Treballs Finals de Grau (TFG) - Matemàtiques

URI permanent per a aquesta col·leccióhttps://hdl.handle.net/2445/31442

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques de la Facultat de Matemàtiques de la Universitat de Barcelona.

Estadístiques

Examinar

Mostrant 1 - 20 de 979

The Fiber polytope
(2026-01-14) Guardiola Andrés, Elna; Padrol Sureda, Arnau
[en] This thesis studies the fiber polytope, a construction introduced by Billera and Sturmfels that packages, into a single convex polytope, the geometry and combinatorics of coherent subdivisions associated with a projection of polytopes. Our starting point is an affine projection π : P → Q: while the map may hide part of the geometry of P, it leaves a precise footprint on Q in the form of polyhedral subdivisions. The guiding question of this work is how to describe these subdivisions in a natural and unified way. After recalling the basic language of convex polytopes, polyhedral complexes, and subdivisions, we explain coherence through a geometric principle: optimizing linear functionals along the fibers of π. This leads to piecewise-linear sections whose domains of linearity form coherent subdivisions of Q. To assemble this fiberwise information into a global object, we use Minkowski integration, which acts as a convex-geometric averaging of the fibers and produces the fiber polytope. In this perspective, vertices and faces of the fiber polytope arise from tight coherent sections and reflect how subdivisions refine one another. The central result discussed is the Billera–Sturmfels Theorem, establishing an order-reversing correspondence between the face lattice of the fiber polytope and the poset of π-coherent subdivisions of Q. Finally, we specialize to projections from a simplex and recover the classical secondary polytope of a point configuration, clarifying the role of regular triangulations and the appearance of GKZ vectors as vertex data. Throughout, the emphasis is on a clear geometric narrative that keeps the main ideas visible while maintaining full mathematical rigor. [ca] Aquesta tesi estudia el polítop fibra, una construcció introduïda per Billera i Sturmfels que reuneix, en un únic polítop convex, la geometria i la combinatòria de les subdivisions coherents associades a una projecció de politops. El punt de partida és una projecció afí π : P → Q: tot i que la projecció pot amagar part de la geometria de P, deixa una petjada precisa sobre Q en forma de subdivisions polièdriques. La pregunta que guia el treball és com descriure aquestes subdivisions d’una manera natural i unificada. Després de recordar el llenguatge bàsic de politops convexos, complexos polièdrics i subdivisions, expliquem la coherència a partir d’un principi geomètric: optimitzar funcions lineals al llarg de les fibres de π. Això condueix a seccions a trossos lineals, i els dominis on aquestes seccions són afins determinen subdivisions coherents de Q. Per reunir aquesta informació fibra a fibra en un objecte global, utilitzem la integració de Minkowski, que actua com una mena de mitjana en geometria convexa i dona lloc al polítop de fibra. En aquesta visió, els vèrtexs i les cares del polítop fibra provenen de seccions coherents i reflecteixen com les subdivisions es refinen entre si. El resultat central és el Teorema de Billera–Sturmfels, que estableix una correspondència que inverteix l’ordre entre el reticle de cares del polítop fibra i el conjunt de les subdivisions π-coherents de Q. Finalment, especialitzem al cas de projeccions des d’un simplex i recuperem el polítop secundari clàssic d’una configuració de punts, aclarint el paper de les triangulacions regulars i l’aparició dels vectors GKZ com a dades dels vèrtexs. Al llarg del treball, l’èmfasi es posa en un fil narratiu geomètric clar, que manté visibles les idees principals sense renunciar al rigor matemàtic.
