Treballs Finals de Grau (TFG) - Matemàtiques

URI permanent per a aquesta col·leccióhttps://hdl.handle.net/2445/31442

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques de la Facultat de Matemàtiques de la Universitat de Barcelona.

Estadístiques

Examinar

Mostrant 1 - 20 de 1027

Dinàmica de l’arquitectura Transformer: Del pas discret a la modelització contínua
(2026-06-10) Singh Kaur, Arshdeep; Ruiz-Balet, Domènec
[eng] In this document we study the Transformer architecture from a mathematical viewpoint, interpreting it as a particle system, to model the trajectory of the tokens we derive a first order differential equation, and we construct an energy function to obtain a second order dynamics as the continuous limit of a method called Hamiltonian (Symplectic Euler). We relate this dynamics to Polyak’s heavy-ball method and analyze its behavior. Finally, we validate the results with numerical simulations and explore the clustering. [cat] En aquest treball estudiem matemàticament l’arquitectura Transformer que interpretem com un sistema de partícules, per modelar la trajectòria dels tokens derivem una equació diferencial de primer ordre i construïm una funció d’energia per obtenir una dinàmica de segon ordre a partir d’un esquema anomenat Hamiltonian (Euler simplèctic) i fer el seu límit continu. Relacionem aquesta dinàmica amb el mètode heavy-ball de Polyak i analitzem el comportament. Finalment, validem els resultats obtinguts amb simulacions numèriques i explorem el clustering.
On Time-Frequency Localization: Gabor Frames and the Balian-Low Theorem
(2026-06-09) Seguí Blanes, Gerard; Massaneda Clares, Francesc Xavier
[eng] This work studies time-frequency localization in the context of signal analysis. More precisely, it focuses on the Fourier transform, the short-time Fourier transform, and Gabor systems as tools to represent signals in both time and frequency. Special attention is given to the limitations imposed by the uncertainty principle and the Balian-Low theorem, which show that a signal representation cannot be simultaneously discrete, orthonormal, and well localized in time and frequency. Finally, the work presents Gabor frames as a natural alternative to orthonormal bases, emphasizing the role of Gaussian windows and the density condition for stable reconstruction. [cat] Aquest treball estudia la localització temps-freqüència en el context de l’anàlisi de senyals. Més concretament, se centra en la transformada de Fourier, la transformada de Fourier de temps curt i els sistemes de Gabor com a eines per representar senyals tant en el temps com en la freqüència. Es presta una atenció especial a les limitacions imposades pel principi d’incertesa i pel teorema de Balian-Low, que mostren que una representació de senyals no pot ser simultàniament discreta, ortonormal i ben localitzada en temps i freqüència. Finalment, el treball presenta els frames de Gabor com una alternativa natural a les bases ortonormals, destacant el paper de les finestres gaussianes i de la condició de densitat per a una reconstrucció estable.
Representation Theory and Structure of Semisimple Lie Algebras
(2026-06-10) Sancho Corsín, Irene; Marchesi, Simone
[eng] This work focuses on Lie algebras and representation theory, a field of mathematics that was born in the 19th century and remains relevant today in areas such as differential geometry, number theory, and physics. This dissertation covers several topics. We introduce matrix Lie groups, a specific type of Lie groups, as well as the concept of the Lie algebra associated with them and, more generally, the Lie algebra of an arbitrary Lie group. Next, we introduce the concept of representation. We study and prove the structure of finite-dimensional, complex, irreducible representations of the Lie algebra $sl(2;\mathbb{C})$, which is necessary for understanding the structure of semisimple Lie algebras. After introducing Cartan subalgebras, roots and root space decomposition, we state and prove the main theorem of this work. This theorem states that every finite-dimensional, complex, semisimple Lie algebra admits a simple system of roots, a fundamental result in the structure theory of semisimple Lie algebras. [cat] Aquest treball se centra en les àlgebres de Lie i la teoria de la representació, una àrea matemàtica nascuda al segle XIX i amb rellevància en l’actualitat en àmbits com la geometria diferencial, la teoria de nombres i la física. Aquesta dissertació cobreix diversos temes. Introduïm els grups de Lie de matrius, una classe de grups de Lie, així com el concepte d’àlgebra de Lie associada a ells i, més en general, l’àlgebra de Lie d’un grup arbitrari. A continuació, introduïm el concepte de representació. Estudiem i demostrem l’estructura de les representacions de dimensió finita, complexes, irreductibles de l’àlgebra de Lie $sl(2;\mathbb{C})$, que és necessària per entendre l’estructura de les àlgebres de Lie semisimples. Un cop introduïdes les subàlgebres de Cartan, les arrels i la descomposició en espais d’arrels, enunciem i demostrem el teorema principal d’aquest treball. Aquest teorema afirma que tota àlgebra de Lie semisimple, complexa i de dimensió finita admet un sistema simple d’arrels, un resultat fonamental en la teoria de l’estructura de les àlgebres de Lie semisimples.
