Large and iterated finite group actions on aspherical manifolds

Abstract

[eng] Finite transformation group theory investigates the finite symmetries of topological objects, such as manifolds or CW-complexes. In this thesis, we focus on actions on closed topological manifolds and adopt the following approach: instead of directly studying the action properties of a finite group G to a manifold M, we focus on the properties of action restricted to certain subgroups H of bounded index. Several problems align with this philosophy, such as determining whether the group of homeomorphisms of a manifold is Jordan, calculating the discrete degree of symmetry of a manifold, determining whether a manifold is quasi-asymmetric, and studying the number and size of isotropy subgroups for finite group actions on manifolds. In the first part of the thesis, we provide solutions to these problems for two general classes of manifolds, namely: (1) Closed, connected and aspherical manifolds, whose fundamental group has a group of external Minkowski automorphisms (a group G is Minkowski if there exists a constant C such that every finite subgroup H of G has order at most C). (2) Closed, connected and orientable manifolds that admit a non-zero degree application to a nilmanifold. We show that the group of external automorphisms of a lattice of a connected Lie group is Minkowski, which allows us to apply our results to locally homogeneous aspherical closed manifolds. In addition, we provide the earliest known examples of manifolds M and M' with isomorphic cohomology rings such that Homeo(M) is Jordan but Homeo(M') is not. We establish two stiffness results for the discrete degree of symmetry: if M is a closed, connected, aspherical manifold and the external automorphism group of the fundamental group of M is Minkowski, or if M admits a non-zero degree application to a nilmanifold and its fundamental group is virtually solvable, then M is homeomorphic to a torus if its discrete degree of symmetry is equal to the dimension of M. In the second part, we refine the concept of group actions to explore in greater depth the topological and cohomology rigidity of closed and connected manifolds. This framework allows us to analyze in more detail the structure of closed aspherical manifolds and those that admit a non-zero degree application to a nilmanifold. We define new invariants, such as the iterated length of a manifold, which is closely related to its self-coatings, and introduce a refined version of the discrete degree of symmetry, called the discrete degree of iterate symmetry. We show that if M is a closed, oriented manifold that admits a non-zero degree application to a nilmanifold of nilpotency class 2, and both manifolds have the same discrete degree of iterated symmetry, then the rational cohomology of M is isomorphic to that of the nilmanifold. Furthermore, if the fundamental group of M is virtually solvable, then M is homeomorphic to the nilmanifold. We also prove that if M is a locally homogeneous closed aspherical manifold with a discrete degree of iterated symmetry equal to its dimension, then M is homeomorphic to a nilmanifold of nilpotency class 2.

[cat] La teoria dels grups de transformació finits investiga les simetries finites d’objectes topològics, com ara varietats o CW-complexos. En aquesta tesi, ens centrem en les accions sobre varietats topològiques tancades i adoptem el següent enfocament: en lloc d’estudiar directament les propietats de l’acció d’un grup finit G a una varietat M, ens centrem en les propietats de l’acció restringida a certs subgrups H d’índex acotat. Aquest índex està controlat per una constant C que només depèn de M. Diversos problemes s’alineen amb aquesta filosofia, com per exemple determinar si el grup d’homeomorfismes d’una varietat és Jordan, el càlcul del grau discret de simetria d’una varietat, determinar si una varietat és quasi-asimètrica i l’estudi del nombre i la mida dels subgrups d’isotropia per a accions de grups finits sobre varietats. A la primera part de la tesi, proporcionem solucions a aquests problemes per a dues classes generals de varietats, concretament: (1) Varietats tancades, connexes i asfèriques, el grup fonamental de les quals té un grup d’automorfismes exteriors de Minkowski (un grup G és de Minkowski si existeix una constant C tal que tot subgrup finit H de G té ordre com a molt C). (2) Varietats tancades, connexes i orientables que admeten una aplicació de grau diferent de zero cap a una nilvarietat. Demostrem que el grup d’automorfismes externs d’un reticle d’un grup de Lie connex és Minkowski, cosa que permet aplicar els nostres resultats a varietats tancades asfèrics localment homogenis. A més, proporcionem els primers exemples coneguts de varietats M i M’ amb anells de cohomologia isomorfs tals que Homeo(M) és Jordan però Homeo(M’) no ho és. Establim dos resultats de rigidesa per al grau discret de simetria: si M és una varietat tancada, connexa, asfèrica i el grup d’automorfisme externs del grup fonamental de M és Minkowski, o si M admet una aplicació de grau no nul cap a una nilvarietat i el seu grup fonamental és virtualment resoluble, llavors M és homeomorfa a un tor si el seu grau discret de simetria és igual a la dimensió de M. A la segona part, refinem el concepte d’accions de grups per explorar amb més profunditat la rigidesa topològica i cohomològica de varietats tancades i connexes. Introduïm la noció d’acció iterada d’una col·lecció de grups finits sobre una varietat M. Aquest marc ens permet analitzar amb més detall l'estructura de les varietats asfèriques tancades i aquelles que admeten una aplicació de grau no nul cap a una nilvarietat. Definim nous invariants, com la longitud iterada d’una varietat, que està estretament relacionada amb els seus auto-revestiments, i introduïm una versió refinada del grau discret de simetria, anomenada el grau discret de simetria iterat. Demostrem que si M és una varietat tancada i orientada que admet una aplicació de grau no nul cap a una nilvarietat de classe de nilpotència 2, i ambdues varietats tenen el mateix grau discret de simetria iterat, aleshores la cohomologia racional de M és isomorfa a la de la nilvarietat. A més, si el grup fonamental de M és virtualment resoluble, llavors M és homeomorfa ala nilvarietat. També provem que si M és una varietat asfèrica tancada localment homogenia amb un grau discret de simetria iterat igual a la seva dimensió, aleshores M és homeomorfa a una nilvarietat de classe de nilpotència 2.