Treballs Finals de Grau (TFG) - Matemàtiques

Permanent URI for this collectionhttps://hdl.handle.net/2445/31442

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques de la Facultat de Matemàtiques de la Universitat de Barcelona.

Statistics

Browse

Now showing 1 - 20 of 1036

Del joc de Hex al teorema de Jordan-Schönflies
(2026-06-10) Vilchez Costa, Àlex; Director xxx
[eng] This work demonstrates D. Gale’s Hex theorem, which is utilized to prove the Brouwer fixed-point theorem and, subsequently, the Jordan curve theorem following the approach of R. Maehara. Then, building primarily upon the works of R. H. Bing and S. S. Cairns, the Jordan–Sch¨onflies extension is achieved. This nexus between board games and abstract mathematics converges across disciplines such as graph theory, analysis, and, most notably, algebraic topology. [cat] En aquest treball es demostra el teorema de Hex de D. Gale, mitjançant el qual s’aconsegueix provar el teorema del punt fix de Brouwer i, a partir d’aquest, el teorema de la corba de Jordan seguint les idees de R. Maehara. Seguidament, recolzant-se sobretot en els treballs de R. H. Bing i S. S. Cairns, s’assoleix l’extensió de Jordan-Schönflies. Aquest nexe entre els jocs de taula i la matemàtica abstracta conflueix en disciplines com teoria de grafs, anàlisi i, sobretot, topologia algebraica.
Models causals estructurals i resultats potencials
(2026-06-10) Vilar Ramirez, Mario; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-; Vitrià i Marca, Jordi
[cat] Aquest treball presenta una introducció teòrica a la inferència causal. El fil del treball és la distinció entre associació i causalitat: les dades observacionals poden mostrar regularitats, però no determinen per si soles què passaria sota una intervenció ni què hauria passat en un escenari contrafactual. A partir d’aquesta motivació, i a través de les diferents capes de la jerarquia causal de Pearl, es desenvolupen els models causals estructurals de Pearl, les xarxes bayesianes causals, la d-separació i el problema de la identificació d’efectes causals. També s’estudia el model de resultats potencials de Neyman-Rubin, el problema fonamental de la inferència causal, els estimands més utilitzats i el paper del mecanisme d’assignació. El treball posa especial èmfasi en la connexió entre aquests dos llenguatges i en les condicions que permeten transformar una pregunta causal en una expressió estimable a partir de dades observacionals. Es distingeixen estudis experimentals i observacionals. Abans d’estudiar el cas de les admissions a Berkeley, s’estudien aquests algoritmes d’identificació i la paradoxa de Simpson. Mostrem com les inferències permeses depenen de la pregunta causal i del model assumit. [spa] Este trabajo presenta una introducción teórica a la inferencia causal. El hilo conductor del trabajo es la distinción entre asociación y causalidad: los datos observacionales pueden mostrar regularidades, pero no determinan por sí solos qué pasaría bajo una intervención ni qué habría pasado en un escenario contrafactual. A partir de esta motivación, y a través de las diferentes capas de la jerarquía causal de Pearl, se desarrollan los modelos causales estructurales de Pearl, las redes bayesianas causales, la d-separación y el problema de la identificación de efectos causales. También se estudia el modelo de resultados potenciales de Neyman-Rubin, el problema fundamental de la inferencia causal, los estimandos más utilizados y el papel del mecanismo de asignación. El trabajo pone especial énfasis en la conexión entre estos dos lenguajes y en las condiciones que permiten transformar una pregunta causal en una expresión estimable a partir de datos observacionales. Se distinguen estudios experimentales y observacionales. Antes de estudiar el caso de las admisiones en Berkeley, se estudian estos algoritmos de identificación y la paradoja de Simpson. Mostramos cómo las inferencias permitidas dependen de la pregunta causal y del modelo asumido. [eng] This work presents a theoretical introduction to causal inference. The common thread of the dissertation is the distinction between association and causation: observational data may show regularities, but they do not by themselves determine what would happen under an intervention or what would have happened in a counterfactual scenario. Based on this motivation, and through the different layers of Pearl’s causal hierarchy, we develop Pearl’s structural causal models, causal Bayesian networks, d-separation, and the problem of identifying causal effects. The Neyman-Rubin potential outcomes framework is also studied, along with the fundamental problem of causal inference, the most commonly used estimands, and the role of the assignment mechanism. The work places special emphasis on the connection between these two frameworks and on the conditions that allow transforming a causal question into an estimable expression from observational data. Experimental and observational studies are distinguished. Before studying the case of Berkeley admissions, these identification algorithms and Simpson’s paradox are studied. We show how the permitted inferences depend on the causal question and the assumed model.
