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Flow map parameterization methods for invariant tori in Hamiltonian systems

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Universitat de Barcelona. Departament de Matemàtiques i Informàtica

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[eng] Given a dynamic system, it is important to identify the invariant objects that organize long-term behavior, as well as their dynamic connections. Both in theory and in applications. The objective of this thesis is to advance in the development of Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) type techniques within the framework of the parameterization method and its application to problems of celestial mechanics. 
We have developed KAM iterative schemes for the calculation of partially hyperbolic invariant torus and their invariant bundles in quasiperiodic Hamiltonian systems. We look for invariant bulls and bundles under adequate time-1 maps, which allow us to reduce the dimension of the bull to be calculated by one. The computational cost of manipulating functions grows exponentially with the number of variables in the parameterization. Therefore, reduction by flow maps is computationally advantageous, although it requires numerical integration. However, this integration can be easily parallelized. If the parameterization is approximated with N Fourier coefficients, the iterative step requires O(N) of storage and O(N log N) operations, in contrast to standard Newtonian methods, which need O(N^2) of storage and O(N^3) operations. This gain in efficiency comes from the geometric properties of phase space (i.e., symplectic geometry), systems (symplectic accuracy), torus (isotropy, Lagrangianity), as well as dynamical properties (reducibility). In particular, the reducibility of the linearized dynamics around the torus to a triangular matrix by blocks is known as automatic reducibility and is an important property both in theory and in applications. The algorithms have been implemented and applied to the Three-Body Elliptic Restricted Problem (ERTBP) to compute an extensive set of non-resonant three-dimensional invariant torus along with their invariant bundles. 
From these results, we have obtained an a posteriori theorem for partially hyperbolic invariant bulls and their rank 1 invariant bundles in quasiperiodic Hamiltonian systems. The approach followed allows the theorem to be applied to autonomous, periodic and quasiperiodic Hamiltonian systems, and constitutes the demonstration of the convergence of methods based on flow maps. In addition, we simultaneously obtain both stable and unstable bundles, providing a clear geometric view of the tangent space to the torus. The proof is based on geometric properties of a symplectic nature, which hold approximately when the parameterizations approximately satisfy their equations of invariance. We have obtained geometric lemmas that control error in the KAM iterative process. The new error in the invariance equations is controlled with explicit constants, which requires a 
careful treatment of the loss of analyticity at each iterative step. The demonstration concludes by obtaining convergence conditions for the KAM iterative process. The a posteriori theorem obtained allows computer-aided proofs to be carried out. 
Partially hyperbolic bulls have associated stable and unstable varieties, whiskers, where dynamics converge exponentially fast in the future and in the past, respectively. The stable and unstable bundles with the linear approximations of these varieties. We have also developed KAM schemes to compute high-order Fourier-Taylor expansions of whiskers in autonomous and quasiperiodic Hamiltonian systems. Unlike order-to-order methods, which first calculate the torus and its bundles before calculating the whiskers on an order-by-order basis, the approach followed simultaneously computes both the torus and the whiskers using the same KAM iterative method. This unified framework improves the efficiency of whisker calculation by doubling the number of correct terms in expansion in each iteration. The algorithms have been applied to the calculation of high-order expansions of partially hyperbolic non-resonant invariant torus in the circular and three-body elliptical constrained problems.

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[spa] Dado un sistema dinámico, es importante identificar los objetos invariantes que organizan el comportamiento a largo plazo, así como sus conexiones dinámicas. Tanto en teoría como en aplicaciones. El objetivo de esta tesis es avanzar en el desarrollo de técnicas tipo Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) dentro del marco del método de parametrización y su aplicación a problemas de mecánica celeste. 
Hemos desarrollado esquemas iterativos KAM para el cálculo de toros invariantes parcialmente hiperbólicos y sus fibrados invariantes en sistemas Hamiltonianos cuasiperiódicos. Buscamos toros y fibrados invariantes bajo mapas tiempo-1 adecuados, los cuales permiten reducir en una la dimensión del toro a calcular. El costo computacional para manipular funciones crece exponencialmente con el número de variables de la parametrización. Por lo tanto, la reducción mediante mapas de flujo es computacionalmente ventajosa, aunque requiere integración numérica. Sin embargo, esta integración se puede paralelizar fácilmente. Si la parametrización se aproxima con N coeficientes de Fourier, el paso iterativo requiere O(N) de almacenamiento y O(N log N) operaciones, en contraste con los métodos de Newton estándar, que necesitan O(N^2) de almacenamiento y O(N^3) operaciones. Esta ganancia en eficiencia proviene de las propiedades geométricas del espacio de fase (es decir, la geometría simpléctica), de los sistemas (exactitud simpléctica), de los toros (isotropía, Lagrangianidad), así como de propiedades dinámicas (reducibilidad). En particular, la reducibilidad de la dinámica linealizada alrededor del toro a una matriz triangular por bloques es conocida como reducibilidad automática y es una propiedad importante tanto en teoría como en aplicaciones. Los algoritmos han sido implementados y aplicados al Problema Restringido de Tres Cuerpos Elíptico (ERTBP) para calcular un conjunto extenso de toros invariantes tridimensionales no resonantes junto con sus fibrados invariantes. 
A partir de estos resultados, hemos obtenido un teorema a posteriori para toros invariantes parcialmente hiperbólicos y sus fibrados invariantes de rango 1 en sistemas Hamiltonianos cuasiperiódicos. El enfoque seguido permite aplicar el teorema a sistemas Hamiltonianos autónomos, periódicos y cuasiperiódicos, y constituye la demostración de la convergencia de los métodos basados en mapas de flujo. Además, obtenemos simultáneamente tanto los fibrados estables como los inestables, proporcionando una visión geométrica clara del espacio tangente al toro. La demostración se basa en propiedades geométricas de naturaleza simpléctica, las cuales se mantienen aproximadamente cuando las parametrizaciones satisfacen aproximadamente sus ecuaciones de invariancia. Hemos obtenido lemas geométricos que controlan el error en el proceso iterativo KAM. El nuevo error en las ecuaciones de invariancia se controla con constantes explicitas, lo que requiere un 
tratamiento cuidadoso de la perdida de analiticidad en cada paso iterativo. La demostración concluye obteniendo condiciones de convergencia para el proceso iterativo KAM. El teorema a posteriori obtenido permite la realización de demostraciones asistidas por ordenador. 
Los toros parcialmente hiperbólicos tienen asociadas variedades estables e inestables, los whiskers, donde la dinámica converge exponencialmente rápido en el futuro y en el pasado, respectivamente. Los fibrados estables e inestables con las aproximaciones lineales de estas variedades. También hemos desarrollado esquemas KAM para calcular expansiones de Fourier-Taylor de orden elevado de whiskrs en sistemas Hamiltonianos autónomos y cuasiperiódicos. A diferencia de los métodos orden a orden, que calculan primero el toro y sus fibrados antes de calcular los whiskers orden a orden, el enfoque seguido computa simultáneamente tanto el toro como los whiskers utilizando el mismo método iterativo KAM. Este marco unificado mejora la eficiencia del cálculo de los whiskers duplicando el número de términos correctos en la expansión en cada iteración. Los algoritmos se han aplicado al cálculo de expansiones de orden elevado de toros invariantes parcialmente hiperbólicos no resonantes en los problemas restringidos circular y elíptico de tres cuerpos.

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cc by-nc-sa (c) Fernández-Mora, Álvaro, 2025

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Tesis Doctorals - Departament - Matemàtiques i Informàtica

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Flow map parameterization methods for invariant tori in Hamiltonian systems