Rational and Delta expansions of the Nilpotent Minimum Logic

Abstract

[eng] The aim of this thesis is to study some expansions of the Nilpotent minimum logic (denoted by NML), focusing on their lattices of axiomatic and finitary extensions and, additionally, exploring the structural completeness of these logics, alongside their variants (active structural completeness, passive structural completeness, ... ). The project includes research about the rational Nilpotent minimum logic (designated by RNML), which is obtained by adding rational constants to the language of NML. Moreover, we also study the Δ-core fuzzy logic obtained by expanding the language of NML with the Baaz Delta connective and examine the impact of the incorporation of rational constants to the language of this logic (which is equivalent to the addition of the Baaz Delta connective to RNML). The thesis culminates with the corresponding analysis of an extension of the later logic which is obtained by introducing bookkeeping axioms for the Δ operator, motivated by the aim for the algebra of constants to form a subalgebra. In the project, through comparative analysis, the differences and similarities between the lattices of axiomatic and finitary extensions among the previously mentioned expansions are evaluated, as well as how the structural completeness results obtained may vary from one logic to another.

[spa] El objetivo de esta tesis es estudiar algunas expansiones de la lógica del Nilpotente mínimo (denotada por NML), centrándonos en sus retículos de extensiones axiomáticas y finitas y, además, explorando la completitud estructural de estas lógicas, junto con sus variantes (completitud estructural activa, completitud estructural pasiva, ...). El proyecto abarca la lógica racional del Nilpotente mínimo (designada por RNML), que se obtiene añadiendo constantes racionales al lenguaje de NML. También se estudia la lógica fuzzy Δ-core obtenida mediante la expansión del lenguaje de NML con el operador Delta de Baaz, y se examina el impacto de la incorporaci´on de constantes racionales al lenguaje de esta lógica (lo que equivale a añadir el operador Delta de Baaz a RNML). La tesis culmina con el correspondiente análisis de una extensión de la ´ultima lógica presentada, resultante de la introducción de bookkeeping axioms para el operador Δ, motivada por el objetivo de que el álgebra de constantes forme una subálgebra. En el proyecto, a través de un análisis comparativo, se evalúan las diferencias y similitudes entre los retículos de extensiones axiomáticas y finitas de las distintas expansiones mencionadas anteriormente, así como la forma en que varían los resultados de completitud estructural de una lógica a otra.

[cat] L’objectiu d’aquesta tesi és estudiar algunes expansions de la lògica del Nilpotent mínim (denotada per NML), centrant-nos en els seus reticles d’extensions axiomàtiques i finites i, a més, explorant la completitud estructural d’aquestes lògiques, juntament amb les seves variants (completitud estructural activa, completitud estructural passiva, ...). El projecte abasta la lògica racional del Nilpotent mínim (designada per RNML), que s’obté afegint constants racionals al llenguatge de NML. També s’estudia la lògica fuzzy Δ-core obtinguda mitjançant l’expansió del llenguatge de NML amb l’operador Delta de Baaz, i s’examina l’impacte de la incorporació de constants racionals al llenguatge d’aquesta lògica (el que equival a afegir l’operador Delta de Baaz a RNML). La tesi culmina amb l’anàlisi corresponent d’una extensió de l'última lògica presentada, que resulta de la introducció de bookkeeping axioms per a l’operador Δ, motivada per l’objectiu que l'àlgebra de constants formi una subàlgebra. En el projecte, mitjançant una anàlisi comparativa, s’avaluen les diferències i similituds entre els reticles d’extensions axiomàtiques i finites de les diferents expansions esmentades anteriorment, així com la manera com varien els resultats de completitud estructural d’una lògica a una altra.