De l’equació d’ones a la geometria espectral
(2026-06-01) Sánchez Alaix, Pol; Sanz Perela, Tomás
Aquest treball estudia la relació entre l’equació d’ones, les freqüències pròpies de vibració i la geometria del domini. Comencem amb el cas unidimensional de la corda vibrant amb extrems fixats, on la separació de variables porta de manera natural a les sèries de Fourier i a una interpretació musical en termes de freqüències, harmònics i espectre. Després generalitzem el problema a dominis de dimensió superior, on les freqüències pròpies venen determinades pels autovalors del Laplacià amb condicions de Dirichlet. A partir d’aquesta formulació espectral, analitzem alguns exemples explícits, com rectangles i discs, i fem servir la llei de Weyl per veure que l’espectre conté informació geomètrica del domini, com ara l’àrea en el cas bidimensional. Finalment, arribem a la pregunta de Kac: fins a quin punt es pot recuperar la forma d’un tambor a partir de les seves freqüències pròpies? El treball presenta aquesta pregunta com a punt d’arribada del recorregut i explica que, tot i que l’espectre determina certes magnituds geomètriques i resol alguns casos particulars, en general no determina completament la forma del domini.
Geometric measure theory and Kakeya’s problem
(2026-06-10) Salvadó Fernández, Jaume; Clop, Albert
The main goal of this work is to define a 2-dimensional Besicovitch set and introduce the Kakeya problem, which asks for the minimal area of a set in which a segment can be rotated continuosly in the plane and can lay in all directions, approaching it both from a geometrical point of view and by using techniques of polar reciprocity. We first establish basic results about measures that we use throughout the work, paying special attention to Hausdorff’s measure and it’s properties. We then construct a Besicovitch set and a solution to Kakeya’s problem, first geometrically and then by duality and projection arguments before looking into the Hausdorff dimension of such sets.
Comparació del model Black-Litterman i CAPM aplicat en un fons d’inversió
(2026-06-10) Salomó Vendrell, Nil; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-
[eng] This thesis studies and compares three fundamental portfolio management models: the Markowitz model, the Capital Asset Pricing Model (CAPM), and the Black-Litterman model. Their mathematical foundations are developed and analysed, highlighting how each model addresses the limitations of its predecessor. The Black-Litterman model is then applied to a real investment fund of 23 securities, combining CAPM equilibrium returns with analyst views obtained from Bloomberg and the personal opinion of the fund manager. The resulting portfolio is compared against the fund manager’s original weights and the CAPM allocation, examining differences in expected return and volatility. [cat] En aquest treball s’estudien i es comparen tres models fonamentals de gestió de carteres: el model de Markowitz, el Capital Asset Pricing Model (CAPM) i el model Black-Litterman. S’analitzen les seves bases matemàtiques i les relacions que els connecten, posant èmfasi en com cadascun supera les limitacions del seu predecessor. El model Black-Litterman s’aplica posteriorment a un fons d’inversió real de 23 actius, combinant rendiments d’equilibri del CAPM amb visions d’analistes obtingudes a través de Bloomberg i del mateix gestor del fons. Els resultats es comparen amb els pesos originals del gestor i amb els derivats del CAPM, analitzant les diferències en rendiment esperat i volatilitat.