Non-autonomous iteration in the unit disk
(2026-06-10) Velasco Solé, Teresa; Jové Campabadal, Anna
[eng] In this project we deal with discrete holomorphic dynamical systems defined on the unit disk $D$, and we present the main results concerning the long-term behaviour of orbits. First, in the autonomous case, where a single self-map is iterated, the Denjoy-Wolff Theorem asserts that, unless the map is an elliptic automorphism, the iterates converge to a single point of $\overline{\mathbb{D}}$. Second, in the non-autonomous setting, we consider a sequence of holomorphic self-maps $f_n : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ fixing the origin, and study how the hyperbolic distance between two orbits evolves as $n \to \infty$. Only three behaviours are possible: the distance may tend to $0$ (contracting), tend to a positive limit that is never attained (semi-contracting), or become constant from some step onwards (eventually isometric); and which case occurs is determined by the derivatives $\alpha_n = |f_n'(0)|$. [cat] En aquest treball tractem els sistemes dinàmics holomorfs discrets definits al disc unitat $\mathbb{D}$, i presentem els resultats principals sobre el comportament asimptòtic de les òrbites. En primer lloc, en el cas autònom, en què s’itera una sola aplicació, el teorema de Denjoy-Wolff afirma que, tret que l’aplicació sigui un automorfisme el·líptic, els iterats convergeixen a un únic punt de $\overline{\mathbb{D}}$. En segon lloc, en el context no autònom, considerem una successió d’aplicacions holomorfes $f_n : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ que fixen l’origen, i estudiem com evoluciona la distància hiperbòlica entre dues òrbites quan $n \to \infty$. Només són possibles tres comportaments: la distància pot tendir a $0$ (cas contractiu), tendir a un límit positiu que mai s’assoleix (cas semi-contractiu), o esdevenir constant a partir d’un cert punt (cas eventualment isomètric); i quin d’aquests té lloc queda determinat per les derivades $\alpha_n = |f_n'(0)|$.
L'equació d'ones: una guia per al jove matemàtic a l'orquestra
(2026-06-10) Vallès Martínez, Pau; Sanz Perela, Tomás
[eng] This bachelor’s thesis explores the mathematical foundations and physical applications of the wave equation as a fundamental tool for understanding the acoustics of orchestral instruments. The work is structured in three parts, progressing from the theory of partial differential equations (PDEs) to the mathematical modeling of musical instruments. First, the one-dimensional wave equation is introduced through its derivation from a vibrating string. Fundamental properties such as existence, uniqueness, stability, and the effects of friction are established, and classical solution methods including d’Alembert’s formula, separation of variables, and Duhamel’s principle are presented. Second, the study extends to higher dimensions using the Spectral Theorem for the Dirichlet Laplacian and Hilbert bases. Solutions on circular and spherical domains lead naturally to Bessel functions and spherical harmonics. The relationship between geometry and vibration spectra is examined through different boundary conditions and the inverse problem “Can one hear the shape of a drum?”. Finally, the theoretical framework is applied to three major families of orchestral instruments. Percussion instruments are modeled through membrane and beam vibrations, wind instruments through the wave equation and Webster’s horn equation, and string instruments through the classical model of a vibrating string with fixed endpoints. Overall, this work illustrates how advanced mathematical analysis connects abstract PDE theory with the physical mechanisms underlying musical sound production. [cat] Aquest treball final de grau explora els fonaments matemàtics i les aplicacions físiques de l’equació d’ones com a eina fonamental per a la comprensió de l’acústica dels instruments orquestrals. El treball s’estructura en tres parts, avançant des de la teoria de les equacions en derivades parcials (EDP) fins al modelatge matemàtic d’instruments