Teorema de Hahn-Banach

Abstract

El Teorema de Hahn-Banach és un dels pilars fonamentals de l’anàlisi funcional, una branca de les matemàtiques que estudia els espais vectorials amb estructura topològica. Aquest teorema, formulat inicialment per Hans Hahn el 1927 i ampliat posteriorment per Stefan Banach, proporciona una eina essencial per a l’extensió de funcionals lineals definits en subespais a tot l’espai vectorial sense augmentar-ne la norma. Aquesta propietat, aparentment senzilla, té implicacions profundes en l’anàlisi moderna, tant en matemàtiques pures com en àrees aplicades. El Teorema de Hahn-Banach sorgeix en un moment clau en el desenvolupament de les matemàtiques al segle XX. La seva formulació està profundament arrelada en la necessitat de construir fonaments sòlids per a l’anàlisi funcional, un camp emergent en aquell temps. Hans Hahn, conegut pel seu treball en topologia i anàlisi, va introduir aquest resultat en un article centrat en funcional lineals. Stefan Banach, un dels matemàtics més influents del segle XX, va generalitzar el resultat al context dels espais vectorials normats complexos. Aquest treball té com a objectiu explorar el Teorema de Hahn-Banach des de diverses perspectives. Primerament, es presenta el context teòric necessari per entendre el resultat, incloent conceptes bàsics sobre espais vectorials normats i funcionals lineals, aixı́ com altres resultats rellevants de l’anàlisi funcional com el Teorema de la Categoria de Baire, el Teorema de l’aplicació oberta i el Teorema de Banach-Steinhaus. Posteriorment, es detalla la demostració del teorema, tant en el cas real com en el complex, fent ús del Lema de Zorn com a eina principal. Finalment, es discuteixen algunes de les seves aplicacions. Les aplicacions del Teorema de Hahn-Banach són àmplies i abasten múltiples àrees de les matemàtiques i disciplines relacionades. En primer lloc, el Teorema de Separació permet dividir conjunts convexos en espais vectorials normats mitjançant hiperplans, una eina clau en optimització i teoria de jocs. En segon lloc, en teoria de conjunts, aquest teorema s’utilitza per demostrar resultats com l’existència de conjunts no mesurables de Lebesgue o per entendre la sorprenent Paradoxa de Banach-Tarski, que desafia la intuı̈ció geomètrica. Finalment, en teoria de jocs, constitueix la base matemàtica del Teorema Minimax de von Neumann, que assegura l’existència d’estratègies òptimes en jocs de suma zero. Aquestes aplicacions il·lustren la versatilitat i la potència d’aquest teorema, unificant conceptes diversos sota un marc teòric comú. Aixı́ doncs, amb aquest treball es vol donar una visió global del Teorema de Hahn-Banach, des de la seva formulació i demostració fins a les seves aplicacions més destacades. L’objectiu és destacar la seva importància dins l’anàlisi funcional i mostrar com connecta diferents àrees de les matemàtiques, convertint-se en una eina essencial tant en la teoria com en les aplicacions pràctiques.