El teorema d’anul·lació de cohomologia de Tate
(2026-06-10) Salinas Sellas, Abel; Fité Naya, Francesc
[eng] Cohomology groups are certain algebraic invariants associated to a group acting on an abelian group. If we consider the Galois group $G$ of a Galois field extension $L/K$, $G$ acts naturally on $L^{\times}$ by conjugation, so we can study its cohomology groups. However, besides this natural action, $L^{\times}$ can be endowed with the trivial action of $G$, leading to another family of cohomology groups. Let $K$ be a local or global field, and $G_K$ its absolute Galois group. This work presents a proof of a theorem of Tate on the vanishing of the second cohomology group of $G_K$ with coefficients in $\overline{K}^{\times}$ endowed with the trivial action. First, we explain the basic properties of cohomology groups. After proving the basic results about local fields, we state the main theorems of local class field theory. We then turn to global fields, and we state the main theorems of global class field theory in terms of idèles. Next, we study central simple algebras and Brauer groups, explaining their connection with cohomology groups. Finally, in the last chapter, we use all the previous results to prove Tate’s theorem. [cat] Els grups de cohomologia són certs invariants algebraics associats a un grup que actua sobre un grup abelià. Si considerem el grup de Galois $G$ d’una extensió de cossos de Galois $L/K$, $G$ actua de manera natural a $L^{\times}$ per conjugació, i per tant podem estudiar-ne els corresponents grups de cohomologia. Tanmateix, a part de l’acció natural, podem considerar $L^{\times}$ amb l’acció trivial de $G$, i obtenim una altra família de grups de cohomologia. Sigui $K$ un cos local o global, i sigui $G_K$ el seu grup de Galois absolut. En aquest treball presentem una demostració d’un teorema de Tate sobre l’anul·lació del segon grup de cohomologia de $G_K$ amb coeficients a $\overline{K}^{\times}$ amb l’acció trivial. Primer, expliquem les propietats bàsiques dels grups de cohomologia. Després de demostrar els fets bàsics sobre cossos locals, enunciem els teoremes principals de la teoria de cossos de classes local. Seguidament, passem als cossos globals, i enunciem els teoremes principals de la teoria de cossos de classes global en termes d’idèles. A continuació estudiem les àlgebres centrals simples i els grups de Brauer, i expliquem la seva connexió amb els grups de cohomologia. Finalment, a l’últim capítol utilitzem tots els resultats anteriors per a demostrar el teorema de Tate.
El conjunto de módulo máximo de funciones enteras
(2026-06-10) Ruiz Arbos, Samanta; Pardo-Simón, Leticia
[eng] This work is dedicated to the rigorous study of the geometric structure of the maximum modulus set $M(f)$ of an entire function $f$. This set is defined as the family of points where the entire function attains its maximum modulus for each radius. Furthermore, we also study the growth of the function that counts the number of points where the maximum is attained on $\partial D(0,r)$ for each radius $r \geq 0$, which we will denote by $v(r)$. In the first part of this work, Blumenthal’s main theorem [Blu07] is reconstructed and detailed, applying tools from local analytic geometry to prove that, except for monomials, the set $M(f)$ consists of a countable number of analytic curves. Next, examples calculating this set for specific functions are presented. Finally, the work addresses Erdős’s question of whether the number of maximum points on a circle can be arbitrarily large as the radius varies; that is, the unboundedness of $v(r)$. The proposal of a holomorphic function in the unit disk given by Herzog and Piranian [HP68] is analyzed and detailed. Furthermore, a limitation in the original construction of that article is exposed, and an alternative solution is proposed, confirming the affirmative answer to Erdős’s question. [esp] Este trabajo se dedica al estudio riguroso de la estructura geométrica del conjunto de módulo máximo $M(f)$ de una función entera $f$. Este conjunto se define como la familia de puntos donde la función entera alcanza su módulo máximo para cada radio. Además, también estudiamos el crecimiento de la función que cuenta el número de puntos donde alcanza el máximo en $\partial D(0,r)$ para cada radio $r \geq 0$, que denotaremos por $v(r)$. En la primera parte del trabajo, se reconstruye y detalla el teorema principal de Blumenthal [Blu07], aplicando herramientas de geometría analítica local para demostrar que, salvo para monomios, el conjunto $M(f)$ se compone de una cantidad numerable de curvas analíticas. A continuación, se exponen ejemplos del cálculo de este conjunto para funciones específicas. Finalmente, el trabajo aborda la pregunta de Erdős sobre si el número de puntos de máximo en una circunferencia puede ser arbitrariamente grande al variar el radio; es decir, la no acotación de $v(r)$. Se analiza y detalla la propuesta de una función holomorfa en el disco unidad dada por Herzog y Piranian [HP68]. También se expone una limitación en la construcción original de dicho artículo y se propone una solución alternativa, confirmando la respuesta afirmativa a la cuestión de Erdős. [cat] Aquest treball es dedica a l’estudi rigorós de l’estructura geomètrica del conjunt de mòdul màxim $M(f)$ d’una funció sencera $f$. Aquest conjunt es defineix com la família de punts on la funció sencera assoleix el seu mòdul màxim per a cada radi. A més, també estudiem el creixement de la funció que compta el nombre de punts on s’assoleix el màxim a $\partial D(0,r)$ per a cada radi $r \geq 0$, que denotarem per $v(r)$. En la primera part del treball, es reconstrueix i es detalla el teorema principal de Blumenthal [Blu07], aplicant eines de geometria analítica local per demostrar que, llevat dels monomis, el conjunt $M(f)$ es compon d’una quantitat numerable de corbes analítiques. A continuació, s’exposen exemples del càlcul d’aquest conjunt per a funcions específiques. Finalment, el treball aborda la pregunta d’Erdős sobre si el nombre de punts de màxim en una circumferència pot ser arbitràriament gran en variar el radi; és a dir, la no-acotació de $v(r)$. S’analitza i es detalla la proposta d’una funció holomorfa en el disc unitat donada per Herzog i Piranian [HP68]. També s’exposa una limitació sobre la construcció original de l’article esmentat i es proposa una solució alternativa, confirmant la resposta afirmativa a la qüestió d’Erdős.
