El criteri de Kummer per a la regularitat de primers

Abstract

Fermat's Last Theorem, written in 1637, states that the equation $x^n+y^n=z^n$ has no non-trivial solutions for integer $x, y, z$ and integer $n>3$. Fermat never wrote down the proof of this theorem, but he did prove the case for $n=4$ and that it was sufficient to prove the case for prime $n=p$. It was not until 1995 that Andrew Wiles proved the theorem.

During the first 200 years, there were various contributions to the proof, until the mid19th century when a paradigm shift occurred with Ernst Kummer. Kummer proved that the theorem was true in the case that $p$ does not divide the class number of $\mathbb{Q}\left(\zeta_p\right)$. He called primes satisfying this condition regular primes. I take this opportunity to mention that my colleague Pol Plans has proven this case in his work [6].

The case where $p$ is irregular has never been proven, as Wiles' proof does not continue Kummer's proof. Nevertheless, in this work, I prove a statement that Kummer himself already demonstrated, which is the following:

Teorema 0.1. Let $p$ be an odd prime and $B_1, \ldots, B_p$ be Bernoulli numbers. Then:

$$ p\left|h\left(\mathbb{Q}\left(\zeta_p\right)\right) \Longleftrightarrow p\right| B_j, \quad \text { for some } j=2,4, \ldots, p-3 . $$

To prove this theorem, I separate it into two double implications. These are:

$$ p\left|h\left(\mathbb{Q}\left(\zeta_p\right)\right) \Longleftrightarrow p\right| h^{-}\left(\mathbb{Q}\left(\zeta_p\right)\right) \Longleftrightarrow p \mid B_j, \quad \text { for some } j=2,4, \ldots, p-3 \text {. } $$

I prove both in theorem 7. The one that will take more work is the second. First, I prove a formula for the discriminant of a field in terms of the associated Dirichlet characters. Then, using the generalized Bernoulli numbers, I provide an expression for the relative class number $h^{-}$. Finally, with the help of $p$-adic numbers, fields, and functions, I find a modular $p$ equivalence between $h^{-}$and $B_j$, thus proving the second double implication. With all the work done, a new definition, and a couple of results that I do not prove, I also deduce the first, thus proving theorem 0.2 .

For a full understanding of this work, it is assumed that one has taken courses in arithmetic, algebraic structures, and algebraic equations. Additionally, it is recommended to have taken courses in algebraic methods in number theory and analytical methods in number theory. Nevertheless, in the first chapter, I provide a quick summary defining the necessary concepts to introduce the concepts of class number, ramified primes, and discriminant.

In the second chapter, I present Dirichlet characters and define the field associated with one or more Dirichlet characters. Finally, I conclude the chapter by proving the Conductor-Discriminant formula.

In the third chapter, I introduce the various Bernoulli numbers and find the value of the $L$ function at negative integers and also at 1 in terms of the Bernoulli numbers.

In the fourth chapter, I define $p$-adic fields, first defining valuations and non-Archimedean absolute values, and finally, using completions, I define the $p$-adic fields.

In the fifth chapter, I define the functions $\exp _p, \log _p,<>, H_p$, and $L_p$. These functions are defined in $p$-adic fields.

Finally, in the sixth and last chapter of the work, I prove Kummer's theorem using Kummer's congruences and the $L_p$ functions

L'últim teorema de Fermat escrit l'any 1637 afirma que l'equació $x^n+y^n=z^n$ no té solucions no trivials per a $x, y, z$ enters i $n>3$ enter. Fermat mai va deixar per escrit la demostració d'aquest teorema, però va demostrar el cas $n=4$ i que n'hi havia prou en demostrar el cas per $n=p$ primer. No va ser fins el 1995 que Andrew Wiles va demostrar el teorema.

Durant els primers 200 anys hi van haver diverses aportacions per a la demostració, fins a mitjans del segle XIX que es va produir un canvi de paradigma amb Ernst Kummer. Kummer va demostrar que el teorema era cert en el cas que $p$ no divideix el nombre de classes de $\mathbb{Q}\left(\zeta_p\right)$. Va anomenar primers regulars als que complien aquesta condició. Aprofito l'avinentesa per comentar que el meu company Pol Plans ha demostrat aquest cas al seu treball [6]

El cas que $p$ sigui irregular no s'ha demostrat mai, ja que la demostració de Wiles no continua la demostració de Kummer. Tot i això, en aquest treball demostro un enunciat que el mateix Kummer ja va demostrar, que és la següent:

Teorema 0.2. Sigui $p$ un primer senar i $B_1, \ldots, B_p$ nombres de Bernoulli. Aleshores són equivalents:

$$ p\left|h\left(\mathbb{Q}\left(\zeta_p\right)\right) \Longleftrightarrow p\right| B_j, \quad \text { per algun } j=2,4, \ldots, p-3 . $$ Per a la demostració d'aquest teorema ho separo en dues dobles implicacions. Aquestes són: $$ p\left|h\left(\mathbb{Q}\left(\zeta_p\right)\right) \Longleftrightarrow p\right| h^{-}\left(\mathbb{Q}\left(\zeta_p\right)\right) \Longleftrightarrow p \mid B_j, \quad \text { per algun } j=2,4, \ldots, p-3 . $$

Demostro les dues en el capítol 7. La que portarà més feina és la segona. Primer provo una fórmula pel discriminant d'un cos en funció dels caràcters de Dirichlet que tingui associats. A continuació amb els nombres de Bernoulli generalitzats dono una expressió per al nombre relativ de classes $h^{-}$. Finalment, amb ajuda dels nombres, cossos i funcions $p$-àdics trobo una equivalència mòdul $p$ entre $h^{-}$i $B_j$, provant així la segona doble implicació. Amb tota la feina feta, una nova definició i un parell de resultats que no demostro, dedueixo també la primera, demostrant així el teorema 0.2 .

Per a la plena comprensió d'aquest treball es suposa haver cursat les assignatures d'aritmètica, estructures algebraiques, equacions algebraiques. A més es recomana haver cursat mètodes algebraics en teoria de nombres i mètodes analítics en teoria de nombres. Tot i això, en el primer capítol faig un resum ràpid definint els conceptes necessaris per introduir els conceptes de nombre de classes, primers ramificats i discriminant.

En el segon capítol presento els caràcters de Dirichlet i defineixo el cos associat a un o diversos caràcters de Dirichlet. Finalment, acabo el capítol demostrant la fórmula del Conductor-Discriminant.

En el tercer capítol introdueixo els diversos nombres de Bernoulli i trobo el valor en els enters negatius i també en el 1 de la funció $L$ en funció dels nombres de Bernoulli.

En el quart capítol defineixo els cossos p-àdics, definint primer valoracions i valors absoluts no arquimedians, i finalment mitjançant complecions definir els cossos $p$-àdics.

En el cinquè capítol defineixo les funcions $\exp _p, \log _p,<>, H_p$, i $L_p$. Aquestes funcions estan definides en cossos $p$-àdics.