# name
Abelian Varieties of GLn-type and Galois Representations

# metadata.dc.contributor.other[].value
Universitat de Barcelona. Departament de Matemàtiques i Informàtica

# metadata.dc.description.abstract[].value
[eng] In this thesis, the artimetic properties of abelian manifolds are considered in relation to their algebras of endomorphisms. More precisely, we study the good reductions of an abelian manifold defined over a field of numbers, as well as those of associated Galois representations. We also give some results of modularity of abelian manifolds with respect to modular Siegel forms. Chapter 1 gives some definitions and preliminary results on simple algebras and abelian manifolds. The work itself begins with Chapter 2, where we study the immersions of simple algebras. We have placed special emphasis on characterizing the existence of an immersion between two simple algebras. We give a specialization of a Chia-Fu Yu criterion for algebras on global and local bodies, which plays an important role in Chapters 3, 5 and 7. Chapter 3 studies the properties of abelian manifolds defined on finite fields under the hypothesis that the algebra of endomorphisms is noncommutative. We focus on classifying the 4-abelian manifolds with quaternionic multiplication. We prove the following result: an abelian manifold over a field of numbers with noncommutative endomorphisms is a non-simple modulus all first out of a finite set. This statement generalizes the analogous result for the so-called "false elliptical curves", and makes one of the directions of the Murty and Patankar Conjecture more precise. On the other hand, we also give an example of a 4-abelian manifold with exactly two geometrically simple reductions. In Chapter 4, we begin the description of Galois representations associated with abelian manifolds with some non-integer endomorphism. We describe the irreducible components of the Tate modulus in terms of the algebra of endomorphisms, and prove that Galois representations take values in a form of the algebraic group GLn. We also explain the nature of Weil's pairing in these irreducible components, which depends on the Albert type of the algebra of endomorphisms. Chapter 5 is based on a joint work with F. Fité and X. Guitart. We define the notion of genuinely GLn-type abelian manifold, generalizing the GL2-type abelian manifolds without potential complex multiplication considered by Ribet. The system of representations associated with these manifolds has the property of being absolutely irreducible when making a change of basis to a finite extension. We give a theory of building blocks for these varieties. Under a certain technical hypothesis, we also define the inner twists and the character of an abelian variety, called Nebentipus. We characterize the manifolds with symplectic or orthogonal Galois representation, which we genuinely call GSpn or GOn type, respectively. In this way, we extend the class of abelian varieties with such representations given earlier by Banaszak, Gajda and Krasoń. Finally, we show that a genuinely GL4 type abelian manifold is Siegel's modular if and only if it is genuinely GSp4 type. In Chapter 6 we construct a GL4 family of building blocks. These are given by the Jacobian women of certain curves of genus 2 with a Richelot isogeny in their Galois conjugates. Under certain conditions, Weil's constraint gives us examples of 4-abelian manifolds genuinely of type GSp4. The family includes examples of images of Galois representations in GSp4 and non-trivial Nebentype. Chapter 7 is based on a joint work with A. Pacetti. It deals with Galois representations associated with abelian k-manifolds. One of the main points is that we do not assume that all endomorphisms of the manifold are defined on the base field. We give a procedure to construct a representation of the absolute Galois group of k associated with a k-abelian manifold. In addition, we give some results on the induced Weil pairing to these representations. As an application, we demonstrate that abelian surfaces over Q with potential quaternionic multiplication are Siegel modulars.

