Superconvergence of weighted Birkhoff averages for quasiperiodic orbits

Abstract

A quasiperiodic trajectory $\left(x_n\right) \subset X_0$, where $X_0$ is a $d$-dimensional differentiable manifold, is characterised by a diffeomorphism $h: \mathbb{T}^d \rightarrow X_0$ and an irrational vector $\rho \in \mathbb{R}^d$ such that $x_n=h(n \rho(\bmod 1))$. We will see that $\rho$ and the Fourier coefficients of $h$ can be expressed as a limit of a Birkhoff average, i.e. an average over a certain function along the trajectory $\left(x_n\right)$. The Birkhoff Ergodic Theorem provides us the convergence of these averages $B_N(f):=\sum_{n=0}^{N-1} f\left(x_n\right) / N$ to the space average as $N \rightarrow \infty$.

Sad to say this convergence is slow. The main goal of this work is to show that if we modify the Birkhoff average by weighting each term such that the early and late terms of the set $\{0, \ldots, N-1\}$ are weighted much less than the terms with $n \sim N / 2$ in the middle, the weighted average converges far faster to the space average. Hence, this numerical technique will allow us to obtain efficient numerical computation of $\rho$ and $h$ for quasiperiodic systems. This work is based on the research of S. Das, Y. Saiki, E. Sander and J. Yorke.

Our work proceeds as follows: Chapter 1 presents the formal definition of quasiperiodicity, Chapter 2 explains the necessary concepts for stating the Birkhoff Ergodic Theorem, Chapter 3 provides a detailed description of the superconvergence numerical technique of the weighted Birkhoff averages, and the last chapters show how this method applies to compute $\rho$ and $h$ alongside numerical examples.

Una trajectòria quasiperiòdica $\left(x_n\right) \subset X_0$, on $X_0$ és una varietat diferencial $d$-dimensional, es caracteritza per un difeomorfisme $h: \mathbb{T}^d \rightarrow X_0$ i un vector irracional $\rho \in \mathbb{R}^d$ tal que $x_n=h(n \rho(\bmod 1))$. Al llarg del treball, veurem que $\rho$ i els coeficients de Fourier de $h$ es poden expressar com un límit d'una mitjana de Birkhoff, és a dir, una mitjana sobre una determinada funció al llarg de la trajectòria $\left(x_n\right)$. El Teorema Ergòdic de Birkhoff ens proporciona la convergència d'aquestes mitjanes $B_N(f):=\sum_{n=0}^{N-1} f\left(x_n\right) / N$ a la mitjana espacial quan $N \rightarrow \infty$.

Malgrat tot, aquesta convergència és lenta. L'objectiu principal d'aquest treball és demostrar que si modifiquem la mitjana de Birkhoff ponderant cada terme de manera que els termes inicials i finals del conjunt $\{0, \ldots, N-1\}$ tinguin una importància inferior que els termes amb $n \sim N / 2$ al mig, la mitjana ponderada convergeix molt més ràpid a la mitjana espacial. Per tant, aquest mètode numèric ens permetrà obtenir una bona approximació de $\rho$ i $h$ per a sistemes quasiperiòdics. Aquest treball es basa en la recerca de S. Das, Y. Saiki, E. Sander i J. Yorke.

El nostre treball procedeix de la següent manera: el Capítol 1 conté la definició formal de quasiperiodicitat, el Capítol 2 explica els conceptes necessaris per enunciar el Teorema Ergòdic de Birkhoff, el Capítol 3 proporciona una descripció detallada del mètode numèric de superconvergència de les mitjanes ponderades de Birkhoff i els darrers capítols mostren com s'aplica aquest mètode per calcular $\rho$ i $h$ juntament amb exemples numèrics.