Estudio de los cuerpos algebraicamente cerrados desde la teoría de modelos

Abstract

Este trabajo tiene como objetivo estudiar, desde la teoría de modelos, algunos aspectos que hemos visto en asignaturas de la rama del álgebra. Especialmente, busca estudiar la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados. Para ello, se divide en tres capítulos diferentes. El primero, Definiciones previas, únicamente define varios conceptos que se utilizarán a lo largo del trabajo que el lector debe conocer. Estos ya han sido introducidos en la asignatura de Lógica matemática, por lo que no se ahondará mucho en ellos. En el segundo capítulo, llamado Nociones de teoría de modelos, se utilizan las definiciones del capítulo anterior para introducir la mayoría de conceptos de la teoría de modelos que se usarán en el trabajo. También se demuestran los resultados más generales, sin que estos sean aplicados, de momento, a ninguna teoría en particular. Finalmente, en Aplicación en teoría de cuerpos, se muestra cómo podemos aplicar los conceptos y resultados vistos en los capítulos anteriores en el estudio de la teoría de cuerpos y, más especialmente, en la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados. Se ve, así, que muchos de los conceptos que se estudian normalmente desde el álgebra, pueden definirse y estudiarse también desde la rama de la lógica y, que esto, puede ayudar a comprender varios resultados no vistos en las asignaturas de álgebra del grado.

This project aims to study, from Model Theory, some aspects that we have seen in subjects from the algebra branch. In particular, it attempts to study the algebraically closed fields theory. For this purpose, it is divided into three different chapters. The first one, Previous definitions, is the shortest of the three and merely defines several concepts that will be used during the project and that the reader must know in order to be able to understand it. These concepts have already been introduced in different subjects, especially in Mathematical Logic, so we will not go into them in depth. In the second chapter, called Notions of Model Theory, the definitions from the previous one are used to introduce several concepts from Model Theory. More general results are also demonstrated, without these being applied, for the moment, to any particular theory. Finally, in Application in field theory, it is shown how we can apply all the concepts and results seen in the previous chapters, in the study of field theory and, more especially, in algebraically closed fields theory. It is thus shown that many of the concepts that are normally studied from algebra can also be defined and studied from the logic branch, and that these definitions help to understand several results not seen in the degree subjects.