# metadata.dc.description[].value
Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2026, Director: Carlos D’Andrea

# metadata.dc.description.abstract[].value
[ca] En aquest treball es presenta una demostració del teorema de Pourchet. El teorema de Pourchet afirma que qualsevol polinomi a coeficients racionals no negatiu es pot escriure com a suma de 5 quadrats de polinomis a coeficients racionals. Per poder demostrar aquest resultat tal com ho feu Pourchet, cal estudiar dos constructes matemàtics. El primer, són els cossos p-àdics, que s’introduiran com a complecions de Q\mathbb{Q}Q pels valors absoluts p-àdics. El segon, són les formes quadràtiques, que s’estudiaran primerament sobre un cos qualsevol i seguidament sobre els cossos p-àdics. Fent ús del principi local-global de teoria de nombres, traslladarem els resultats obtinguts sobre els cossos p-àdics als racionals. D’aquesta manera, tots els resultats presentats al llarg del treball convergeixen a la prova del teorema de Pourchet. Paraules clau: cossos p-àdics, formes quadràtiques, polinomis, principi local-global, teorema de Pourchet, valor absolut.

[en] In this project we present a proof of Pourchet’s theorem, which states that any non-negative polynomial with rational coefficients can be expressed as a sum of five squares of polynomials with rational coefficients. In order to prove this theorem as Pourchet did, two mathematical frameworks are studied. The first one is p-adic fields, which will be introduced as completions of Q\mathbb{Q}Q with respect to the p-adic absolute values. The second one is the quadratic forms, which are at first developed over an arbitrary field and subsequently over the p-adic fields. Using the local-global principle in number theory, the results obtained over the p-adic fields are translated over the rational numbers. In this way, all the results presented along the project will lead to a proof of Pourchet’s theorem.

# metadata.dc.rights[].value
cc by-nc-nd (c) Caterina Llauradó Pladellorens, 2026

# metadata.dc.source[].value
Treballs Finals de Grau (TFG) - Matemàtiques