Treballs Finals de Grau (TFG) - Matemàtiques

Permanent URI for this collectionhttps://hdl.handle.net/2445/31442

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques de la Facultat de Matemàtiques de la Universitat de Barcelona.

Statistics

Browse

Now showing 1 - 20 of 881

Reproducing Kernel Hilbert spaces of analytic functions
(2025-06-10) Aghzaf El Hachimi, Mouna; Levi, Matteo
This thesis focuses on the study of reproducing kernel Hilbert spaces (RKHS), which play a fundamental role in complex analysis as well as in other fields such as statistics and machine learning. It presents the general theory of RKHS, including key results that characterize these spaces and their properties, such as the representation of kernels in terms of orthonormal bases. The study then focuses on examples of RKHS consisting of holomorphic functions, such as the Hardy, Bergman, Dirichlet, and Fock spaces, for which the reproducing kernels are computed and their RKHS structure is established. One of the key aspects of the work is the study of multipliers, functions that preserve the structure of the space under pointwise multiplication. The thesis concludes with an analysis of the Nevanlinna-Pick interpolation problem in the unit disk, a classical topic in complex analysis, providing a proof based on analytic techniques and Blaschke products.
Conformal Mapping and Physical Modelling
(2025-06-09) Amer Cerdà, Maria del Mar; Massaneda Clares, Francesc Xavier
This project presents a study of conformal mappings and some of their applications. We emphasize Möbius transformations and their algebraic and geometric properties. These transformations, which preserve angles and the structure of circles, serve as foundational tools in the broader theory of conformal maps. The Schwarz-Christoffel formula is introduced to construct conformal mappings from the upper half-plane to polygonal regions. Applications are explored in two main areas: fluid dynamics, where harmonic and conformal functions model ideal flows, and cartography, where classical projections such as the Mercator and stereographic projections are interpreted through conformal methods. This study demonstrates the powerful interplay between abstract complex analysis and its concrete applications in physics and geometry.
Certificats de positivitat per polinomis
(2025-06-10) Anguera Salvat, Pau; D'Andrea, Carlos, 1973-
Aquest treball es centra en trobar certificats de positivitat per a polinomis reals en $\mathbb{R}[x]$. Per trobar-los, representem un polinomi $f$ de certa manera que podem assegurar que és no negatiu per tot $x$. Veiem que mitjançant canvis de variables és suficient trobar-los per $x \in [-1,1]$. Veiem també que en certs certificats és necessari trobar un conjunt de generadors adequats per afirmar la seva existència. Finalment, fem una ullada als certificats de positivitat en corbes de $\mathbb{R}^2$ i donem unes condicions generals perquè existeixin certificats en $\mathbb{R}^n$.
Differentially Private Machine Learning: Implementation and Analysis of Gradient and Dataset Perturbation Techniques
(2025-06-10) Mantilla Carreño, Juan Pablo; Statuto, Nahuel
The increasing use of machine learning poses significant privacy risks, especially when sensitive data is used, and conventional anonymization methods have proven insufficient. Differential privacy is a rigorous framework for data privacy providing strong mathematical guarantees. The possibility of applying this framework to machine learning solves the privacy problem. We will present the fundamental basis of these concepts to empirically investigate, implement, and analyse two techniques for integrating differential privacy into machine learning pipelines. The first technique, dataset perturbation, involves adding calibrated Gaussian noise directly to the training data and then using any standard machine learning pipeline. The second, gradient perturbation, centers on differentially private stochastic gradient descent, is an approach that injects noise into the gradients during the training phase. For the comparative study, we developed a multi-class classification architecture using a real-world, sensitive medical dataset derived from the MIMIC-IV database. Model performance was evaluated against a non-private baseline, using the appropriate metrics considering our class imbalance, such as Macro F1-score and Macro OVO AUC. The results confirm the trade-off between privacy and utility in the models developed, where higher privacy guarantees consistently result in reduced model utility. For the specific context of this study, gradient perturbation provided a slightly more advantageous model in overall balance of utility and privacy. Ultimately, the thesis provides strong evidence for the feasibility of training useful and formally private machine learning models on real-world medical data, successfully demonstrating a practical "sweet spot" between privacy and performance can be found.
