicamente equivalente a un tetraedro. De esta manera se convierte cualquier grafo en complejo simplicial, permitiendo la aplicación de las herramientas de la homologı́a algebraica. Pero, ¿qué se gana estudiando un grafo de esta manera?
El estudio clásico de los grafos y redes complejas (que es una denominación más común en la ciencia aplicada, por denotar que caracterizan sistemas complejos) se ha centrado en medidas locales (grado de los nodos, longitud caracterı́stica de los caminos, clustering,...) que suelen ser ciegas a las propiedades geométricas y topológicas del espacio que genera la propia existencia de los nodos y aristas. Aplicando la homologı́a persistente a los grafos se obtiene una nueva y complementaria perspectiva que pretende extraer justamente estas caracterı́sticas globales y libres de las restricciones que supone la elección de una escala
de estudio. Esto supone un cambio radical de punto de vista que, como tal, descubre un mar de posibilidades de investigación y da rienda suelta a la creatividad y el optimismo.
El objetivo de este trabajo es presentar toda la información publicada hasta la fecha sobre la fusión de estos dos elementos, la homologı́a persistente y los grafos, por tal de dar a conocer ideas y procedimientos que parecen tener –y han empezado a demostrar– mucho potencial en ámbitos como la neurociencia. La estructura del trabajo consta de una introducción breve a la topologı́a algebraica, centrada únicamente en la homologı́a simplicial y que desarrolla los conceptos hasta formalizar la homologı́a persistente y las herramientas que la acompañan; y de una introducción a la teorı́a de redes complejas junto con sus modelos más tı́picos y medidas caracterı́sticas. Por último, y como núcleo del estudio, se expone cómo interaccionan estas dos áreas. Se da métodos para la construcción de complejos simpliciales y filtraciones a partir de redes y se expone las conclusiones extraı́das de su uso en toda una variedad de artı́culos matemáticos y aplicados, ası́ como nuevas construcciones que surgen de la necesidad de extender el análisis a nuevos casos.
Se anima en todo momento al lector a dejarse ser creativo en el uso de la junción de estas dos materias: por la novedad de estas técnicas, es tan sólo cuestión de tiempo que la bibliografı́a que la utiliza vaya engrosándose.

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cc-by-nc-nd (c) Guillermo Ródenas Alesina, 2020

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Treballs Finals de Grau (TFG) - Matemàtiques

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Homologı́a persistente de las redes complejas