musicals. En primer lloc, s’introdueix l’equació d’ones unidimensional a partir de la seva derivació des d’una corda vibrant. S’estableixen propietats fonamentals com l’existència, la unicitat, l’estabilitat i els efectes de la fricció, i es presenten mètodes clàssics de resolució, incloent-hi la fórmula d’Alembert, la separació de variables i el principi de Duhamel. En segon lloc, l’estudi s’estén a dimensions superiors mitjançant el teorema espectral del laplacià de Dirichlet i les bases de Hilbert. Les solucions en dominis circulars i esfèrics condueixen de manera natural a les funcions de Bessel i als harmònics esfèrics. La relació entre la geometria i l’espectre de vibració s’examina a través de diferents condicions de contorn i del problema invers “Es pot sentir la forma d’un tambor?”. Finalment, el marc teòric s’aplica a tres grans famílies d’instruments orquestrals. Els instruments de percussió es modelitzen mitjançant les vibracions de membranes i bigues, els instruments de vent mitjançant l’equació d’ones i l’equació de la trompa de Webster, i els instruments de corda mitjançant el model clàssic d’una corda vibrant amb extrems fixos. En conjunt, aquest treball il·lustra com l’anàlisi matemàtica avançada connecta la teoria abstracta de les EDP amb els mecanismes físics subjacents a la producció del so musical.
Estudi de fluxos i aplicacions 3D preservant volum: el sistema ABC
(2026-06-10) Ulloa Ruiz, Ferran; Vieiro Yanes, Arturo; Murillo López, Ainoa
[eng] This work begins by presenting basic theoretical notions about 3D flows, and some of the properties they can exhibit, such as chaos, 2D tori, and their role in dynamics. We will study the existence and effect of symmetries on the parameters and orbits of the ABC flow. Subsequently, we will construct a numerical method to visualize the orbits of the ABC flow by means of a Poincaré section. Next, we will address the transition from flows to 3D maps using Poincaré maps, as well as some of their characteristics, such as integrability, action-angle coordinates, and resonances. Finally, we will use a computer program to visualize the orbits of the ABC map for various parameter values through the use of slices. [cat] Aquest treball s’inicia presentant nocions teòriques bàsiques sobre els fluxos 3D, i algunes de les propietats que poden presentar com el caos, els tors 2D, i el seu paper en la dinàmica. Estudiarem l’existència i l’efecte de simetries en els paràmetres i les òrbites del flux ABC. Posteriorment, construirem un mètode numèric per poder visualitzar les òrbites del flux ABC mitjançant una secció de Poincaré. Seguidament, tractarem la transició de fluxos a aplicacions 3D mitjançant aplicacions de Poincaré, i certes de les seves característiques, com la integrabilitat, les coordenades acció-angle i les ressonàncies. Finalment, usarem un programa informàtic per visualitzar les òrbites de l’aplicació ABC per a diversos valors dels paràmetres mitjançant l’ús de les slices.
On Multidimensional Persistence
(2026-06-10) Trias Terol, Jan; D'Andrea, Carlos, 1973-
The main goal of this project is the study of Multidimensional Persistence. We begin by reviewing Persistent Homology, a well-studied tool in Topological Data Analysis that completely classifies filtered spaces through a discrete invariant, the barcode. We then discuss some recent advancements made in this field using Commutative Algebra, namely persistent ideals and a new (more powerful) barcode, introduced in [14]. Next, we carefully thread through Multidimensional Persistence theory, a generalization of Persistent Homology, that identifies multifiltrations with multigraded multivariate polynomial ring modules, stating a fundamental result (the Zomorodian-Carlsson correspondence, Theorem 3.5) and showing that, unlike the single-dimensional case, no complete discrete invariant exists for the multidimensional case. We end the discussion with a brief commentary on the classification of the objects studied. Finally, we give a result of our own, a generalization of the advancements made in [14] for the multidimensional case.