Desigulatats de Newton i M-matrius
(2026-06-10) Pruna Jiménez, Gerard; Montoro López, M. Eulàlia
[eng] Newton’s inequalities are inequalities relating the elementary symmetric polynomials of a sequence of numbers. In this work we study these inequalities and establish their connection with eigenvalues of matrices. We analyze which matrices have the property that their eigenvalues satisfy Newton’s inequalities, and we present different proofs and interpretations of these inequalities. Afterwards, we focus on the case of M-matrices, following results of the mathematician Olga Holtz. [cat] Les desigualtats de Newton són desigualtats que relacionen els polinomis simètrics elementals d’una successió de nombres. En aquest treball estudiem aquestes desigualtats i establim la relació que tenen amb els valors propis de matrius. Veurem quines matrius tenen la propietat que els seus valors propis satisfan les desigualtats de Newton i presentarem diferents demostracions i interpretacions d’aquestes desigualtats. Posteriorment, ens centrarem en el cas de les M-matrius, seguint resultats de la matemàtica Olga Holtz.
Wavelets
(2026-06-09) Peribañez Pujolràs, Irene; Massaneda Clares, Francesc Xavier
[eng] The main goal of this memoir is to introduce the wavelet theory, with particular emphasis in the construction of a Multi-resolution analysis (MRA). The main theoretical result is Mallat’s theorem, to the effect that every MRA has an associated wavelet. Moreover, we show that these methods can be applied to signal and image processing. [cat] L’objectiu principal d’aquesta memòria és introduir la teoria de wavelets, amb particular èmfasi en la construcció d’una Anàlisi Multiresolució (MRA). El resultat teòric principal és el teorema de Mallat, que estableix que tot MRA té una wavelet associada. A més, mostrem que aquests mètodes poden aplicar-se al processament de senyals i imatges.
Riesz bases of exponentials for finite unions of intervals
(2026-06-10) Morro Rotger, Esteve; Ortega Cerdà, Joaquim
This thesis presents a proof of the existence of exponential Riesz bases for the space of square-integrable functions defined on a finite union of intervals. For this purpose, we begin with the study of basis theory in Hilbert spaces. In this context, we define Riesz bases, which can be understood as controlled deformations of orthonormal bases. Subsequently, we particularize the results obtained for Riesz bases to the space $L^2$. Our analysis focuses on the strong connection between square-integrable functions defined on a bounded interval and entire functions of exponential type. This relation is established by the Fourier transform. In this part, we follow the work of Paley and Wiener. Finally, we introduce the necessary framework to combine Riesz bases, which constitutes the essential tool to prove our main result. This thesis concludes with the existence proof originally developed by Gady Kozma and Nitzan Shahaf.
