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Hacia una teoría de carteras desde el punto de vista de la revisión

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Universitat de Barcelona. Departament de Matemàtica Econòmica, Financera i Actuarial

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[spa] El poseedor de una cartera de valores, definida en la presente Tesis como un conjunto de activos financieros bursátiles de renta fija y/o variable que se ha constituido con fines de inversión, se enfrenta al problema de la adaptación, en el tiempo, de la composición de dicha cartera. Este proceso de adaptación es el que constituye la revisión de la cartera que puede enfocarse de dos maneras distintas, que dan origen a dos tratamientos de la revisión totalmente diferentes.	El primer enfoque (modelos uniperiódicos de revisión de cartera) supone el tratamiento individualizado de cada uno de los T períodos en los que se puede dividir el tiempo total que transcurre desde el momento de constitución de la cartera hasta que se liquida definitivamente. Como consecuencia, se ignora toda relación entre periodos y la influencia que las decisiones tomadas en cada uno de ellos puedan tener sobre los restantes.El segundo enfoque (modelos multiperiódicos de revisión de cartera) trata de forma conjunta los T periodos en que se divide el horizonte temporal de posesión de la cartera y ello implica que la decisión tomada en cada periodo esté condicionada por la decisión tomada en el resto de periodos.Los modelos uniperiódicos de revisión de cartera son tratados en la Parte I de la Tesis, en los Capítulos 1, 2 y 3. En concreto, en el primer Capítulo se realiza un estudio de los modelos fundamentales (modelo Esperanza-Varianza básica y modelos de índices) que consideran que el inversor selecciona, de entre el conjunto de carteras eficientes, aquella que maximiza su utilidad esperada.El criterio de eficiencia de los modelos fundamentales se basa en la esperanza y en la varianza de la variable aleatoria "rentabilidad de la cartera". Según este criterio, el inversor se ve perjudicada por cualquier desviación respecto a la rentabilidad esperada, sea positiva o negativa.Los modelos de índices introducen, en el contexto de la Teoría de la Cartera, el comportamiento del mercado. Este comportamiento se tiene en cuenta al considerar que la rentabilidad de un título no sólo depende del propio título, sino también de un conjunto de índices sectoriales (modelo de índices múltiples; apartados 1.3.2 y 1.3.3),  las fluctuaciones de los cuales se trasladarán al título.En el Capítulo 2 se han tratado aquellos modelos que nacen de la modificación a algunas de las hipótesis de los fundamentales. Así, el modelo de Fama (apartado 2.2.1) supone que la distribución de la tasa de rentabilidad es del tipo Pareto estable y deduce el criterio de eficiencia adecuado para este caso. Si se supone una distribución lognormal (modelo de Fama-Elton-Gruber; apartado 2.2.2.) no es posible deducir un criterio de eficiencia de carácter general.Si bien en los anteriores modelos se ha supuesto que no era posible el endeudamiento ni las ventas al descubierto, estas hipótesis también pueden relajarse, dando lugar a los siguientes modelos:- Modelo Tobin-Sharpe-Lintner (apartado 2.3.2.).- Modelo de Black (apartado 2.3.3.).Otra de las hipótesis del modelo E-V básico hace referencia a la forma de la función de utilidad, que se supone cuadrática. Las limitaciones que presenta esta función han hecho que se considere la posibilidad de que la función de utilidad representativa de las preferencias del inversor sea cúbica (Modelo de Hanoch-Levy; apartado 2.4). Pero en este caso, es imposible deducir un criterio de eficiencia de carácter general parecido al derivado del criterio E-V.Por otra parte, la incorporación al modelo de revisión de los costes asociados al mantenimiento y revisión de una cartera puede realizarse de tres formas distintas (apartado 3.2.):1) La revisión sólo se lleva a cabo si el incremento de rentabilidad que se espera obtener de dicha revisión compensa los costes asociados.2) Los costes se consideran cono una restricción presupuestaria.3) Los costes disminuyen la rentabilidad esperada de la cartera.Además del modelo E-V básico y todas las modificaciones a las que ha dado lugar, existen otros modelos de revisión de cartera (Capitulo 3) que se caracterizan también por su carácter uniperiódico y por considerar como único objetivo la maximización de la utilidad esperada del inversor. Este es el caso de los modelos de Baumol (E-L; apartado 3.3), Esperanza-Semivarianza (E-S; apartado 3.4), Esperanza.-Entropía (E-H; apartado 3.5) y Dominancia Estocástica (apartado 3.6) En todos estos modelos el objetivo perseguido es de carácter mixto puesto que la cartera óptima ha de ser, a su vez, eficiente.Los tres primeros modelos (E-L, E-S y E-H) se basan, para la determinación del conjunto eficiente, en dos momentos de la distribución de probabilidad pero mientras el primero es común. (Esperanza), difieren en el parámetro representativo del riesgo asociado a la cartera. Así, mientras el modelo de Baumol mide el riesgo a través del "límite inferior de confianza" (L), el modelo E-S utiliza la semivarianza (negativa; S(h)) y el modelo E-H se basa en la entropía.De estas tres medidas del riesgo, L y S(h) surgen de una concepción del riesgo similar puesto que ambas penalizan únicamente las desviaciones negativas de la rentabilidad.La entropía se caracteriza por su independencia respecto al inversor y respecto a la esperanza.El modelo de Dominancia Estocástica se diferencia de los tres modelos anteriores y del modelo E-V básico en que el criterio de eficiencia no se apoya en dos momentos de la distribución de probabilidad sino en la propia función de distribución, considerada ésta en su globalidad. Ello permite definir criterios de eficiencia adaptados a