Optimització Geomètrica de Xarxes Neuronals en Espais Hiperbòlics a través de Sharpness-Aware Minimization
(2026-01-15) Valderrama Veciana, María; Statuto, Nahuel; Clapés Sintes, Albert
[en] This Final Degree Project for the Double Degree in Mathematics and Computer Engineering addresses the geometric optimization of Deep Learning by adapting neural network architectures to hyperbolic space. More specifically, it utilizes the mathematical hyperboloid model Hn; also known in this field as the Lorentz model. Motivated by the limitations of Euclidean geometry in representing hierarchical data structures with minimal distortion, the work first establishes a rigorous mathematical foundation of the space, deriving essential operational tools such as parallel transport, exponential maps, and the analytical characterization of hyperbolic hyperplanes required for the automated image classification task. From an engineering perspective, a fully hyperbolic neural network architecture is adopted as a baseline, incorporating the Riemannian Sharpness-Aware Minimization (RSAM) algorithm to improve convergence and generalization on the manifold. Experimental validation on the CIFAR-100 and Caltech-256 datasets reveals that, while data augmentation allows Euclidean models to mitigate dimensional collapse, hyperbolic architectures optimized with RSAM demonstrate superior intrinsic stability. Specifically, stress tests confirm that these models learn representations that are significantly more resilient to perturbations and invariant to rotations compared to their flat counterparts. [ca] Aquest Treball Final del Doble Grau en Matemàtiques i Enginyeria Informàtica aborda l’optimització geomètrica de l’aprenentatge profund adaptant les arquitectures de les xarxes neuronals a l’espai hiperbòlic. Més concretament, s’utilitza el model matemàtic de l’hiperboloide Hn; també conegut en aquest àmbit com a model de Lorentz. Motivat per les limitacions de la geometria Euclidiana per representar dades jeràrquiques amb la mínima distorsió, el treball estableix primerament una fonamentació matemàtica rigorosa de l’espai, deduint eines operatives essencials com el transport paral·lel, els mapes exponencials i la caracterització analítica dels hiperplans hiperbòlics necessaris per a la tasca de classificació automàtica d’imatges. Des d’una perspectiva d’enginyeria, s’adopta una arquitectura de xarxa neuronal completament hiperbòlica com a base i s’hi incorpora l’algorisme Riemannian Sharpness-Aware Minimization (RSAM) per millorar la convergència i la generalització sobre la varietat. La validació experimental sobre els conjunts de dades CIFAR-100 i Caltech-256 revela que, tot i que l’augment de dades permet als models euclidians mitigar el col·lapse dimensional, les arquitectures hiperbòliques optimitzades amb RSAM demostren una estabilitat intrínseca superior. Concretament, els tests d’estrès confirmen que aquests models aprenen representacions significativament més resilients a pertorbacions i invariants a rotacions en comparació amb els seus homòlegs plans. [es] Este Trabajo Final del Doble Grado en Matemáticas e Ingeniería Informática aborda la optimización geométrica del aprendizaje profundo adaptando las arquitecturas de las redes neuronales al espacio hiperbólico. Más concretamente, se utiliza el modelo matemático del hiperboloide Hn; también conocido en este ámbito como modelo de Lorentz. Motivado por las limitaciones de la geometría Euclidiana para representar datos jerárquicos con la mínima distorsión, el trabajo establece primeramente una fundamentación matemática rigurosa del espacio, deduciendo herramientas operativas esenciales como el transporte paralelo, los mapas exponenciales y la caracterización analítica de los hiperplanos hiperbólicos necesarios para la tarea de clasificación automática de imágenes. Desde una perspectiva de ingeniería, se adopta una arquitectura de red neuronal completamente hiperbólica como base y se incorpora el algoritmo Riemannian Sharpness-Aware Minimization (RSAM) para mejorar la convergencia y la generalización sobre la variedad. La validación experimental sobre los conjuntos de datos CIFAR-100 y Caltech-256 revela que, aunque el aumento de datos permite a los modelos euclidianos mitigar el colapso dimensional, las arquitecturas hiperbólicas optimizadas con RSAM demuestran una estabilidad intrínseca superior. Concretamente, los tests de estrés confirman que estos modelos aprenden representaciones significativamente más resilientes a perturbaciones e invariantes a rotaciones en comparación con sus homólogos planos.