Introducció al Càlcul Estocàstic
(2026-06-01) Miró, Roc; Márquez, David (Márquez Carreras)
[eng] This bachelor’s thesis provides a self-contained introduction to stochastic calculus, focusing on its fundamental concepts and main tools. The work begins with a review of essential probabilistic notions: characteristic functions, Gaussian random vectors, and conditional expectation. Special emphasis is placed on the properties of Gaussian distributions and the equivalence between the definition via linear combinations and via the characteristic function. The core of the thesis is devoted to the study of Brownian motion, its equivalent characterizations, and two explicit constructions: as a limit of random walks (outline of Donsker’s theorem, without full proof) and via the Lévy construction using Haar and Schauder functions. Several path properties are analysed, including Hölder continuity, non-differentiability, quadratic variation, and the martingale properties. The Itô integral is constructed for integrands in the space of square-integrable adapted processes, starting from elementary step processes and extending by density. Key results such as the Itô isometry, the martingale property of the indefinite integral, and the Burkholder–Davis–Gundy inequalities are presented. The Itô formula is stated and proved for functions of class $C^2$, and the representation of square-integrable martingales as stochastic integrals is established. Finally, the thesis introduces stochastic differential equations (SDEs), proving existence and uniqueness of strong solutions under Lipschitz and linear growth conditions, together with a second-moment estimate. The thesis aims to provide a rigorous yet accessible foundation for further study in stochastic analysis and its applications in finance, physics, and engineering. [cat] Aquest treball final de grau ofereix una introducció autònoma al càlcul estocàstic, centrant-se en els seus conceptes fonamentals i les seves eines principals. El treball comença amb una revisió de nocions probabilístiques essencials: funcions característiques, vectors aleatoris Gaussians i esperança condicionada. Es posa èmfasi especial en les propietats de les distribucions Gaussianes i en l’equivalència entre la definició mitjançant combinacions lineals i la definició mitjançant la funció característica. El nucli de la tesi està dedicat a l’estudi del moviment Brownià, les seves caracteritzacions equivalents i dues construccions explícites: com a límit de passejades aleatòries (se’n fan cinc cèntims del teorema de Donsker, sense demostració) i mitjançant la construcció de Lévy amb funcions de Haar i Schauder. S’analitzen diverses propietats de les trajectòries, com ara la continuïtat Hölder, la no diferenciabilitat, la variació quadràtica i les propietats de martingala. La integral d’Itô es construeix per a integrands en l’espai de processos adaptats de quadrat integrable, començant per processos elementals esglaonats i estenent per densitat. Es presenten resultats clau com la isometria d’Itô, la propietat de martingala de la integral indefinida i les desigualtats de Burkholder–Davis–Gundy. S’enuncia i es demostra la fórmula d’Itô per a funcions de classe $C^2$, i s’estableix la representació de martingales de quadrat integrable com a integrals estocàstiques. Finalment, el treball introdueix les equacions diferencials estocàstiques (EDEs), demostrant l’existència i unitat de solucions fortes sota condicions de Lipschitz i creixement lineal, i obtenint una fita per al moment de segon ordre de la solució. El treball té com a objectiu proporcionar una base rigorosa però accessible per a l’estudi posterior de l’anàlisi estocàstica i les seves aplicacions en finances, física i enginyeria.
Del Cifrado de Vernam a las Primitivas de la Criptografía Moderna
(2026-06-09) Mendez Gonzalez, Marko; Dieulefait, L. V. (Luis Victor)
[eng] The Vernam cipher (one-time pad), together with Shannon’s characterization of the perfect secret, represents the pinnacle of unconditional security in cryptography. However, its requirements (truly random keys that are as long as the messages) render it impractical in most scenarios. Modern cryptography abandons the aspiration to theoretical perfection and bases its strength on computational complexity, giving rise to a set of primitives that form the pillars of current systems. This document studies each of these primitives rigorously. For each, the formal definitions are stated, the propositions guaranteeing their correctness and security are proven, and in some cases their behaviour is illustrated through specific examples. Specifically, three key aspects are analysed: the role of randomness, the expansion factor and the type of security (unconditional or computational). The paper concludes with a comparison that evaluates the schemes from the point of view of efficiency, the achievable level of security and their resistance to quantum attacks. [spa] El Cifrado de Vernam (one-time pad), junto con la caracterización de Shannon del secreto perfecto, representa el punto culminante de la seguridad incondicional en criptografía. Sin embargo, sus requisitos (claves verdaderamente aleatorias y tan largas como los mensajes) lo hacen impráctico en la mayoría de escenarios. La criptografía moderna abandona la aspiración de perfección teórica para basar su fortaleza en la complejidad computacional, dando lugar a un conjunto de primitivas que constituyen los pilares de los sistemas actuales. Este documento estudia cada una de dichas primitivas de forma rigurosa. Para cada una de ellas se enuncian las definiciones formales, se demuestran las proposiciones que garantizan su corrección y seguridad, y en algunos casos se ilustra su comportamiento mediante ejemplos concretos. En concreto, se analizan tres aspectos clave: el papel de la aleatoriedad, el factor de expansión y el tipo de seguridad (incondicional o computacional). El documento concluye con una comparativa que evalúa los esquemas desde el punto de vista de la eficiencia, el nivel de seguridad alcanzable y su resistencia frente a ataques cuánticos.