El Teorema de Mordell i la seva demostració: corbes el·líptiques i cohomologia de Galois
(2026-06-09) Torrent Cortada, Júlia; Guitart Morales, Xavier
[eng] This work studies elliptic curves over the rational numbers, focusing on the statement and proof of Mordell’s Theorem. This result states that the group of rational points of an elliptic curve is finitely generated. The proof is divided into two parts: first, the Weak Mordell Theorem is proved using techniques from Galois Cohomology, and then this result is used to deduce Mordell’s Theorem. Finally, the theory developed throughout the work is applied to a concrete example illustrating its main results. [cat] En aquest treball s’estudien les corbes el·líptiques sobre els racionals, centrant-se en enunciar i demostrar el Teorema de Mordell. Aquest resultat afirma que el grup de punts racionals d’una corba el·líptica és finitament generat. La prova es divideix en dues parts: primer es demostra el Teorema feble de Mordell usant cohomologia de Galois, i després usem el resultat per deduir el Teorema de Mordell. Finalment, s’aplica la teoria estudiada en un exemple que resumeix el contingut del treball.
The Radon Transform and Its Application to Computed Tomography
(2026-06-01) Sorrentino Rodríguez, Agustín A.; Antezana, Jorge
This work studies the mathematical foundations of computerized tomography from the point of view of the Radon transform. Starting from the physical interpretation of X-ray measurements as line integrals, we introduce the main analytical tools needed to formulate the reconstruction problem, including Fourier analysis, distributions, sampling theory and the Fourier slice theorem. We then discuss several inversion procedures, with special emphasis on filtered backprojection and Fourier-based reconstruction methods. Following the approach of Cascante et al., we also describe a gridding method for the numerical recovery of images from discrete projection data. The final part of the work analyzes the computational structure of the algorithm and the role of sampling, interpolation and filtering in practical reconstruction. Overall, the aim is to show how the continuous theory of the Radon transform leads naturally to implementable algorithms for medical image reconstruction.
Les aplicacions quasiconformes i el Teorema Mesurable de Riemann
(2026-06-09) Sitjà Castellarnau, Isabel; Clop, Albert
[eng] This thesis studies quasiconformal mappings and the Measurable Riemann Mapping Theorem, one of the fundamental results in the theory of quasiconformal mappings. The theorem guarantees the existence and uniqueness of a quasiconformal mapping associated with a measurable and uniformly bounded Beltrami coefficient. The main goal of this dissertation is to present a detailed proof of this result. To achieve this, several preliminary tools from real, complex, functional and harmonic analysis are developed. In particular, Sobolev spaces and some results concerning weakly differentiable homeomorphisms are introduced, together with the Cauchy and Beurling integral transforms, which play a central role in the study of the Beltrami equation. In addition, the basic theory of quasiconformal and quasisymmetric mappings is presented, with special emphasis on their analytic and geometric characterizations. Finally, by combining the results developed throughout the thesis, a proof of the Measurable Riemann Mapping Theorem is obtained. The uniqueness of solutions is established through the Stoilow factorization theorem, which provides a structural description of the solutions to the Beltrami equation. [cat] Aquest treball estudia les aplicacions quasiconformes i el Teorema Mesurable de Riemann, un dels resultats fonamentals de la teoria de les aplicacions quasiconformes. És un teorema que garanteix l’existència i la unicitat d’una aplicació quasiconforme associada a un coeficient de Beltrami mesurable i uniformement fitat. L’objectiu principal de la memòria és presentar una demostració detallada d’aquest resultat. Per assolir-lo, es desenvolupen diverses eines prèvies d’anàlisi real, d’anàlisi complexa, d’anàlisi funcional, i d’anàlisi harmònica. En particular, s’introdueixen els espais de Sobolev i alguns resultats sobre homeomorfismes feblement diferenciables, així com les transformades integrals de Cauchy i de Beurling, que tenen un paper central en l’estudi de l’equació de Beltrami. A més, es presenta la teoria bàsica de les aplicacions quasiconformes i quasisimètriques, incidint especialment en les seves caracteritzacions analítiques i geomètriques. Finalment, mitjançant els resultats desenvolupats al llarg del treball, s’obté una demostració del Teorema Mesurable de Riemann. La unicitat de les solucions es dedueix a partir del teorema de factorització de Stoilow, que proporciona una descripció estructural de les solucions de l’equació de Beltrami.