Enhancing Computer Vision Models Using Persistent Homology-Based Descriptors
(2026-01-15) Lyazidi Ahrillou Abraray, Soufiane; Radeva, Petia; Casacuberta, Carles; Nagarajan, Bhalaji
[en] Deep Neural Networks (DNNs) often fail to capture the underlying hierarchical topological structures present in images, a limitation particularly critical in domains such as medical imaging, where fine anatomical details are essential. Topological Data Analysis (TDA), and specifically its prominent technique, persistent homology, serves as a robust tool to detect and represent these structures by summarizing them into Persistence Diagrams. This final degree project explores the theoretical framework and foundations required to understand persistent homology and its applications to image analysis. It also explores the applications of persistent homology in machine learning, specifically applied to multiclass image classification tasks using Deep Neural Networks (DNNs). An effective way to integrate topological information into DNNs is to encapsulate it into a feature vector. While many existing methods enhance architectures like Transformers or CNNs by generating topological descriptors based on static information, this work focuses on learnable strategies. Leveraging the recent architecture, PHG-Net (Peng et al. [46]) as a foundation, we employ a framework where homological descriptors are not fixed manually but are adaptively selected and optimized by the network during training. In this way, we achieve greater generalization and flexibility by enabling the model to autonomously learn the optimal persistent features, rather than relying on fixed, manually selected descriptors. Consequently, this work aims to validate and extend this methodology by establishing a comprehensive experimental benchmark on ISIC 2018, a complex medical imaging dataset and CIFAR-100, which includes more general objects. Furthermore, we conduct a qualitative analysis to evaluate the robustness and decision-making confidence of topologically enhanced models. This includes examining the specific regions where the model focuses on using Grad-CAMs, and analyzing the geometric organization of learned features through dimensionality reduction techniques such as PCA, t-SNE, and UMAP. [ca] Les Xarxes Neuronals Profundes (DNNs) sovint no aconsegueixen capturar les estructures topològiques jeràrquiques subjacents presents a les imatges, una limitació especialment crítica en imatges mèdiques, on els detalls anatòmics fins són essencials. L’Anàlisi Topològica de Dades (TDA), i específicament la seva tècnica més destacada, l’homologia persistent, serveix com una eina robusta per detectar i representar aquestes estructures resumint-les en Diagrames de Persistència. Aquest Treball de Final de Grau explora el marc teòric i els fonaments necessaris per entendre l’homologia persistent i les seves aplicacions a l’anàlisi d’imatges. També s’exploren les aplicacions de l’homologia persistent en l’aprenentatge automàtic, aplicat específicament a tasques de classificació d’imatges utilitzant Xarxes Neuronals Profundes. Una forma efectiva per integrar la informació topologica a les DNNs és encapsular-la en vectors de característiques. Mentre que molts mètodes existents milloren arquitectures com els Transformadors o les CNN, generant descriptors topològics basats en regles estàtiques, aquest treball es centra en estratègies aprenibles. Utilitzant l’arquitectura PHG-Net (Peng et al. [46]) com a base, emprem un marc on els descriptors homològics no es fixen manualment, sinó que se seleccionen de manera adaptativa i són optimitzats per la xarxa durant l’entrenament. D’aquesta manera, aconseguim una major generalització i flexibilitat permetent que el model aprengui de manera autònoma les característiques persistents òptimes, en lloc de dependre de descriptors fixos seleccionats manualment. Consegüentment, aquest treball té com a objectiu validar i estendre aquesta metodologia establint un punt de referència experimental exhaustiu amb l’ISIC 2018, un conjunt de dades complex d’imatges mèdiques, i el CIFAR-100, que inclou objectes més generals. A més, realitzem una anàlisi qualitativa per avaluar la robustesa i la confiança en la presa de decisions dels models millorats topològicament. Això inclou examinar les regions específiques on el model focalitza la seva atenció utilitzant Grad-CAMs, i analitzar l’organització geomètrica de les característiques apreses mitjançant tècniques de reducció de dimensionalitat com PCA, t-SNE i UMAP.
