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La Teoría de la Credibilidad y su aplicación a los seguros colectivos

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Universitat de Barcelona. Departament de Matemàtica Econòmica, Financera i Actuarial

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[spa] El objetivo de esta tesis doctoral es dar una visión sistemática y completa, en la medida de lo posible, de los distintos modelos propuestos dentro de la Teoría de la Credibilidad para el cálculo de las primas de riesgo individuales, así como las relaciones existentes entre ellos, sus ventajas e inconvenientes.El desarrollo de la Teoría de la Credibilidad se basa en agrupar las pólizas referentes a un mismo riesgo, con una serie de características comunes en un colectivo, al cual corresponde como a tal una determinada prima colectiva. Pero, a su vez, cada póliza tiene un conjunto de características específicas que la diferencian de las demás pólizas, características que en la mayoría de los casos son inobservables o de difícil cuantificación, pero que se deben tener en cuenta a la hora de calcular las primas de riesgo individuales.El término Credibilidad fue introducido en la ciencia actuarial como una medida de la creencia, de la importancia, que el actuario cree que debe ser dada a un cuerpo particular de experiencia con el objeto de elaborar una tarifa. El objetivo de la Teoría de la Credibilidad es estimar las primas de riesgo individuales basándose en la información disponible sobre la experiencia de reclamaciones de cada póliza, de tal manera qua las fórmulas de credibilidad obtenidas son una especie de medias ponderadas entre la prima colectiva del riesgo y la media empírica de las indemnizaciones pagadas por cada póliza.La Teoría de la Credibilidad surgió a principios del siglo XX, y en su formulación actual fue desarrollada en los años anteriores a la Primera Guerra Mundial. El motivo fue la presión que ejercieron algunas compañías, con un gran número de empleados y una baja siniestralidad, para que se les reconociera estos hechos en el importe de las primas a pagar.MOWBRAY, A. (1914) planteó en el contexto de los seguros de compensación obrera la cuestión de cuántos asegurados, cubiertos por el mismo contrato, son necesarios para tener una estimación completamente creíble del ratio de la prima basada en la experiencia individual de un empleado, que pueda servir como prima para el próximo año.Dicho autor calculó, con un modelo matemático relativamente simple, el número de asegurados cubiertos por el mismo contrato requeridos para tener una estimación segura (creíble) de la prima pura verdadera, y su solución fue interpretada como un estándar (una norma) para conseguir una credibilidad completa o credibilidad total.MOWBRAY, A. no fue el único actuario que se preocupó de hallar cuál era el tamaño necesario de una experiencia de seguros para poder alcanzar una credibilidad completa, sino que muchos otros autores, entre ellos PERRYMAN, F. (1932) se ocuparon del tema.Una vez que el problema de la credibilidad completa estuvo bien definido, se planteó otro: cómo actuar cuando el número de asegurados fuese demasiado pequeño. A este problema se le conoce con el nombre de credibilidad parcial, ya que se trata de calcular el peso que se debe asignar a los nuevos datos frente a la experiencia de reclamaciones pasada, cuando tales datos no son lo suficientemente numerosos como para proporcionar una credibilidad completa. WHITNEY, A. (1918) fue uno de los primeros autores que se ocupó del tema, y estableció que en los seguros de compensación obrera, en los seguros de grupo, en algunos seguros de responsabilidad, y posiblemente en otros pocos tipos de seguros, el riesgo asegurado proporciona una experiencia de si mismo, esto es, las contingencias aseguradas ocurren con suficiente frecuencia cono para proporcionar información útil.Por ello, en los mencionados tipos de seguros, el problema de la tasación de la experiencia presenta la necesidad, desde el punto de vista de la equidad para el riesgo individual, de alcanzar un equilibrio entre la experiencia del grupo y la experiencia individual. Para WHITNEY, A., el problema fundamental residía en la obtención de un criterio que permitiese dar, a cada uno de los dos tipos de experiencia, su peso adecuado en la determinación de la prima a pagar por cada individuo. Las fórmulas del tipo indicado por WHITNEY se han denominado "fórmulas credibilísticas", y se han convertido en un elemento característico de la Teoría de la Credibilidad.El problema de la credibilidad parcial dio lugar múltiples discusiones entre los actuarios norteamericanos, así como a un número elevado de fórmulas para la determinación del factor de credibilidad, algunas de ellas casi inverosímiles. La Teoría de la Credibilidad ha tenido y tiene una gran relevancia práctica, de tal modo que los procedimientos credibilísticos empleados en las entidades aseguradoras precedieron a su justificación teórica. Como herramienta práctica es en gran parte invención de los actuarios norteamericanos, pero sus raíces provienen de la Teoría del Riesgo y de la estimación estadística.Aunque LONGLLEY-COOK, L. (1962) planteó ya la necesidad de un modelo matemático firme para desarrollar correctamente la Teoría de la Credibilidad no fue hasta 1965, en el coloquio de Astin, cuando se plantearon los verdaderos fundamentos teóricos de la misma, al presentar BÜHLMANN, H. su fórmula de credibilidad de distribución libre basada en el criterio de los mínimos cuadrados, que