Ethical reasoning in Large Language Models
(2025-06-10) Li Chen, Chengheng; López Sánchez, Maite
Large language models have evolved beyond simple text generation to serve as sophisticated decision-making aids and moral advisors across diverse domains. However, these systems exhibit systematic biases that may compromise their reliability when confronted with complex reasoning tasks, particularly in ethically nuanced scenarios where consistent judgment is important. Despite significant advances in alignment methodologies, including Reinforcement Learning from Human Feedback (RLHF) and Direct Preference Optimization (DPO), current approaches predominantly focus on preventing overtly harmful outputs while potentially neglecting deeper structural inconsistencies in reasoning processes that can manifest when models encounter contextually biased inputs. This research explores AI alignment by investigating whether established cognitive debiasing techniques from psychology can be systematically adapted and integrated into machine learning training protocols. We introduce the COPO (Consider the Opposite, Perspective-taking, and Open-minded thinking) module, which operationalizes three empirically validated psychological debiasing interventions into computational training methodologies. This approach represents a possible shift from reactive harm mitigation toward proactive development of reasoning capabilities that may demonstrate more principled consistency across diverse contexts. Our methodology combines two complementary investigative approaches: external structured prompting interventions and embedded training pipeline integration. Using 2,491 real world ethical scenarios, we employ three evaluation metrics (Political Disagreement Index, Symmetric Consensus Change, and Overall Intervention Effectiveness) to measure bias reduction with statistical rigor. Structured prompting experiments demonstrate promising bias mitigation, achieving 18.1% reduction in cross-perspective disagreement patterns alongside a favorable 2.6:1 improvement-to-deterioration ratio. The training integration implements a three-phase RL-SFT-RL pipeline encompassing baseline Group Relative Policy Optimization (GRPO), COPO-informed supervised fine-tuning, and transfer assessment through resumed reinforcement learning. This methodology employs multicomponent reward architectures evaluating verdict accuracy, structural compliance, and six dimensional reasoning quality through strong-to-weak supervision. The integrated training achieves 21.9% improvement in ethical reasoning quality, with the model gaining higher rewards after COPO supervised fine-tuning and showing persistence through autonomous learning phases with evidence of knowledge transfer to previously unseen scenarios. Empirical results suggest that psychology-informed interventions can enhance analytical sophistication while reducing contextual bias susceptibility. The enhanced model demonstrates improved stakeholder consideration, systematic evidence integration, and more consistent moral judgment across varied framings without compromising decision accuracy. This work provides evidence that systematically embedding cognitive debiasing techniques into training protocols may enable AI systems to engage in more balanced reasoning, contributing to methodological foundations for psychology-informed AI alignment approaches.
F1 race simulator
(2025-06-03) Díez Vidueira, David; Seguí Mesquida, Santi
This thesis presents the design and implementation of a real-time Formula 1 strategy simulator, built on state-of-the-art Transformer architectures, to enable dynamic, data-driven decision-making during a Grand Prix. The project explores how Transformer models, originally developed for language processing, can be adapted to predict and optimize race strategies using sequential motorsport data. The simulator relies on two specialized models: the PitStopTransformer, which predicts the optimal lap to pit, and the CompoundTransformer, which selects the most appropriate tyre compound. Both models are based on the Transformer architecture, incorporating multi-head attention, positional encoding and feed-forward layers to capture complex temporal patterns and race dynamics. Data is sourced from Fast F1 for historical records and Open F1 for real-time telemetry. Lap-by-lap features such as laps times, gaps, weather and strategy phase are processed through a PostgreSQL database and structured into sequences for TensorFlow pipelines. Live deployment confirms the system’s ability to generate accurate, low-latency predictions during evolving race scenarios. The simulator adapts to events like tyre degradation or Safety Cars, offering strategic insights as conditions change. By combining mathematical rigor with cutting-edge architecture, this work delivers a scalable tool for real-time race strategy, bridging theoretical machine learning and applied motorsport analytics.
Más allá de Menger
(2025-01-15) Ye Xu, Xiao Bo; Knauer, Kolja
En este trabajo explicaré las tres demostraciones que aparecen en el libro de Diestel del Teorema de Menger, uno de los teoremas fundamentales de la teoría de grafos. El teorema ofrece una caracterización de cómo separar un grafo en términos de sus vértices y establece una relación con los caminos disjuntos que contiene. Además, analizaré una conjetura reciente que generaliza el teorema, en la que se plantea los casos donde los caminos no solo sean disjuntos, sino que también se encuentren a una gran distancia entre ellos. En particular, me centraré en los casos resueltos: el caso en el que hay dos caminos, que se ha demostrado como cierto y el caso en el que hay tres caminos, para el cual se ha encontrado un contraejemplo.