Estratègies d'optimització de visualització de point clouds
(2026-01-14) González Porras, Víctor; Puig Puig, Anna
[en] This thesis focuses on optimization methods for the visualization of 3D point clouds in real time. These clouds have a lot of points, usually in the order of millions, this makes it so their visualization becomes computationally very costly and hard to do in real time, and so optimization techniques have to be introduced. In this context, this thesis focuses on two methods: the use of compute shaders and the use of the Lebesgue curve for the ordering of the points of the point cloud. In the first part, the thesis formalizes and studies concepts such as the concept of a point cloud or the Lebesgue curve. It also explores other methods, like the use of traditional graphic pipeline or the elimination of Z-Test, and other orders, like random ordering of the points or shuffling the points of the Lebesgue curve. The second part of this thesis consists on the design and implementation of a program that incorporates all the methods studied and is also able to visualize these point clouds in real time. It also includes a comparison of all the implemented methods and orders, with the objective of finding the best combination of rendering method and ordering of the points depending on the situation. [ca] Aquest Treball de Final de Grau tracta mètodes d’optimització per a visualitzar nivells de punts (point clouds) en 3D en temps real. Aquests nivells acostumen a tenir una quantitat molt gran de punts, de l’ordre de milions, per tant la seva visualització pot esdevenir computacionalment costosa i difícil de fer en temps real, fet que fa necessari introduir tècniques d’optimització. En aquest context, el projecte es centra en dos mètodes: l’ús de compute shaders i l’ús de la corba de Lebesgue per ordenar els punts del núvol. En la primera part del projecte es formalitzen i s’aprofundeix en conceptes com el del núvol de punts i la corba de Lebesgue. També s’exploren altres mètodes, com l’ús de la pipeline gràfica tradicional o l’eliminació del Z-Test, i altres ordres, com ordenar els punts aleatòriament o barrejant els punts de la corba de Lebesgue. La segona part del TF G consisteix en el disseny i implementació d’un programa que incorpora tots els mètodes estudiats, de tal manera que sigui capaç de visualitzar aquests núvols de punts en temps real. També inclou una comparativa entre tots els mètodes i ordres implementats, amb l’objectiu de trobar quina és la combinació òptima de mètode de renderitzat i ordre dels punts depenent del cas. [es] Este Trabajo de Fin de Grado trata métodos de optimización para visualizar nubes de puntos (point clouds) en 3D en tiempo real. Estas nubes acostumbran a tener una cantidad muy grande de puntos, del orden de millones, por tanto su visualización puede volverse computacionalmente costosa y difícil de hacer en tiempo real, hecho que hace necesario introducir técnicas de optimización. En este contexto, el proyecto se centra en dos métodos: el uso de compute shaders y el uso de la curva de Lebesgue para ordenar los puntos del conjunto de puntos. En la primera parte del proyecto se formalizan y se profundiza en conceptos como los de la nube de puntos y la curva de Lebesgue. También se exploran otros métodos, como el uso de la pipeline gráfica tradicional o la eliminación del Z-Test, y otros órdenes, como ordenar los puntos aleatoriamente o mezclando los puntos de la curva de Lebesgue. La segunda parte del TFG consiste en el diseño e implementación de un programa que incorpora todos los métodos estudiados, de tal manera que sea capaz de visualizar estas nubes de puntos en tiempo real. También incluye una comparativa entre todos los métodos y órdenes implementados, con el objetivo de encontrar cuál es la combinación óptima entre método de renderizado y orden de los puntos dependiendo del caso.
De la radiòmica als Foundation Models: estratègies per a l’extracció de característiques d’imatge mèdica
(2026-01-15) Figueras Puiggròs, Andreu; Díaz, Oliver
[en] Breast cancer remains a leading cause of mortality among women worldwide. Neoadjuvant Chemotherapy (NAC) is a standard treatment for advanced stages, and achieving Pathological Complete Response (pCR) is a strong predictor of survival. Non-invasive prediction of pCR using Magnetic Resonance Imaging (MRI) is a major goal in precision medicine. This thesis compares two features extraction methods for pCR prediction: classical Radiomics, which is interpretable with hand-crafted features, and modern Foundation Models which are abstract with deep learning embeddings. Beyond standard classification metrics, we propose a rigorous mathematical framework to analyze the intrinsic properties of these feature spaces. We utilize Probabilistic Principal Component Analysis (PPCA) to estimate the intrinsic dimensionality and k-Nearest Neighbors (k-NN) based mutual information estimator (KSG and Ross algorithms) to quantify feature relevance without assuming linearity. Furthermore, we implement a Minimum Redundancy Maximum Relevance (mRMR) algorithm to identify optimal feature subset and employ t-SNE to visualize the structural differences between radiomics features and Foundation Models embeddings. Our