Periodic boundary points for transcendental Fatou components

Abstract

[eng] This thesis is framed in the field of Complex Dynamics, which studies discrete dynamical systems generated by the iteration of holomorphic functions. More precisely, given a transcendent, integer or meromorphic function, we consider the discrete dynamical system generated by it. Then the complex plane is divided into two totally invariant sets: the Fatou set, where the dynamics are stable; and Julia's ensemble, its complement, where the dynamics are chaotic. The Fatou set is open and generally has infinite related components, called Fatou components, and they are periodic, pre-periodic, or wandering. One of the basic results in Complex Dynamics (demonstrated by Fatou and Julia for rational functions) is that the Julia set is the closure of the repulsing periodic points of the function. This result was generalized by Baker by integer functions, and by Baker, Kotus, and Lü by transcendent meromorphic functions. We note that, given an invariant Fatou component, then its boundary is an invariant closed subset of the Julia set. So, the next question arises naturally: given a meromorphic function, and it is a periodic Fatou component, are the periodic points dense at their boundary? Note that, although the periodic points are dense in the Julia set, a priori they could accumulate at the boundary from its complement, without being at the boundary For example, if the Fatou component is a rotation domain with a locally connected boundary, then there is no periodic point. However, F. Przytycki and A. Zdunik showed that, by rational functions, rotation domains (i.e. Siegel's disks and Herman's rings) are the only exceptions for which the periodic points are not dense at the boundary. In particular, they gave a positive answer to the previous question for attraction or parabolic basins of rational functions. The work of F. Przytycki and A. Zdunik already shows us that the answer to such an elementary question is far from simple. Indeed, an exhaustive study of the boundaries of such Fatou components (which may not be locally connected) is necessary, combining tools of dynamics, measurement theory and conformal analysis. In the particular case of simply connected attraction basins, the proof is based on the properties of the function at the boundary from the point of view of the theory of measurement and Lyapunov's exponents, as well as precise estimates of the distortion of the Riemann application and the finite Blaschke products in the unit circle, and Pesin's theory conforms. For components of Fatou not limited to transcendent functions, the situation is even more delicate, due to the presence of the essential singularity, and most of the above techniques cannot be applied. Moreover, since the boundary of the Fatou component is not compact, it is not compact, nor is the existence of periodic points on the boundary evident. In view of the above questions, and the existing previous work to understand the boundaries of transcendent Fatou components, the following conjecture naturally arises, which is a large open problem in transcendent dynamics. Let it be a meromorphic function, and let it be a simply connected periodic Fatou component, such that it is not univalent. Then, there is a periodic point on the border of such a component of Fatou. In addition, if it is an attractor or parabolic basin, or a doubly parabolic Baker domain, then the periodic points are dense at the boundary. This thesis should be understood as significant progress in proving the above conjecture. Indeed, we demonstrate the existence and density of periodic points at the boundary of Fatou components under very weak hypotheses in the postsingular set, together with additional results in relation to boundary dynamics, escape points and accessibility. During the thesis, new techniques have been demonstrated, such as estimates in the distortion of internal functions and Pesin's theory for transcendent functions.

[cat] Aquesta tesi s'emmarca en el camp de la Dinàmica Complexa, que estudia els sistemes dinàmics discrets generats per la iteració de funcions holomorfes. De manera més precisa, donada una funció transcendent, entera o meromorfa, considerem el sistema dinàmic discret generat per la mateixa. Llavors el pla complex es divideix en dos conjunts totalment invariants: el conjunt de Fatou, on la dinàmica és estable; i el conjunt de Julia, el seu complement, on la dinàmica és caòtica. El conjunt de Fatou és obert i en general té infinites components connexes, anomenades components de Fatou, i són periòdiques, pre-periòdiques, o errants. Un dels resultats bàsics en Dinàmica Complexa (demostrat per Fatou i Julia per a funcions racionals) és que el conjunt de Julia és la clausura dels punts periòdics repulsors de la funció. Aquest resultat va ser generalitzat per Baker per funcions enteres, i per Baker, Kotus i Lü per funcions meromorfes transcendents. Observem que, donada una component de Fatou invariant, llavors la seva frontera és un subconjunt tancat invariant del conjunt de Julia. Aleshores, la següent pregunta apareix de manera natural: donada una funció meromorfa, i sigui una component de Fatou periòdica, els punts periòdics són densos a la seva frontera? Notem que, tot i que els punts periòdics són densos al conjunt de Julia, a priori es podrien acumular a la frontera des del seu complement, sense estar a la frontera Per exemple, si la component de Fatou és un domini de rotació amb frontera localment connexa, llavors no hi ha cap punt periòdic. Tot i això, F. Przytycki i A. Zdunik van demostrar que, per funcions racionals, els dominis de rotació (i.e. discs de Siegel i anells de Herman) són les úniques excepcions per les quals els punts periòdics no són densos a la frontera. En particular, van donar una resposta positiva a la pregunta anterior per conques d'atracció o parabòliques de funcions racionals. El treball de F. Przytycki and A. Zdunik ja ens mostra que la resposta a una pregunta tan elemental és lluny de ser senzilla. En efecte, és necessari un estudi exhaustiu de les fronteres de tals components de Fatou (que poden no ser localment connexes), combinant eines de dinàmica, teoria de la mesura i anàlisi conforme. En el cas particular de conques d'atracció simplement connexes, la demostració es basa en les propietats de la funció a la frontera des del punt de vista de la teoria de la mesura i els exponents de Lyapunov, així com estimacions precises de la distorsió de l'aplicació de Riemann i els productes de Blaschke finits al cercle unitat, i teoria de Pesin conforme. Per a components de Fatou no acotades de funcions transcendents, la situació és encara més delicada, degut a la presència de la singularitat essencial, i la majoria de les tècniques anteriors no es poden aplicar. A més a més, com que la frontera de la component de Fatou no és compacta no és compacta, ni l'existència de punts periòdics a la frontera és evident. En vista de les preguntes anteriors, i el treball previ existent per entendre les fronteres de components de Fatou transcendents, sorgeix de manera natural la següent conjectura, que és un gran problema obert en dinàmica transcendent. Sigui una funció meromorfa, i sigui una component de Fatou periòdica simplement connexa, tal que no és univalent. Aleshores, existeix un punt periòdic a la frontera de tal component de Fatou. A més a més, si és una conca atractora o parabòlica, or un domini de Baker doblement parabòlic, llavors els punts periòdics són densos a la frontera. Aquesta tesi s'ha d'entendre com a un progrés significatiu en la demostració de la conjectura anterior. En efecte, demostrem l'existència i densitat de punts periòdics a la frontera de components de Fatou sota hipòtesis molt febles en el conjunt postsingular, juntament amb resultats addicionals en relació a la dinàmica a la frontera, punts d'escapament i accessibilitat. Durant la tesi s'han demostrat noves tècniques, tals com estimacions en la distorsió de funcions internes i teoria de Pesin per a funcions transcendents.