distintos tipos de funciones de utilidad, ampliando el abanico de posibilidades de aplicación del modelo, a diferencia de otros que deben añadir hipótesis restrictivas respecto a dicha función.Dentro de los modelos triperiódicos de revisión de cartera se incluye también el modelo Media Geométrica (apartado 3.7.) que pretende maximizar la media geométrica de la rentabilidad de la cartera, lo cual equivale a maximizar la utilidad esperada si la función de utilidad es logarítmica.La mayoría de modelos que se plantean cuál es la cartera óptima para el inversor, consideran que éste se comporta maximizando su utilidad esperada; sin embargo, debe admitirse la posibilidad que el inversor pueda fijarse un objetivo distinto, en el que la utilidad no intervenga.En este sentido, los modelos "Safety First" (apartado 3.8) pretenden asegurar al inversor una determinada rentabilidad. Es decir, se busca ante todo la seguridad del inversor.Por último, dentro de los modelos triperiódicos de revisión de cartera es posible diseñar un modelo ajustado a cada inversor particular, en el que se tengan en cuenta múltiples objetivos. Este es el caso del modelo de Programación por Objetivos (apartado 3.9), que admite la incorporación de cuantos objetivos el inversor desee alcanzar, inclusive cuando éstos muestren cierto grado de incompatibilidad mutua, mediante la utilización de unos coeficientes que determinan el grado de prioridad con que deben ser conseguidos cada uno de los objetivos.En la Parte II se han estudiado los modelos de revisión de cartera que se caracterizan por el tratamiento global de los T periodos considerados, lo cual se traduce, matemáticamente, en un problema de optimización de carácter dinámico que se ha resuelto mediante la aplicación de la Programación Dinámica.La utilización de este método de optimización permite determinar, en el momento de constituir la cartera, y gracias al proceso de retro-optimización, cuál es la cuantía óptima que debe invertirse en cada punto decisorio y en cada activo para conseguir el objetivo deseado.La mayoría de los modelos que tienen en cuenta, de forma explícita, la naturaleza multiperiódica de la cartera consideran al inversor como un maximizador de la utilidad esperada, ya sea de la riqueza final del "lifetime consumption", o de la rentabilidad de la cartera periodo a periodo.  En este trabajo se han tratado, únicamente, los modelos que consideran que la finalidad del inversor es maximizar la utilidad esperada de la riqueza disponible en T.Del mismo modo que en los modelos triperiódicos, la maximización de la utilidad esperada de la riqueza disponible en T puede constituir un objetivo de carácter puro, adjetivo que se ha utilizado para indicar que se maximiza directamente la función de utilidad esperada pero, así mismo, puede tratarse de un objetivo de carácter mixto, en cuyo caso la cartera óptima deberá ser, a su vez, una cartera eficiente.Si se delimita la elección de la cartera óptima al conjunto eficiente, se puede considerar la extensión del modelo E-V básico al caso multiperiódico, lo cual exige la definición de la frontera eficiente y, por tanto, de un criterio de eficiencia para el conjunto de T periodos (apartados 4.2 y 4.3).Ahora bien, el criterio de eficiencia basado en el valor esperado y en la varianza no es adecuado para el caso multiperiódíco puesto que el tercer momento para el conjunto de T periodos no es cero a pesar de que periodo a periodo este tercer momento pueda ser nulo. Así, el tercer momento debe ser tenido en cuenta para determinar la eficiencia de una cartera, pero su consideración no permite deducir un criterio de eficiencia de carácter general puesto que, mientras un incremento de la varianza provoca un incremento del tercer momento, el efecto de un incremento de la rentabilidad esperada en dicho momento no está determinado. La dificultad que supone la definición de un criterio de eficiencia basado en los tres primeros momentos estadísticos sugiere la posibilidad de buscar la cartera que maximiza directamente la función de utilidad esperada sin reparar en la eficiencia de dicha cartera.Por ello, en el Capítulo 5 se ha desarrollado el modelo de Maximización directa de la función de utilidad esperada de la variable "riqueza disponible en el momento T" y para ello se ha supuesto que la función de utilidad del inversor puede ser cuadrática, logarítmica o potencial. Así mismo, se ha considerado la posibilidad de que la cartera esté formada por N activos arriesgados o bien por N activos arriesgados y un activo sin riesgo.Para cada tipo de función y para cada tipo de cartera se ha deducido, bajo hipótesis de independencia y estacionariedad, cuál es la cuantía óptima que debe invertirse en cada activo y en cada punto decisorio para conseguir maximizar la utilidad esperada en T que es el único objetivo fijado por el inversor. Para ello ha sido necesaria la definición de la función de utilidad "derivada", que es la función que debe maximizarse en cada uno de los periodos para garantizar la maximización de la función de utilidad real.Además de deducir cuál debe ser la cuantía invertida en cada activo y en cada punto decisorio, se han estudiado los casos en que la política miope es la óptima; es decir, en qué casos la maximización de la función de utilidad esperada de la riqueza disponible en t+l conduce a los mismos resultados que la maximización de la función de utilidad esperada de la riqueza disponible en T mediante la Programación Dinámica.El estudio de estos casos es importante porque:1) simplifica el proceso de determinación de las funciones de utilidad "derivadas"; y,2) da validez a los modelos uniperiódicos basados en la maximización directa, en cada periodo, de la función de utilidad esperada, puesto que, en este caso, la utilidad esperada en el momento T coincidirá con la obtenida mediante la aplicación de los modelos multiperiódicos.