Dinàmica de l’arquitectura Transformer: Del pas discret a la modelització contínua
(2026-06-10) Singh Kaur, Arshdeep; Ruiz-Balet, Domènec
[eng] In this document we study the Transformer architecture from a mathematical viewpoint, interpreting it as a particle system, to model the trajectory of the tokens we derive a first order differential equation, and we construct an energy function to obtain a second order dynamics as the continuous limit of a method called Hamiltonian (Symplectic Euler). We relate this dynamics to Polyak’s heavy-ball method and analyze its behavior. Finally, we validate the results with numerical simulations and explore the clustering. [cat] En aquest treball estudiem matemàticament l’arquitectura Transformer que interpretem com un sistema de partícules, per modelar la trajectòria dels tokens derivem una equació diferencial de primer ordre i construïm una funció d’energia per obtenir una dinàmica de segon ordre a partir d’un esquema anomenat Hamiltonian (Euler simplèctic) i fer el seu límit continu. Relacionem aquesta dinàmica amb el mètode heavy-ball de Polyak i analitzem el comportament. Finalment, validem els resultats obtinguts amb simulacions numèriques i explorem el clustering.
On Time-Frequency Localization: Gabor Frames and the Balian-Low Theorem
(2026-06-09) Seguí Blanes, Gerard; Massaneda Clares, Francesc Xavier
[eng] This work studies time-frequency localization in the context of signal analysis. More precisely, it focuses on the Fourier transform, the short-time Fourier transform, and Gabor systems as tools to represent signals in both time and frequency. Special attention is given to the limitations imposed by the uncertainty principle and the Balian-Low theorem, which show that a signal representation cannot be simultaneously discrete, orthonormal, and well localized in time and frequency. Finally, the work presents Gabor frames as a natural alternative to orthonormal bases, emphasizing the role of Gaussian windows and the density condition for stable reconstruction. [cat] Aquest treball estudia la localització temps-freqüència en el context de l’anàlisi de senyals. Més concretament, se centra en la transformada de Fourier, la transformada de Fourier de temps curt i els sistemes de Gabor com a eines per representar senyals tant en el temps com en la freqüència. Es presta una atenció especial a les limitacions imposades pel principi d’incertesa i pel teorema de Balian-Low, que mostren que una representació de senyals no pot ser simultàniament discreta, ortonormal i ben localitzada en temps i freqüència. Finalment, el treball presenta els frames de Gabor com una alternativa natural a les bases ortonormals, destacant el paper de les finestres gaussianes i de la condició de densitat per a una reconstrucció estable.
Representation Theory and Structure of Semisimple Lie Algebras
(2026-06-10) Sancho Corsín, Irene; Marchesi, Simone
[eng] This work focuses on Lie algebras and representation theory, a field of mathematics that was born in the 19th century and remains relevant today in areas such as differential geometry, number theory, and physics. This dissertation covers several topics. We introduce matrix Lie groups, a specific type of Lie groups, as well as the concept of the Lie algebra associated with them and, more generally, the Lie algebra of an arbitrary Lie group. Next, we introduce the concept of representation. We study and prove the structure of finite-dimensional, complex, irreducible representations of the Lie algebra $sl(2;\mathbb{C})$, which is necessary for understanding the structure of semisimple Lie algebras. After introducing Cartan subalgebras, roots and root space decomposition, we state and prove the main theorem of this work. This theorem states that every finite-dimensional, complex, semisimple Lie algebra admits a simple system of roots, a fundamental result in the structure theory of semisimple Lie algebras. [cat] Aquest treball se centra en les àlgebres de Lie i la teoria de la representació, una àrea matemàtica nascuda al segle XIX i amb rellevància en l’actualitat en àmbits com la geometria diferencial, la teoria de nombres i la física. Aquesta dissertació cobreix diversos temes. Introduïm els grups de Lie de matrius, una classe de grups de Lie, així com el concepte d’àlgebra de Lie associada a ells i, més en general, l’àlgebra de Lie d’un grup arbitrari. A continuació, introduïm el concepte de representació. Estudiem i demostrem l’estructura de les representacions de dimensió finita, complexes, irreductibles de l’àlgebra de Lie $sl(2;\mathbb{C})$, que és necessària per entendre l’estructura de les àlgebres de Lie semisimples. Un cop introduïdes les subàlgebres de Cartan, les arrels i la descomposició en espais d’arrels, enunciem i demostrem el teorema principal d’aquest treball. Aquest teorema afirma que tota àlgebra de Lie semisimple, complexa i de dimensió finita admet un sistema simple d’arrels, un resultat fonamental en la teoria de l’estructura de les àlgebres de Lie semisimples.