Volatilitat implícita i models de valoració d’opcions
(2025-01-15) Zafrilla López, Néstor; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-; Burés Mogollón, Òscar
Aquest estudi examina dues aproximacions clau per a la valoració d’opcions financeres, centrant-se en el tractament de la volatilitat: el model clàssic de Black-Scholes i el model de volatilitat estocàstica de Heston. El model de Black-Scholes assumeix una volatilitat constant, proporcionant una metodologia senzilla però fonamental per al càlcul del preu dels derivats. No obstant això, les observacions empíriques de patrons de volatilitat implı́cita, com el somriure de volatilitat i l’skew, desafien aquesta suposició. Per superar aquestes limitacions, el model de Heston incorpora la volatilitat estocàstica, modelant-la com un procés de reversió a la mitjana per capturar dinàmiques de mercat de manera més realista. Mitjançant l’anàlisi teòrica i la implementació pràctica amb dades reals del mercat d’opcions sobre l’S&P 500, aquesta investigació avalua l’eficàcia de tots dos models. Els resultats mostren que el model de Heston s’alinea millor amb les superfícies de volatilitat implícita observades, especialment per opcions amb venciments curts o amb strikes lluny de l’ATM. Per contra, el model de Black-Scholes presenta també precisió per opcions properes a l’ATM amb venciments més llargs, però no pot reflectir les complexitats de les condicions de mercat dinàmiques. Les conclusions subratllen la importància de seleccionar el model adequat segons les característiques específiques de l’instrument financer i l’entorn de mercat. Tot i que el model de Black-Scholes continua sent una pedra angular per la seva simplicitat i tractabilitat analítica, el model de Heston ofereix una precisió superior en escenaris on la volatilitat no és constant.
Introducción a las máquinas de vectores de soporte para el análisis de sentimientos
(2025-01-15) Viñas Templado, Udane; Statuto, Nahuel
Este trabajo explora las Máquinas de Soporte Vectorial (SVM), una herramienta clave en el aprendizaje automático. A través de un análisis teórico y práctico, se examina su relación con el algoritmo del Perceptrón, la optimización y la convexidad, conceptos fundamentales para entender cómo estas abordan problemas complejos de clasificación. Se profundiza en los principios matemáticos que sustentan el modelo, como los problemas primal y dual, las funciones Lagrangianas y los teoremas de dualidad, que permiten optimizar modelos tanto lineales como no lineales. El componente práctico del trabajo aplica las SVM para clasificar opiniones de reseñas sobre teléfonos móviles, determinando su polaridad. Esta aplicación ilustra cómo el modelo puede procesar grandes volúmenes de datos y ser útil en tareas como el análisis de sentimientos en plataformas de reseñas. La elección de las SVM no responde a que sea el mejor enfoque para el análisis, sino por su capacidad para ilustrar la teoría de manera sencilla. El objetivo del trabajo es integrar la teoría y la práctica de las SVM, proporcionando una comprensión de sus fundamentos y su implementación, sentando las bases para futuros desarrollos en la clasificación de datos complejos y demostrando el potencial de estas en el aprendizaje automático.
Chern-Simons Theory
(2025-01-15) Viner Tesoriere, Matías; García López, Ricardo, 1962-
The aim of this thesis is to prove that the set of critical points of the Chern-Simons classical action for a closed, three-dimensional spacetime manifold $M$ and a compact, simply connected Lie group $G$ is the set of flat $G$-connections over $M$. To establish this result, we first develop the foundational theory of Lie groups, Lie algebras and principal bundles-fibre bundles with a Lie group as their fibre.
Exponenciació de cardinals
(2025-01-15) Vives Fornt, Joaquim; Martínez Alonso, Juan Carlos
The main aim of this work is to show some of the fundamental theorems on cardinal exponentiation in ZFC, particularly Silver's theorem on singular cardinals of uncountable cofinality. Firstly, we show the theory of infinite cardinal sums and products, together with elemental theorems on the gimel function and on how to compute $\kappa^\lambda$ for arbitrary $\kappa, \lambda$ cardinals. We also present some notions of infinitary combinatorics: we introduce the notion of the club filter and stationary sets, in order to prove Fodor's theorem. Finally we use these results to prove Silver's theorem in detail.