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[eng] The goal of this work is the study of Portfolio Revision Models. The investor wishing to hold a portfolio for more then one period needs to know the changes he must do in its composition in order to satisfy his objectives.The study of the different models we can apply to revise a portfolio enables us to classify them in two groups:1)	Uniperiod revision portfolio models2)	Multiperiod revision portfolio models On the assumption that the investor wishes to keep his portfolio during T periods, in the first group of models are included those considering that the investor behaves in each period as if he liquidated the portfolio at its end (myopic policy) and for this reason treat each one of these periods as a independent unit.Actually, these models are the traditional Portfolio Selection Models for only one period.In the second group are included true revision models since the T periods are treated as a whole and taking account of the fact that what happens in each period affects the rest.Specifically, into this group, we have developed the Model "Direct maximization of expected utility based on wealth in T". The investor's objective, in this case, is to maximize the expected utility at the portfolio liquidation moment (T). The utility function is supposed to be quadratic, potential or logarithmic and the portfolio can be constituted by N risky assets or by N risky assets plus one riskless asset.In each case, we have determined which must be the amount invested in each asset and in each decision point in order to reach the investor's objective.

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Tesis Doctorals - Departament - Matemàtica Econòmica, Financera i Actuarial

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Hacia una teoría de carteras desde el punto de vista de la revisión