fue publicada en 1967.Desde la aparición del modelo de BÜHLMANN se han expuesto una gran variedad de modelos credibilísticos, que nosotros henos clasificado del siguiente modo: modelos clásicos, modelos de Regresión, modelos Semi-lineales y modelos Jerárquicos.Esta clasificación no sigue estrictamente el orden cronológico de aparición de los modelos, sin embargo a nuestro entender da una visión clara  de las interrelaciones que existen entre los modelos, dentro de cada grupo, y entre los distintos grupos.En el Capítulo II de este trabajo, hemos analizado los modelos que hemos denominado "Modelos Clásicos", que son el Modelo de BÜHLMANN y el Modelo de BÜHLMANN-STRAUB. El término "clásico" lo hemos utilizado para indicar que estos dos modelos fueron los dos primeros que aparecieron como tales, y al mismo tiempo sentaron las bases para la aparición de los demás modelos credibilísticos. Se trata de dos modelos de tiempo homogéneo, aunque el segundo con observaciones ponderadas.En el Capítulo III, hemos analizado los Modelos de Regresión, que incluyen el Modelo de Regresión de HACHEMEISTER y el Modelo de Regresión No-Lineal de De VYLDER, siendo el segundo una generalización del primero. Estos dos modelos constituyen una de las vertientes en la cual se ha desarrollado la Teoría de la Credibilidad desde la aparición de los modelos clásicos, y la henos denominado Modelos de Regresión pues, como su propio nombre indica, uno de sus elementos característicos es la utilización de la técnica de regresión para el cálculo de los estimadores de credibilidad, junto con el completo abandono de la hipótesis de homogeneidad en el tiempo.En el Capítulo IV hemos analizado las Modelos Semilineales, ambos propuestos por De VYLDER, F. (1976), que son respectivamente el Modelo Semilineal y el Modelo Semilineal Óptimo. Estas dos modelos se hallan en la misma línea que el Modelo de BÜHLMANN, en cuanto que siguen asumiendo la hipótesis de homogeneidad en el tiempo, aunque ya no utilizan directamente los datos de la experiencia de reclamaciones sino que los transforman previamente a través de unas funciones.En el Capítulo V hemos analizado los Modelos Jerárquicos, que engloban al Modelo Jerárquico de JEWELL, el Modelo Jerárquico con múltiples niveles, el Modelo de Regresión Jerárquico de SUNDT y el Modelo de Regresión Jerárquico con múltiples niveles.Bajo la denominación de Modelos Jerárquicos hemos englobado aquellos modelos en los cuales cada póliza ya no viene caracterizada por un único parámetro de riesgo, sino que por tantos como niveles se hayan considerado dentro de la cartera. Esta vertiente fue iniciada por JEWELL, W. (1975), cuyo modelo aparece paralelamente al Modelo de Regresión de HACHEMEISTER.En cuanto al análisis de cada una de los modelos credibilísticos, nos hemos centrado principalmente en el estudio de las hipótesis asumidas en cada uno de ellos, así como en los problemas de estimación que se presentan tanto a la hora de obtener los estimadores ajustados de credibilidad como en la obtención de los estimadores de los parámetros estructurales. A su vez, hemos comparado los distintos modelos, y henos indicado las relaciones y diferencias existentes entre ellos, en lo referente a las hipótesis asumidas y a las consecuencias que se desprenden de los mismos.Una vez analizados los modelos de credibilidad, el siguiente paso, en el Capítulo VI, ha sido aplicar algunos de los modelos expuestos, para prever la prima de riesgo que deberá pagar el próximo año una entidad bancaria, que consta de veinticinco sucursales y que ofrece a sus Clientes, desde hace cuatro años, un seguro totalmente gratuito a cobrar en caso de muerte, que tiene contratado con una entidad aseguradora.La entidad aseguradora dispone de información respecto al montante global de las indemnizaciones que se han ido pagando en cada uno de los cuatro años de vigencia del seguro, y puede acceder a la misma desglosada por sucursales y años de ocurrencia. Al disponer cada sucursal de su propia experiencia de reclamaciones, la vamos a utilizar para estimar su prima de riesgo individual para el próximo año. Una vez estimadas las primas de riesgo individuales para cada una de las sucursales, la prima de riesgo total a pagar por parte de la entidad bancaria la obtendremos sumando las veinticinco primas de riesgo individuales.A la entidad aseguradora le interesará aplicar aquel modelo de credibilidad que le proporcione la prima total a cobrar y que mejor se adecue al caso estudiado, siendo éste el objetivo último de esta aplicación práctica.Para prever las primas de riesgo individuales hemos aplicado el Modelo de BÜHLMANN, el Modelo de BÜHLMANN-STRAUB, el Modelo Semilineal de DE VYLDER, el Modelo de Regresión de HACHEMISTER, el Modelo Jerárquico de JEWELL y el Modelo de Regresión Jerárquico de SUNDT.Para obtener los resultados numéricos a través de los cuatro primeros modelos, hemos contado con la ayuda de las funciones elaboradas en el lenguaje de programación APL, por STIERS, D.; GOOVAERTS, M. y De KERF, J. (1987), denominadas BÜHLMANN, BÜHLMANNSTRA, SEMILINEAR y HACHEMEISTER respectivamente, mientras que para los dos últimos modelos hemos tenido que elaborar nuestras propias funciones, también en APL, que hemos denominado JEWELL y SUNDT, ya que no tenemos conocimiento de ningún programa informático a tal efecto. No nos hemos limitado a obtener los resultados numéricos, sino que en cada modelo henos comentado sus ventajas e inconvenientes, así como las diferencias existentes entre ellos, y su adecuación o no al caso estudiado.

