Dimensión de Krull y propiedad de "going-between" en una extensión de anillos

Abstract

[spa] DE LA TESIS:

La noción de "ideal primo" (Dedekind 1871) ha ido adquiriendo cada vez mayor importancia hasta ocupar, con la Teoría de Esquemas de Grothendieck el centro mismo del Algebra Conmutativa. El estudio de los anillos conmutativos se convierte así en el de los esquemas afines con base en espacios topológicos que son el espectro primo de un anillo conmutativo, correspondiéndose funtorialmente los homomorfismos de anillos A->B con morfismos de esquemas que inducen en los espacios base las aplicaciones continuas Spec B -> Spec A.

Un responsable fundamental en una parte de esta evolución es W. Krull (1899-1971). Señalemos algunos aspectos de su contribución únicamente desde el punto de vista de nuestro trabajo. A Krull se debe (en 1926) la definición de dimensión de un anillo como supremo de las longitudes de las cadenas de ideales primos de A asociando por primera vez el objeto geométrico Spec A al objeto algebraico A. Su famoso "Hauptidealsatz" hace que, en palabras de Northcott un anillo noetheriano deje de ser un pálido reflejo de un anillo de polinomios y convierte al conjunto ordenado Spec A en algo semejante al conjunto de subvariedades irreducibles de una variedad algebraica afín Spec A verifica la condición de cadena descendente en un sentido fuerte la altura de un ideal primo es finita entre dos ideales primos comparables no adyacentes existen infinitos ideales primos, etc. Más tarde Krull demuestra que si A es un anillo local regular h(P)+ch(P)=dim A para todo P Spec A

Pasamos a describir el contenido de la memoria en términos generales Un complemento de esta descripción son las introducciones a los tres capítulos de que consta así como los comenta nos intercalados en ellos. Se ha preferido prescindir de capítulo 0 y de enunciados de definiciones y resultados conocidos, salvo en contadas ocasiones bien especificadas. A cambio se citan con precisión todos los datos utilizados a riesgo de ser a veces un poco prolijos. El estudio de la propiedad de going-between ocupa los capítulos II y III de nuestra memoria El capítulo I es independiente de dicha propiedad y tiene como fin básico el cálculo de la dimensión de Krull en una extensión de anillos. Parte de los resultados son utilizados luego en los dos capítulos posteriores pero creemos que primordialmente son de interés por sí mismos. La motivación principal está en conseguir para una extensión ACB de anillos íntegros fórmulas que relacionen dim B con dim A y gr tr (A)B en las condiciones mas generales posibles. Tales fórmulas existen en la literatura solo cuando B es un anillo de polinomios ó una extensión entera aparte del clásico caso de las álgebras afines sobre un cuerpo El objetivo se logra de hecho de forma óptima con la única restricción de que A sea un anillo noetheriano.

Se comienza el capítulo I introduciendo lo que hemos llamado radical dimensional de un anillo y dando métodos de calculo de dicho ideal y también de la intersección de ciertas familias de idea les primos de un anillo noetheriano relacionadas con la dimensión. El radical dimensional aparece luego como la obstrucción a que la dimensión de Krull pueda expresarse para un anillo noetheriano cualquiera en términos del grado de trascendencia como ocurre con las álgebras afines sobre un cuerpo.

En el capítulo II se comienza el estudio de la propiedad de "going-between". Se define lo que llamamos GB-extensión A C B es una GB-extensión si la aplicación Spec B -> Spec A tiene la propiedad de "going-between". Tras el examen de las generalidades del caso se centra el interés en la relación entre GB-extensiones y las más simples GD-extensiones, definidas relativamente a la propiedad de "going-down". Se observa el papel de puente que van a jugar en ello los anillos de valoración a causa de la simplicidad de su espectro.

El capítulo III presenta los resultados de mayor interés (y sin duda los más complejos) en torno a la propiedad de "going-between". Se trata en definitiva de averiguar qué anillos noetherianos son GB(2)-anillos lamentablemente la condición se revela muy restrictiva por encima de la dimensión 3. Se abordan con diferentes métodos dos casos fundamentales anillos que son álgebras finitogeneradas y anillos de series formales.

Resulta obligado explicar la disparidad de los métodos empleados en las dos partes del capítulo III. La condición necesaria (III 1-1) es en principio de generalidad total, pero plantea a su vez un difícil problema (conjetura de Kaplansky-Hochster) cuando se puede asegurar que dos ideales primos de altura 2 contienen simultáneamente algún ideal primo de altura 1. Aunque en ciertos casos geométricos el problema aparece como "naif", existen contraejemplos al caso general y de hecho sólo recientemente se tienen datos positivos en anillos de polinomios (McAdam). Esto explica el largo y paciente peregrinaje que representan las demostraciones de las proposiciones (III 1-4) y (III 1-6) antes mencionadas y la forma de sus enunciados. Asimismo pone de manifiesto que el método no es aplicable a los anillos de series.

Finalmente digamos que los resultados obtenidos hacen pensar como improbable la existencia de GB(2)-anillos noetherianos de dimensión superior a 3 e incluso en éste último caso, un GB(2)-anillo aparece como algo muy semejante a un anillo henseliano.