Determinació de corbes planes a partir dels punts discriminants

Abstract

Aquest treball es basa en l'article Recovery of Plane Curves from Branch Points d'Agostini et al. Ago+23]. En aquest article, es considera la projecció d'una corba plana projectiva sobre $\mathbb{P}^1$ des d'un punt. Aquesta aplicació es pot veure com un revestiment ramificat de $\mathbb{P}^1$. Es demostra que, si se'n coneixen els punts discriminants, és possible determinar certs aspectes de la corba original. Nogensmenys, els punts discriminants no determinen de manera única la corba original. En particular, hi ha un subgrup $\mathcal{G}$ de $\operatorname{PGL}(3)$ que els deixa invariants. A més, no totes les corbes amb uns punts discriminants fixats pertanyen a la mateixa $\mathcal{G}$-òrbita.

L'objectiu d'aquest treball és identificar una corba en cada $\mathcal{G}$-òrbita donat un conjunt de punts discriminants. Per tal de fer-ho, definim una forma normal per a corbes planes projectives i demostrem que cada $\mathcal{G}$-òrbita conté exactament una corba en aquesta forma. Malgrat que això simplifiqui el problema, segueix sent difícil de resoldre explícitament. Per això, només donem la solució explícita en el cas de còniques. Per a corbes de grau més gran que dos, demostrem que el número de Hurwitz en el pla $\mathfrak{h}_d$, que correspon al nombre de $\mathcal{G}$-òrbites, és menor o igual que el número de Hurwitz clàssic $H_d$, que compta el nombre de revestiments ramificats abstractes. En particular, veiem que $\mathfrak{h}_3=H_3=40$ i que $\mathfrak{h}_4=120$, que és significativament més petit que $H_4=7528620$.

This project is based on Agostini et al.'s article Recovery of Plane Curves from Branch Points Ago+23]. We examine the projection of a plane curve in $\mathbb{P}^2$ from a point onto $\mathbb{P}^1$, which can be interpreted as a branched cover of the projective line. Given the branch points of this cover, it is possible to determine certain aspects of the original curve. However, the branch points alone do not uniquely determine the curve. Specifically, a non-empty subgroup $\mathcal{G}$ of the projective linear group PGL(3) preserves the branch points. Moreover, not all curves with a given set of branch points are in the same $\mathcal{G}$-orbit.

Our goal is to identify one representative curve in each $\mathcal{G}$-orbit given a set of branch points. To achieve this, we define a normal form for plane curves and show that each $\mathcal{G}$-orbit contains exactly one curve in this form. While this normalization simplifies the problem, finding explicit solutions remains challenging. Hence, we only do so for conics. For higher-degree curves, we prove that the plane Hurwitz number $\mathfrak{h}_d$, which is the number of $\mathcal{G}$-orbits, is always less than or equal to the classical Hurwitz number $H_d$, which corresponds to the number of abstract branched covers. In particular, we show that for curves of degree three, $\mathfrak{h}_3=H_3=40$ and that, for degree four curves, $\mathfrak{h}_4=120$, which is significantly less than the classical Hurwitz number $H_4=7528620$.