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[eng] The objective of this dissertation is to give a systematic and complete vision of the different credibility theory models used to calculate individual risk premiums, as well as the relations between the different models and their advantages and disadvantages.Credibility Theory arose at the early 20th century and its present formulation was developed in the previous years to the First World War. Credibility Theory, as a practical tool, is originally an invention of some North American actuaries, but takes its roots from Risk Theory and Statistical Estimation.The term "credibility" was introduced in actuarial science as a measure of the belief or the importance that actuaries give to a particular part of experience in order to fix a rate. The objective of Credibility Theory is the estimation of too individual risks premiums based on the available information about the experience of claims of each instance policy, in such a way that the obtained credibility formulae are like a weighted mean between collective risk premium and the empiric mean of the paid compensation for every policy.LONGLEY-COOK, L. (1962) planed the need of a solid mathematic model to develop accurately the Credibility Theory, but it was not until Astin Colloquium (1955) that the veritable theoretic basis of Credibility Theory was established, where BÜHLMANN, H. presented his free distribution credibility formulae based in the least square criteria.Since appearance of BÜHLMANN model, others models were published. We have clasificated these models of this way: Classics Models, Regression Models, Semi linear Models and Hierarchical Models. Inasmuch as the analysis of every credibilitic model, mainly studied too assumed hypothesis on every model, as soon as the estimation problems appeared in the calculation of adjusted credibility estimadors and the calculation of structural parameter estimadors. At the same time, we have compared the different models, and we have indicated the relations and the differences between them.

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Tesis Doctorals - Departament - Matemàtica Econòmica, Financera i Actuarial

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La Teoría de la Credibilidad y su aplicación a los seguros colectivos