Non-autonomous iteration in the unit disk

Abstract

[eng] In this project we deal with discrete holomorphic dynamical systems defined on the unit disk $D$, and we present the main results concerning the long-term behaviour of orbits. First, in the autonomous case, where a single self-map is iterated, the Denjoy-Wolff Theorem asserts that, unless the map is an elliptic automorphism, the iterates converge to a single point of $\overline{\mathbb{D}}$. Second, in the non-autonomous setting, we consider a sequence of holomorphic self-maps $f_n : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ fixing the origin, and study how the hyperbolic distance between two orbits evolves as $n \to \infty$. Only three behaviours are possible: the distance may tend to $0$ (contracting), tend to a positive limit that is never attained (semi-contracting), or become constant from some step onwards (eventually isometric); and which case occurs is determined by the derivatives $\alpha_n = |f_n'(0)|$.

[cat] En aquest treball tractem els sistemes dinàmics holomorfs discrets definits al disc unitat $\mathbb{D}$, i presentem els resultats principals sobre el comportament asimptòtic de les òrbites. En primer lloc, en el cas autònom, en què s’itera una sola aplicació, el teorema de Denjoy-Wolff afirma que, tret que l’aplicació sigui un automorfisme el·líptic, els iterats convergeixen a un únic punt de $\overline{\mathbb{D}}$. En segon lloc, en el context no autònom, considerem una successió d’aplicacions holomorfes $f_n : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ que fixen l’origen, i estudiem com evoluciona la distància hiperbòlica entre dues òrbites quan $n \to \infty$. Només són possibles tres comportaments: la distància pot tendir a $0$ (cas contractiu), tendir a un límit positiu que mai s’assoleix (cas semi-contractiu), o esdevenir constant a partir d’un cert punt (cas eventualment isomètric); i quin d’aquests té lloc queda determinat per les derivades $\alpha_n = |f_n'(0)|$.