Representació de Lawrence-Kramer i linealitat del grup de trenes
(2025-01-15) Villaró i Cañizal, Júlia; Mundet i Riera, Ignasi
S'estudia el grup de trenes, analitzant-ne l'estructura algebraica i topològica. S'estudia la representació de Lawrence-Krammer i la seva fidelitat (injectivitat) per a tot $n \geq 1$. Aquesta representació es presenta com un morfisme des del grup de trenes, descrit segons la presentació d'Artin, cap al grup d'automorfismes d'un grup d'homologia associat a un espai concret. En particular, demostrem que els grups de trenes són lineals.
An Introduction to complex analysis in several variables: Riemann mapping and Bergman spaces
(2025-01-15) Vilaseca Vinadé, Guillem; Marzo Sánchez, Jordi
The main goal of this work is to give an introduction of the fundamental concepts in complex analysis in several variables. It starts by introducing holomorphic functions of several complex variables, their representation via power series, and fundamental results like the Cauchy integral formula. Then it follows by the Riemann mapping theorem, a cornerstone result that guarantees the existence of conformal mappings between simply connected domains and the unit disc in $\mathbb{C}$. We show also that the Riemann mapping theorem cannot be extended to $\mathbb{C}^n$. Finally, the last part of the report delves into Bergman spaces, studying their kernels and their connection to the Riemann Mapping Theorem.
Computerized tomography and the radon transform through the lens of medical imaging
(2025-01-14) Viedma Gordillo, Diego; Massaneda Clares, Francesc Xavier
This work explores the mathematical foundations and practical applications of Computerized Tomography (CT) within the context of medical imaging. By combining analytical concepts, we examine the process of generating cross-sectional images from X-ray data. The focus is placed on the properties of the Radon transform, including its relation to Fourier transforms, uniqueness theorems, and inversion formulas. Reconstruction algorithms, such as the filtered backprojection and the gridding method, are analyzed and computationally implemented, with performance evaluated using the Shepp-Logan phantom, a benchmark model for clinical image reconstruction. Additionally, we explore modern alternative geometries designed for enhanced efficiency. Beyond medical imaging, the broader implications of CT are discussed, illustrating how mathematical concepts drive transformative technological advancements.
On the sheaf theoretic de Rham theorem and the Witten Laplacian
(2025-01-15) Vega Casanovas, Andreu; García López, Ricardo, 1962-
The aim of this work is to establish a dialogue between topology, differential geometry, and certain modern developments in theoretical physics involving supersymmetry. First, the construction of the de Rham theorem is presented, followed by its proof through the elegant theory of sheaves, bringing forth algebraic invariants of the manifold derived from the properties of differential objects. Next, harmonic differential forms are studied using Hodge theory, demonstrating the main decomposition theorem as well as the existence and uniqueness of harmonic representatives in the de Rham cohomology groups. Finally, Witten’s ideas concerning supersymmetry preservation are discussed, and a proof of Morse inequalities is presented using Witten’s deformed Laplacian.
On subgraphs of ninimal Cayley graphs
(2025-01-15) Soto Gómez, Álvaro; Knauer, Kolja
In this paper, we aim to identify graphs that are not subgraphs of minimal Cayley graphs. Specifically, we will focus our study on cubic graphs. To this end, we first examine the fundamental properties of minimal Cayley graphs and establish two necessary conditions for a graph to be a subgraph of one. We then provide a proof of Spencer’s theorem. Later on, we analyze the subcase of the family of Generalized Petersen graphs by showing which of them are minimal Cayley graphs and demonstrating that, for certain parameters, generalized Petersen graphs are subgraphs of a minimal Cayley graph of the semidirect product of two cyclic groups. Finally, after covering the necessary theoretical groundwork, we will present and explain the algorithm developed for identifying prohibited graphs.
Teoria evolutiva de jocs i aplicacions
(2025-01-12) Solé Narro, Cloe; Jarque i Ribera, Xavier
La teoria de jocs evolutiva és una branca de la matemàtica aplicada que modelitza el comportament estratègic d’individus o poblacions que interaccionen en contextos dinàmics. Aquest treball relaciona conceptes fonamentals de la teoria de jocs clàssica, com l’equilibri de Nash, amb eines de la teoria de jocs evolutiva, com les estratègies evolutivament estables (ESS) i l’equació replicadora. S’estudien jocs no cooperatius, estàtics i amb informació completa per analitzar l’evolució de les estratègies dins d’una població en funció de la seva aptitud relativa. En aquest context, es planteja un model que considera dues comunitats amb $N/2$ individus cadascuna, incorporant una variable addicional per representar l’entorn com un factor clau que influeix en les dinàmiques poblacionals. Aquest model eco-evolutiu s’estudia sota diferents supòsits de simetria, explorant l’estabilitat dels equilibris resultants. Aquest enfocament ofereix una perspectiva teòrica que pot aplicar-se a camps com l’ecologia o la sociologia, obrint la porta a futures investigacions en models més complexos i situacions amb interaccions múltiples.