Anàlisi estocàstica de models de propagació de rumors
(2026-06-10) Meilán López, Antón; Rovira Escofet, Carles
[eng] This paper studies two classic stochastic models of rumor propagation: the Maki–Thompson model and the Daley–Kendall model. Both describe how information spreads within a closed population divided into ignorants, diffusers, and suppressors. The basic tools of stochastic process theory and Markov chains in discrete and continuous time are presented. As a starting point, the SIR, an epidemiological model, is presented, which serves as a basis for modeling rumors. The rumor models are then formulated in their continuous version, which is present in the general literature, and the discrete version, which is presented in this work as an extension of the previously mentioned models. This is followed by the study of some properties when the population size becomes large, using the Kurtz theorem. Finally, the theoretical results are verified through numerical simulations, and it is observed that both models, despite their structural differences, share the same macroscopic limit. [cat] En aquest treball s’estudien dos models estocàstics clàssics de propagació de rumors: el model de Maki–Thompson i el de Daley–Kendall. Tots dos descriuen com es difon una informació dins d’una població tancada dividida en ignorants, difusors i sufocadors. Es presenten les eines bàsiques de la teoria de processos estocàstics i de les cadenes de Màrkov a temps discret i continu. Com a punt de partida, es presenta el SIR, un model epidemiològic, que serveix com a base per modelitzar els rumors. A continuació es formulen els models de rumors en la seva versió contínua, que és present a la bibliografia general, i la versió discreta, que es presenta en aquest treball com una extensió dels models anteriorment mencionats. Seguit d’això s’estudien algunes propietats quan la mida de la població es fa gran, fent servir el teorema de Kurtz. Finalment, es verifiquen els resultats teòrics mitjançant simulacions numèriques i s’observa que tots dos models, malgrat les diferències estructurals, comparteixen el mateix límit macroscòpic.
La fita de Hasse per a corbes el·líptiques
(2026-06-10) Martirena Mateo, Eduardo; Fité Naya, Francesc
[en] The main goal of this work is to give an introduction of the theory of elliptic curves and to prove Hasse's bound for the number of rational points on an elliptic curve defined over a finite field. To achieve these objectives we will introduce all the notions needed from algebraic curve theory and the concepts leading to the statement of the Riemann-Roch theorem. Lastly, we will define elliptic curves and isogenies. The study of their properties will lead us to the proof of Hasse's bound. [cat] L’objectiu d’aquest treball és demostrar la fita de Hasse sobre el nombre de punts racionals en una corba el·líptica definida sobre un cos finit. La teoria que hem hagut de desenvolupar per a assolir aquesta demostració representa una bona introducció a la teoria de corbes el·líptiques. Es treballen conceptes bàsics de corbes algebraiques fins a l’enunciat del teorema de Riemann-Roch, aleshores es presenten i treballem les nocions bàsiques de corbes el·líptiques definides sobre cossos arbitraris. Finalment, es demostra la fita de Hasse a partir de resultats i conceptes demostrats en el desenvolupament de la teoria.
Computabilidad de los conjuntos de Julia de polinomios hiperbólicos
(2026-06-10) Martínez Borrallo, Esther; Pardo-Simón, Leticia
[eng] This work explores the intersection between dynamical systems and theoretical computer science, focusing on the computability of Julia sets. Due to the uncountable cardinality of the complex plane and the unstable, chaotic behavior that arises in holomorphic dynamics, the question arises whether these geometric structures of infinite complexity can be accurately represented by machines of a discrete, finite, and approximate nature. The work details the affirmative answer to this question, proven by Mark Braverman: the Julia sets of hyperbolic polynomials are computable in polynomial time. To achieve this, we combine models of algorithmic complexity and complex geometry. The key to the resolution lies in the expansive property of these polynomials with respect to the hyperbolic metric, allowing us to construct control domains and linearly bound the escape time of the orbits. [spa] Este trabajo explora la intersección entre sistemas dinámicos e informática teórica, enfocándose en la computabilidad de los conjuntos de Julia. Debido a la cardinalidad no numerable del plano complejo y al comportamiento inestable y caótico que aparece en dinámica holomorfa, surge la duda de si estas estructuras geométricas de infinita complejidad pueden ser representadas de forma exacta mediante máquinas de naturaleza discreta, finita y aproximada. El trabajo detalla una respuesta afirmativa a esta cuestión, demostrada por Mark Braverman: los conjuntos de Julia de polinomios hiperbólicos son computables en tiempo polinómico. Para ello, combinamos modelos de complejidad algorítmica y geometría compleja. La clave de la resolución reside en la propiedad expansiva de estos polinomios respecto a la métrica hiperbólica, lo que permite construir dominios de control y acotar linealmente el tiempo de escape de las órbitas. [cat] Aquest treball explora la intersecció entre els sistemes dinàmics i la informàtica teòrica, centrant-se en la computabilitat dels conjunts de Julia. Donada la naturalesa contínua del pla complex i el comportament inestable i caòtic que apareix en dinàmica holomorfa, sorgeix el dubte de si aquestes estructures geomètriques d’infinita complexitat poden ser representades computacionalment amb una precisió garantida mitjançant màquines de naturalesa discreta, finita i aproximada. El treball detalla la resposta afirmativa a aquesta qüestió, demostrada per Mark Braverman: els conjunts de Julia de polinomis hiperbòlics són computables en temps polinòmic. Per a això, combinem models de complexitat algorítmica i geometria complexa. La clau de la resolució resideix en la propietat expansiva d’aquests polinomis respecte a la mètrica hiperbòlica, fet que permet construir dominis de control i fitar linealment el temps d’escapament de les òrbites.