# metadata.dc.description.abstract[].value
[cat] En aquesta tesi es consideren les propietats artimètiques de les varietats abelianes en relació amb les seves àlgebres d'endomorfismes. Més precisament, estudiem les reduccions bones d'una varietat abeliana definida sobre un cos de nombres, així com les de representacions de Galois associades. També donem alguns resultats de modularitat de varietats abelianes respecte de formes modulars de Siegel. El Capítol 1 dona algunes definicions i resultats preliminars sobre àlgebres simples i varietats abelianes. El treball pròpiament dit comença amb el Capítol 2, on estudiem les immersions d'àlgebres simples. Hem fet un èmfasi especial en caracteritzar l'existència d'una immersió entre dues àlgebres simples. Donem una especialització d'un criteri de Chia-Fu Yu per a àlgebres sobre cossos globals i locals, que pren un paper important en els Capítols 3, 5 i 7. El Capítol 3 estudia les propietats de les varietats abelianes definides sobre cossos finits sota la hipòtesi que l'àlgebra d'endomorfismes és no commutativa. Ens centrem en classificar les 4-varietats abelianes amb multiplicació quaterniònica. Demostrem el següent resultat: una varietat abeliana sobre un cos de nombres amb endomorfismes no commutatius és no simple mòdul tot primer fora d'un conjunt finit. Aquest enunciat generalitza el resultat anàleg per a les anomenades "corbes el·líptiques falses", i fa més precisa una de les direccions de la Conjectura de Murty i Patankar. D'altra banda, també donem un exemple d'una 4-varietat abeliana amb exactament dues reduccions geomètricament simples. Al Capítol 4, comencem la descripció de les representacions de Galois associades a varietats abelianes amb algun endomorfisme no enter. Descrivim les components irreductibles del mòdul de Tate en termes de l'àlgebra d'endomorfismes, i provem que les representacions de Galois prenen valors en una forma del grup algebraic GLn. També explicitem la natura de l'emparellament de Weil en aquestes components irreductibles, que depèn del tipus d'Albert de l'àlgebra d'endomorfismes. El Capítol 5 es basa en un treball conjunt amb F. Fité i X. Guitart. Hi definim la noció de varietat abeliana genuïnament de tipus GLn, tot generalitzant les varietats abelianes de tipus GL2 i sense multiplicació complexa potencial considerades per Ribet. El sistema de representacions associat a aquestes varietats té la propietat de ser absolutament irreductible al fer un canvi de base a una extensió finita. Donem una teoria de building blocks per a aquestes varietats. Sota certa hipòtesi tècnica, definim també els inner twists i el caràcter d'una varietat abeliana, anomenat Nebentipus. Caracteritzem les varietats amb representació de Galois simplèctica o ortogonal, que anomenem genuïnament de tipus GSpn o GOn, respectivament. D'aquesta manera, ampliem la classe de varietats abelianes amb tals representacions donada anteriorment per Banaszak, Gajda i Krasoń. Finalment, demostrem que una varietat abeliana genuïnament de tipus GL4 és modular de Siegel si i només si aquesta és genuïnament de tipus GSp4. Al Capítol 6 construïm una família de building blocks de tipus GL4. Aquests venen donats per les Jacobianes de certes corbes de gènere 2 amb una isogènia de Richelot a les seves conjugades de Galois. Sota certes condicions, la restricció de Weil ens dona exemples de 4-varietats abelianes genuïnament de tipus GSp4. La família inclou exemples de representacions de Galois amb imatge a GSp4 i Nebentipus no trivial. El Capítol 7 està basat en un treball conjunt amb A. Pacetti. S'hi tracten les representacions de Galois associades a k-varietats abelianes. Un dels punts principals és que no assumim que tots els endomorfismes de la varietat estan definits sobre el cos base. Això permet tractar varietats abelianes potencialment de tipus GLn. Donem un procediment per a construir una representació del grup absolut de Galois de k associada a una k-varietat abeliana. A més, donem alguns resultats sobre l'aparellament de Weil induït a aquestes representacions. Com a aplicació, demostrem que les superfícies abelianes sobre Q amb multiplicació quaterniònica potencial són modulars de Siegel.

# metadata.dc.source[].value
Tesis Doctorals - Departament - Matemàtiques i Informàtica

# metadata.dc.title[].value
Abelian Varieties of GLn-type and Galois Representations