De l’equació d’ones a la geometria espectral
(2026-06-01) Sánchez Alaix, Pol; Sanz Perela, Tomás
Aquest treball estudia la relació entre l’equació d’ones, les freqüències pròpies de vibració i la geometria del domini. Comencem amb el cas unidimensional de la corda vibrant amb extrems fixats, on la separació de variables porta de manera natural a les sèries de Fourier i a una interpretació musical en termes de freqüències, harmònics i espectre. Després generalitzem el problema a dominis de dimensió superior, on les freqüències pròpies venen determinades pels autovalors del Laplacià amb condicions de Dirichlet. A partir d’aquesta formulació espectral, analitzem alguns exemples explícits, com rectangles i discs, i fem servir la llei de Weyl per veure que l’espectre conté informació geomètrica del domini, com ara l’àrea en el cas bidimensional. Finalment, arribem a la pregunta de Kac: fins a quin punt es pot recuperar la forma d’un tambor a partir de les seves freqüències pròpies? El treball presenta aquesta pregunta com a punt d’arribada del recorregut i explica que, tot i que l’espectre determina certes magnituds geomètriques i resol alguns casos particulars, en general no determina completament la forma del domini.
Geometric measure theory and Kakeya’s problem
(2026-06-10) Salvadó Fernández, Jaume; Clop, Albert
The main goal of this work is to define a 2-dimensional Besicovitch set and introduce the Kakeya problem, which asks for the minimal area of a set in which a segment can be rotated continuosly in the plane and can lay in all directions, approaching it both from a geometrical point of view and by using techniques of polar reciprocity. We first establish basic results about measures that we use throughout the work, paying special attention to Hausdorff’s measure and it’s properties. We then construct a Besicovitch set and a solution to Kakeya’s problem, first geometrically and then by duality and projection arguments before looking into the Hausdorff dimension of such sets.
Comparació del model Black-Litterman i CAPM aplicat en un fons d’inversió
(2026-06-10) Salomó Vendrell, Nil; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-
[eng] This thesis studies and compares three fundamental portfolio management models: the Markowitz model, the Capital Asset Pricing Model (CAPM), and the Black-Litterman model. Their mathematical foundations are developed and analysed, highlighting how each model addresses the limitations of its predecessor. The Black-Litterman model is then applied to a real investment fund of 23 securities, combining CAPM equilibrium returns with analyst views obtained from Bloomberg and the personal opinion of the fund manager. The resulting portfolio is compared against the fund manager’s original weights and the CAPM allocation, examining differences in expected return and volatility. [cat] En aquest treball s’estudien i es comparen tres models fonamentals de gestió de carteres: el model de Markowitz, el Capital Asset Pricing Model (CAPM) i el model Black-Litterman. S’analitzen les seves bases matemàtiques i les relacions que els connecten, posant èmfasi en com cadascun supera les limitacions del seu predecessor. El model Black-Litterman s’aplica posteriorment a un fons d’inversió real de 23 actius, combinant rendiments d’equilibri del CAPM amb visions d’analistes obtingudes a través de Bloomberg i del mateix gestor del fons. Els resultats es comparen amb els pesos originals del gestor i amb els derivats del CAPM, analitzant les diferències en rendiment esperat i volatilitat.