Persistència multiparamètrica en l'anàlisi d'imatge clínica
(2026-06-10) Mariscal Vizcaya, Marta; Casacuberta, Carles; Pruna Comella, Xavier
[eng] Topological Data Analysis studies shape features of a given dataset using tools from algebraic topology, principally persistent homology. In this work, we present the theoretical foundations of multiparameter persistence and explore an application to pneumonia diagnosis using a public dataset of medical images. Although multiparameter persistence is potentially more powerful as an analytical tool than one-parameter persistence, its increased mathematical complexity poses significant computational challenges. We discuss some numerical descriptors that have been developed in recent years for the multiparameter setting, and propose a strategy for incorporating these invariants into machine-learning pipelines for medical image classification. [cat] L’anàlisi topològica de dades estudia les característiques morfològiques dels conjunts de dades mitjançant eines de la topologia algebraica, principalment l’homologia persistent. En aquest treball, presentem els fonaments teòrics de la persistència multiparamètrica i n’explorem una aplicació al diagnòstic de la pneumònia utilitzant una base de dades pública d’imatges mèdiques. Tot i que la persistència multiparamètrica és, en general, una eina d’anàlisi més potent que la persistència d’un únic paràmetre, la seva complexitat matemàtica planteja reptes computacionals importants. En el treball estudiem alguns descriptors numèrics que s’han desenvolupat en els darrers anys per al context multiparamètric i proposem una estratègia per incorporar aquests invariants en procediments d’aprenentatge automàtic destinats a la classificació d’imatges mèdiques.
Regularity of Lipschitz domains in terms of their Poisson Kernel
(2026-06-10) Mac an Mhaoir Guasch, Pau; Ros, Xavier
[eng] We study the regularity of Lipschitz domains in terms of the regularity of their Poisson kernel. More precisely, we present a proof of the fact that if $\Omega$ is a bounded Lipschitz domain and its Poisson kernel is a positive $C^{k,\alpha}$ function, then $\partial\Omega$ is $C^{k+1,\alpha}$. The argument is based on the study of Lipschitz free boundaries for weak solutions of the Alt–Caffarelli problem. We prove optimal regularity and nondegeneracy estimates for weak solutions, establish an $\varepsilon$-regularity theorem, and study blow-ups at the free boundary using Weiss’ monotonicity formula. The Lipschitz geometry of the free boundary allows us to show that all blow-up limits are half-plane solutions, which implies the desired regularity of the free boundary. [cat] Estudiem la regularitat dels dominis Lipschitz en termes de la regularitat del seu nucli de Poisson. Més precisament, presentem una demostració del fet que, si $\Omega$ és un domini Lipschitz fitat i el seu nucli de Poisson és una funció positiva de classe $C^{k,\alpha}$, aleshores $\partial\Omega$ és $C^{k+1,\alpha}$. L’argument es basa en l’estudi de les fronteres lliures Lipschitz de solucions febles del problema d’Alt-Caffarelli. Demostrem estimacions de regularitat òptima i de no-degeneració per a solucions febles, establim un teorema de $\varepsilon$-regularitat, i estudiem blow-ups a la frontera lliure mitjançant la fórmula de monotonia de Weiss. La geometria Lipschitz de la frontera lliure ens permet demostrar que tots els límits de blow-up són solucions de semiespai, fet que implica la regularitat de la frontera lliure.