results on the MAMA-MIA dataset reveal that both feature spaces exhibit high redundancy and saturation, as Probabilistic PCA successfully reduced dimensionality by over 90% without significant information loss. regarding predictive performance, classical Radiomics outperformed the MRI-CORE Foundation Model, achieving AUC scores between 0.60 and 0.65 compared to the 0.50–0.55 range obtained with deep learning embeddings. Furthermore, while the proposed mutual information-based feature selection method stabilized model training, it did not significantly improve classification performance compared to standard reduction strategies. These findings suggest that, despite the semantic richness of Foundation Models, hand-crafted radiomic features remain more effective for this specific binary classification task without fine-tuning. [ca] El càncer de mama continua sent una de les principals causes de mortalitat femenina a nivell mundial. La Quimioteràpia Neoadjuvant (NAC) és un tractament estàndard, i assolir la Resposta Patològica Completa (pCR) és un fort indicador de supervivència. La predicció no invasiva de la pCR mitjançant Ressonància Magnètica (MRI) és un objectiu clau en la medicina de precisió. Aquest treball compara dos mètodes d’extracció de característiques per a al predicció de pCR: la Radiòmica clàssica amb descriptors interpretables i els Foundation Models amb embeddings d’aprenentatge profund. Més enllà de les mètriques de classificació estàndard, proposem un marc matemàtic rigorós per analitzar les propietats intrínseques d’aquests espais vectorials. Utilitzem l’Anàlisi de Components Principals Probabilístic (PPCA) per estimar la dimensionalitat intrínseca i estimadors d’informació mútua basats en k-Veïns Més Propers (k-NN) (algoritmes KSG i Ross) per quantificar la rellevància sense assumir linealitat. A més, implementem un algoritme de selecció mRMR (Mínima Redundància Màxima Rellevància) per identificar subconjunts òptims. Els nostres resultats sobre el conjunt de dades MAMA-MIA revelen que ambdós espais de característiques presenten una alta redundància i saturació, permetent que el PCA Probabilístic redueixi la dimensionalitat en més d’un 90% sense pèrdua significativa d’informació. Pel que fa a la capacitat predictiva, la Radiòmica clàssica ha superat el Foundation Model MRI-CORE, assolint valors AUC entre 0,60 i 0,65 en comparació amb el rang de 0,50–0,55 obtingut amb els embeddings. A més, tot i que la metodologia de selecció proposada basada en informació mútua ha estabilitzat l’entrenament dels models, no ha millorat significativament els resultats respecte a les estratègies de reducció estàndard. Aquestes conclusions suggereixen que, malgrat la potència dels Foundation Models, els descriptors radiòmics continuen sent més efectius per a aquesta tasca específica de classificació binària sense aplicar fine-tuning.
Kolmogorov-Arnold representation theorem and its applications to neural networks
(2026-01-01) Sánchez-Palomino, Miguel; Rovira Escofet, Carles; Aloy, Patrick, 1972-; Percy Saldivar, Bryan
[ca] Profundament arrelat en la humanitat trobem el desig d’entendre i dominar el nostre entorn, així impulsant el desenvolupament tant d’eines intel·lectuals com d’enginyeria per facilitar-nos aquesta missió. Fins ara, aquesta necessitat s’ha abordat mitjançant el desenvolupament de nous resultats matemàtics i les seves aplicacions a la modelització del món. Un dels nostres reptes més grans ha estat la creació de màquines que puguin pensar. Teoritzades molt abans de tenir la tecnologia per desenvolupar-les, finalment hem arribat als primers “cervells artificials” que poden veure més enllà del que mai nosaltres hauríem pogut. En aquest projecte volem centrar-nos en una arquitectura particular que hi ha darrere d’un d’aquests “cervells”. Basant-se en gran mesura en el teorema de representació de Kolmogorov-Arnold, les KANs semblen poder millorar algunes peces fonamentals de la IA. A més, son capaces de capturar explícitament relacions matemàtiques en les dades observades, la qual cosa les fa més interpretables. A causa de la seva estreta relació amb les matemàtiques i la bellesa que hi ha al darrere, les hem triat com a objecte d’estudi en aquest treball. [en] Deeply rooted in humankind is the desire to understand and rule our surroundings, driving the development of both intellectual and engineering tools to ease us this mission. So far, this urge has been tackled through the development of new mathematical results, and its applications to the modelling of the world. One of our biggest challenges has been the creation of machines that can think. Theorized long before we had the technology to develop them, we’ve finally got to the first “artificial brains” that can see further than we ever could. In this project we want to focus on one particular architecture behind one of those “brains”. Relying heavily on the Kolmogorov-Arnold representation theorem, KANs seem capable of improving some building blocks of AI. Also they appear to explicitly capture mathematical relations on the observed data, thus making them more interpretable. Due to their close relation to mathematics and the beauty behind those, we have taken them to be the object of study in this work.