El teorema d’anul·lació de cohomologia de Tate
(2026-06-10) Salinas Sellas, Abel; Fité Naya, Francesc
[eng] Cohomology groups are certain algebraic invariants associated to a group acting on an abelian group. If we consider the Galois group $G$ of a Galois field extension $L/K$, $G$ acts naturally on $L^{\times}$ by conjugation, so we can study its cohomology groups. However, besides this natural action, $L^{\times}$ can be endowed with the trivial action of $G$, leading to another family of cohomology groups. Let $K$ be a local or global field, and $G_K$ its absolute Galois group. This work presents a proof of a theorem of Tate on the vanishing of the second cohomology group of $G_K$ with coefficients in $\overline{K}^{\times}$ endowed with the trivial action. First, we explain the basic properties of cohomology groups. After proving the basic results about local fields, we state the main theorems of local class field theory. We then turn to global fields, and we state the main theorems of global class field theory in terms of idèles. Next, we study central simple algebras and Brauer groups, explaining their connection with cohomology groups. Finally, in the last chapter, we use all the previous results to prove Tate’s theorem. [cat] Els grups de cohomologia són certs invariants algebraics associats a un grup que actua sobre un grup abelià. Si considerem el grup de Galois $G$ d’una extensió de cossos de Galois $L/K$, $G$ actua de manera natural a $L^{\times}$ per conjugació, i per tant podem estudiar-ne els corresponents grups de cohomologia. Tanmateix, a part de l’acció natural, podem considerar $L^{\times}$ amb l’acció trivial de $G$, i obtenim una altra família de grups de cohomologia. Sigui $K$ un cos local o global, i sigui $G_K$ el seu grup de Galois absolut. En aquest treball presentem una demostració d’un teorema de Tate sobre l’anul·lació del segon grup de cohomologia de $G_K$ amb coeficients a $\overline{K}^{\times}$ amb l’acció trivial. Primer, expliquem les propietats bàsiques dels grups de cohomologia. Després de demostrar els fets bàsics sobre cossos locals, enunciem els teoremes principals de la teoria de cossos de classes local. Seguidament, passem als cossos globals, i enunciem els teoremes principals de la teoria de cossos de classes global en termes d’idèles. A continuació estudiem les àlgebres centrals simples i els grups de Brauer, i expliquem la seva connexió amb els grups de cohomologia. Finalment, a l’últim capítol utilitzem tots els resultats anteriors per a demostrar el teorema de Tate.
El conjunto de módulo máximo de funciones enteras
(2026-06-10) Ruiz Arbos, Samanta; Pardo-Simón, Leticia
[eng] This work is dedicated to the rigorous study of the geometric structure of the maximum modulus set $M(f)$ of an entire function $f$. This set is defined as the family of points where the entire function attains its maximum modulus for each radius. Furthermore, we also study the growth of the function that counts the number of points where the maximum is attained on $\partial D(0,r)$ for each radius $r \geq 0$, which we will denote by $v(r)$. In the first part of this work, Blumenthal’s main theorem [Blu07] is reconstructed and detailed, applying tools from local analytic geometry to prove that, except for monomials, the set $M(f)$ consists of a countable number of analytic curves. Next, examples calculating this set for specific functions are presented. Finally, the work addresses Erdős’s question of whether the number of maximum points on a circle can be arbitrarily large as the radius varies; that is, the unboundedness of $v(r)$. The proposal of a holomorphic function in the unit disk given by Herzog and Piranian [HP68] is analyzed and detailed. Furthermore, a limitation in the original construction of that article is exposed, and an alternative solution is proposed, confirming the affirmative answer to Erdős’s question. [esp] Este trabajo se dedica al estudio riguroso de la estructura geométrica del conjunto de módulo máximo $M(f)$ de una función entera $f$. Este conjunto se define como la familia de puntos donde la función entera alcanza su módulo máximo para cada radio. Además, también estudiamos el crecimiento de la función que cuenta el número de puntos donde alcanza el máximo en $\partial D(0,r)$ para cada radio $r \geq 0$, que denotaremos por $v(r)$. En la primera parte del trabajo, se reconstruye y detalla el teorema principal de Blumenthal [Blu07], aplicando herramientas de geometría analítica local para demostrar que, salvo para monomios, el conjunto $M(f)$ se compone de una cantidad numerable de curvas analíticas. A continuación, se exponen ejemplos del cálculo de este conjunto para funciones específicas. Finalmente, el