Aplicacions del Teorema de Riemann-Roch en Superfícies Hiperel·líptiques
(2026-06-10) Lora Bonastre, Marta; Naranjo del Val, Juan Carlos
[eng] This thesis studies the applications of the Riemann-Roch Theorem to hyperelliptic Riemann surfaces. The main objective is to establish, based on the classical characterization and the central tools introduced, a new characterization of these surfaces in terms of plane algebraic curves. The thesis is structured in three parts. First, the relationship between algebraic curves and Riemann surfaces is established through normalization, a construction that assigns to each irreducible plane curve a compact non-singular Riemann surface. Second, the Riemann-Roch Theorem is proved by following the Brill-Noether strategy, thereby establishing a correspondence between the topology of the surface and the algebraic structure of its divisors. Finally, these results are applied to hyperelliptic surfaces. The classical characterization is analyzed, which describes them as Riemann surfaces of genus $g \geq 2$ admitting a degree $2$ morphism to $\mathbb{C}\infty$ and for which an explicit description of the canonical morphism is obtained as $\phi_K = v{g-1} \circ \pi$. However, the curve associated to this characterization, $y^2 = h(x)$ with $h$ a polynomial with simple roots and odd degree, has a non-ordinary singularity at infinity. This obstacle motivates the new characterization, which establishes that every hyperelliptic surface of genus $g$ is the normalization of a plane curve of degree $g+2$ with a unique ordinary singularity of multiplicity $g$. [cat] Aquest treball estudia les aplicacions del Teorema de Riemann-Roch en les superfícies de Riemann hiperel·líptiques. L’objectiu és establir, a partir de la caracterització clàssica i de les eines centrals del treball, una nova caracterització d’aquestes superfícies en termes de corbes algebraiques planes. El treball s’estructura en tres blocs. En primer lloc, s’estableix la relació entre corbes algebraiques i superfícies de Riemann a través de la normalització, construcció que associa a cada corba plana irreductible una superfície de Riemann compacta i no singular. En segon lloc, es demostra el Teorema de Riemann-Roch seguint l’estratègia de Brill-Noether per establir una correspondència entre la topologia de la superfície i l’estructura algebraica dels seus divisors. Finalment, s’apliquen aquests resultats a les superfícies hiperel·líptiques. S’analitza la caracterització clàssica, que les descriu com a superfícies de Riemann de gènere $g \geq 2$ que admeten un morfisme de grau $2$ cap a $\mathbb{C}\infty$ per a les quals s’obté una descripció explícita del morfisme canònic com $\phi_K = v{g-1} \circ \pi$. Tanmateix, la corba associada a aquesta caracterització, $y^2 = h(x)$ amb $h$ un polinomi amb arrels simples i grau senar, presenta a l’infinit una singularitat no ordinària. Aquesta dificultat motiva la nova caracterització, que estableix que tota superfície hiperel·líptica de gènere $g$ és la normalització d’una corba plana de grau $g+2$ amb una única singularitat ordinària de multiplicitat $g$.
Teoria de subhastes: aplicació a Ebay i Google
(2026-06-10) López Espejo, Adrián; Núñez, Marina (Núñez Oliva)
[eng] This Bachelor’s Thesis offers a comprehensive mathematical analysis of auction theory, focusing on the strategic behavior of bidders and the efficiency of different allocation mechanisms. The study begins by formalizing the most relevant auction formats, specifically first- and second-price sealed-bid auctions. Using tools from game theory and probability calculus, the optimal bidding functions as well as the existence of Nash equilibria for these models are derived and proven. This theoretical framework is initially applied to the digital environment of eBay, analyzing its auction system. Furthermore, the research extends to the analysis of multi-object auctions, with a special focus on the Vickrey mechanism, which is considered the foundation of these structures due to its economic efficiency. Finally, the generalized second-price auction algorithms implemented by Google for keyword positioning are analyzed. [cat] Aquest Treball de Final de Grau ofereix una anàlisi matemàtica exhaustiva de la teoria de subhastes, centrant-se en el comportament estratègic dels licitadors i en l’eficiència dels diferents mecanismes d’assignació. L’estudi comença amb la formalització dels formats de subhasta més rellevants, específicament les de sobre tancat de primer i segon preu. Mitjançant eines de la teoria de jocs i el càlcul de probabilitats, es dedueixen i es demostren les funcions de licitació òptimes, així com l’existència d’equilibris de Nash per a aquests models. Aquest marc teòric s’aplica inicialment a l’entorn digital d’eBay, analitzant el seu sistema de subhasta. Així mateix, la recerca s’estén a l’anàlisi de subhastes de múltiples objectes, amb un focus especial en el mecanisme de Vickrey, considerat el fonament d’aquestes estructures a causa de la seva eficiència econòmica. Finalment, s’analitzen els algoritmes de subhasta de segon preu generalitzada implementats a Google per al posicionament de paraules clau.

Examinar

Enviaments recents