Las representaciones de dimensión finita del grupo de Lorentz

Abstract

La teoría de representaciones y la teoría de Lie son dos ramas relativamente modernas de las matemáticas. A pesar de ello, han evolucionado rápidamente, y no hubo de transcurrir mucho tiempo desde los inicios de su desarrollo hasta que se empezaron a encontrar aplicaciones en física teórica. Nosotros presentaremos los conceptos básicos tanto de la teoría de representaciones, desarrollada principalmente por Ferdinand Gerog Frobenius e Issai Schur entre finales del siglo XIX y principios del XX, como de la teoría de Lie, ideada por Sophus Lie a finales del siglo XIX y extendida durante los años posteriores por diversos matemáticos como Wilhelm Killing y Elie Cartan. Una vez provistos con las herramientas necesarias, nos centraremos en el estudio de diversos grupos de Lie específicos, como SO(3) o SL(2, $\mathbb{C}$). Todo ello se hará con un objetivo en mente: encontrar las representaciones irreducibles de dimensión finita del grupo propio de Lorentz, SO$^{0}$ (1, 3), que es el grupo formado por las transformaciones de Lorentz, que describen el movimiento relativo de dos cuerpos de acuerdo con la teoría de la relatividad especial. He aquí la primera relación que hallamos con la física teórica. Pero no es la última, ya que estos resultados acaban dando pie a la obtención de la denominada ecuación de Dirac, cuyas soluciones son funciones de onda de partículas de spin $\frac{1}{2}$, como el electrón. Las páginas de este trabajo incluyen múltiples resultados de gran relevancia en sus campos; desde la unitarización de las representaciones de grupos finitos, cuya generalización para todo tipo de grupos compactos se conoce como unitarian trick, hasta la obtención de las representaciones de dimensión finita del grupo SU(2) mediante el espacio de polinomios homogéneos de dos variables como espacio de representación, debida a Hermann Weyl. Además, también contienen algo de trabajo propio como el cálculo de las matrices que actúan como coeficientes en la ecuación de Dirac.