trabajo aborda la pregunta de Erdős sobre si el número de puntos de máximo en una circunferencia puede ser arbitrariamente grande al variar el radio; es decir, la no acotación de $v(r)$. Se analiza y detalla la propuesta de una función holomorfa en el disco unidad dada por Herzog y Piranian [HP68]. También se expone una limitación en la construcción original de dicho artículo y se propone una solución alternativa, confirmando la respuesta afirmativa a la cuestión de Erdős. [cat] Aquest treball es dedica a l’estudi rigorós de l’estructura geomètrica del conjunt de mòdul màxim $M(f)$ d’una funció sencera $f$. Aquest conjunt es defineix com la família de punts on la funció sencera assoleix el seu mòdul màxim per a cada radi. A més, també estudiem el creixement de la funció que compta el nombre de punts on s’assoleix el màxim a $\partial D(0,r)$ per a cada radi $r \geq 0$, que denotarem per $v(r)$. En la primera part del treball, es reconstrueix i es detalla el teorema principal de Blumenthal [Blu07], aplicant eines de geometria analítica local per demostrar que, llevat dels monomis, el conjunt $M(f)$ es compon d’una quantitat numerable de corbes analítiques. A continuació, s’exposen exemples del càlcul d’aquest conjunt per a funcions específiques. Finalment, el treball aborda la pregunta d’Erdős sobre si el nombre de punts de màxim en una circumferència pot ser arbitràriament gran en variar el radi; és a dir, la no-acotació de $v(r)$. S’analitza i es detalla la proposta d’una funció holomorfa en el disc unitat donada per Herzog i Piranian [HP68]. També s’exposa una limitació sobre la construcció original de l’article esmentat i es proposa una solució alternativa, confirmant la resposta afirmativa a la qüestió d’Erdős.
Desigulatats de Newton i M-matrius
(2026-06-10) Pruna Jiménez, Gerard; Montoro López, M. Eulàlia
[eng] Newton’s inequalities are inequalities relating the elementary symmetric polynomials of a sequence of numbers. In this work we study these inequalities and establish their connection with eigenvalues of matrices. We analyze which matrices have the property that their eigenvalues satisfy Newton’s inequalities, and we present different proofs and interpretations of these inequalities. Afterwards, we focus on the case of M-matrices, following results of the mathematician Olga Holtz. [cat] Les desigualtats de Newton són desigualtats que relacionen els polinomis simètrics elementals d’una successió de nombres. En aquest treball estudiem aquestes desigualtats i establim la relació que tenen amb els valors propis de matrius. Veurem quines matrius tenen la propietat que els seus valors propis satisfan les desigualtats de Newton i presentarem diferents demostracions i interpretacions d’aquestes desigualtats. Posteriorment, ens centrarem en el cas de les M-matrius, seguint resultats de la matemàtica Olga Holtz.
Wavelets
(2026-06-09) Peribañez Pujolràs, Irene; Massaneda Clares, Francesc Xavier
[eng] The main goal of this memoir is to introduce the wavelet theory, with particular emphasis in the construction of a Multi-resolution analysis (MRA). The main theoretical result is Mallat’s theorem, to the effect that every MRA has an associated wavelet. Moreover, we show that these methods can be applied to signal and image processing. [cat] L’objectiu principal d’aquesta memòria és introduir la teoria de wavelets, amb particular èmfasi en la construcció d’una Anàlisi Multiresolució (MRA). El resultat teòric principal és el teorema de Mallat, que estableix que tot MRA té una wavelet associada. A més, mostrem que aquests mètodes poden aplicar-se al processament de senyals i imatges.
Riesz bases of exponentials for finite unions of intervals
(2026-06-10) Morro Rotger, Esteve; Ortega Cerdà, Joaquim
This thesis presents a proof of the existence of exponential Riesz bases for the space of square-integrable functions defined on a finite union of intervals. For this purpose, we begin with the study of basis theory in Hilbert spaces. In this context, we define Riesz bases, which can be understood as controlled deformations of orthonormal bases. Subsequently, we particularize the results obtained for Riesz bases to the space $L^2$. Our analysis focuses on the strong connection between square-integrable functions defined on a bounded interval and entire functions of exponential type. This relation is established by the Fourier transform. In this part, we follow the work of Paley and Wiener. Finally, we introduce the necessary framework to combine Riesz bases, which constitutes the essential tool to prove our main result. This thesis concludes with the existence proof originally developed by Gady Kozma and Nitzan Shahaf.

Browse

Recent Submissions