Cálculo del ángulo entre separatrices en el sistema del péndulo rápidamente forzado
(2025-01-15) Rodrı́guez Via-Dufresne, Ignacio; Jorba i Monte, Àngel
La medida de las separatrices divididas del péndulo forzado rápidamente $$ \ddot{x}+\sin x=\mu \sin \left(\frac{t}{\epsilon}\right) $$ es considerado como un problema que ha sido estudiado por diferentes autores. En este trabajo, estudiamos el ángulo entre las dos separatrices. Observamos que el ángulo de escisión en este sistema es de órdenes muy bajos y, por ello, para su cálculo nos hemos visto obligados a utilizar aritmética de alta precisión. Concretamente, para su estudio, hemos creado un programa en C que hace uso de MPFR (aritmética de alta precisión) para analizar cómo varía el ángulo con cambios en los parámetros $\epsilon$ y $\mu$.
Modelització i pricing de futurs de temperatura
(2025-01-15) Poveda Alarcón, Silvia; Márquez, David (Márquez Carreras); Solanilla Blanco, Sara Ana
Aquest treball té com a objectiu principal analitzar una part de l’article publicat a la revista de mercats energètics Journal of Energy Markets: ”Approximation of the price dynamics of heating degree day (HDD) and cooling degree day (CDD) temperature futures”, redactat per la cotutora del treball, la Sara Ana Solanilla, conjuntament amb el Fred Espen Benth. L’article proposa una aproximació per al preu dels futurs de temperatura a partir dels índexs climàtics Heating Degree Day (HDD) i Cooling Degree Day (CDD). Es considera que aquests índexs depenen linealment de la temperatura, que es modelitza mitjançant una dinàmica autoregressiva en temps continu. A partir d’aquesta modelització, basada en dades climàtiques de Nova York, s’utilitza una adaptació de la fórmula de Black-76 per determinar el preu d’una opció call sobre futurs d’HDD i CDD. En concret, s’analitzarà la part relacionada amb la valoració d’un futur basat en els índexs mencionats, posant de manifest la problemàtica que sorgeix quan es pretén fer el pricing d’una opció call europea sobre aquests futurs. Addicionalment, s’aprofundirà en la modelització la variable temperatura, reproduint el cas empíric considerat a l’article Per tal de proporcionar un marc teòric sòlid, durant els cinc primers capítols es presenta la teoria matemàtica necessària. Aquesta part inclou una introducció als processos estocàstics, amb especial èmfasi en el moviment Brownià; la definició i la construcció de la integral d’Itô, destacant-ne la importància; la fórmula d’Itô en el cas unidimensional i una de les seves aplicacions fonamentals, el teorema de Girsanov; i, finalment, la teoria de les equacions diferencials estocàstiques (EDE). Amb aquest treball, es busca oferir una perspectiva que connecti la teoria matemàtica amb la seva aplicació pràctica en el camp dels derivats climàtic, destacant la utilitat dels índexs HDD i CDD en la gestió del risc associat a la temperatura.
El problema del subespai invariant
(2025-01-15) Nicolás i Cabrera, Marta; Pau, Jordi
Donat un espai $E$ de Banach, podem afirmar que tot operador lineal acotat $T: E \rightarrow E$ té un subespai invariant tancat no trivial? Aquesta qüestió, coneguda com el "Problema del subespai invariant", manca d'una resposta plenament satisfactòria en l'actualitat i és considerada per molts matemàtics com un dels grans desafiaments de l'anàlisi funcional. En aquest Treball de Fi de Grau, explorarem la història del problema i aprofundirem en algunes de les dificultats intrínseques que comporta. Per fer-ho, partirem d'una formulació detallada i rigorosa del problema i analitzarem diversos casos particulars. Entre aquests, destacarem el Teorema de Lomonosov, que demostra que si existeix un operador compacte que commuta amb un operador lineal acotat en un espai de Banach, aleshores l'operador $T$ necessàriament té un subespai tancat i no trivial que és invariant sota $T$. A més, mitjançant un contraexemple que discutirem amb detall, mostrarem que, en el cas dels espais de Banach, la solució al problema del subespai invariant és, en general, negativa.

Browse

Recent Submissions