Construcció del Cos de Classes de Hilbert
(2026-01-15) Torres Santaulària, Marc; Guitart Morales, Xavier
[en] This work provides a complete proof regarding the construction of a very important abelian extension within the branch of Class Field Theory, known as the Hilbert class field. The first chapter is devoted to a detailed explanation of what class fields are. In the second chapter, the concepts of lattices, elliptic functions, and the j-invariant of a lattice are introduced. Finally, the third and last chapter focuses on viewing this invariant as a function on the upper half-plane, which leads to the Theory of Modular Functions and allows one to prove that the Hilbert class field is exactly the extension obtained by adjoining to an imaginary quadratic field the image of any ideal of its ring of integers under the j-function. [ca] Aquest treball proporciona una demostració completa sobre la construcció d’una extensió abeliana molt important dins la branca de la Teoria de Cossos de Classes, coneguda com a cos de classes de Hilbert. El primer capítol està destinat a explicar en detall en què consisteixen els cossos de classe. En el segon capítol s’introdueixen els conceptes de reticles, funcions el·líptiques i l’invariant j d’un reticle. Finalment, el tercer i últim capítol s’encarrega de veure aquest invariant com una funció en el semiplà superior, fet que donarà pas a la Teoria de les Funcions Modulars, la qual permetrà provar que el cos de classes de Hilbert és exactament l’extensió que resulta d’adjuntar a un cos quadràtic imaginari la imatge d’un ideal qualsevol del seu anell d’enters per la funció j.
El teorema de Pourchet
(2026-01-15) Llauradó Pladellorens, Caterina; D'Andrea, Carlos, 1973-
[ca] En aquest treball es presenta una demostració del teorema de Pourchet. El teorema de Pourchet afirma que qualsevol polinomi a coeficients racionals no negatiu es pot escriure com a suma de 5 quadrats de polinomis a coeficients racionals. Per poder demostrar aquest resultat tal com ho feu Pourchet, cal estudiar dos constructes matemàtics. El primer, són els cossos p-àdics, que s’introduiran com a complecions de Q\mathbb{Q}Q pels valors absoluts p-àdics. El segon, són les formes quadràtiques, que s’estudiaran primerament sobre un cos qualsevol i seguidament sobre els cossos p-àdics. Fent ús del principi local-global de teoria de nombres, traslladarem els resultats obtinguts sobre els cossos p-àdics als racionals. D’aquesta manera, tots els resultats presentats al llarg del treball convergeixen a la prova del teorema de Pourchet. Paraules clau: cossos p-àdics, formes quadràtiques, polinomis, principi local-global, teorema de Pourchet, valor absolut. [en] In this project we present a proof of Pourchet’s theorem, which states that any non-negative polynomial with rational coefficients can be expressed as a sum of five squares of polynomials with rational coefficients. In order to prove this theorem as Pourchet did, two mathematical frameworks are studied. The first one is p-adic fields, which will be introduced as completions of Q\mathbb{Q}Q with respect to the p-adic absolute values. The second one is the quadratic forms, which are at first developed over an arbitrary field and subsequently over the p-adic fields. Using the local-global principle in number theory, the results obtained over the p-adic fields are translated over the rational numbers. In this way, all the results presented along the project will lead to a proof of Pourchet’s theorem.
El teorema de completesa de la lògica infinitvalorada de Lukasiewicz
(2026-01-15) Santiago Aiguadé, Mar; Gispert Brasó, Joan
[en] This thesis presents a proof of the completeness theorem of the infinite-valued Lukasiewicz calculus, undertaking a more general formulation known as the finite completeness theorem. To this end, we introduce the Lukasiewicz many-valued propositional logics and the axiomatization of the infinite-valued case. We then develop the necessary algebraic background by studying MV-algebras, Wajsberg algebras, and ordered abelian groups. Finally, using the tools introduced throughout the thesis, we prove the completeness theorem of the infinite-valued Lukasiewicz calculus, discuss some proof strategies proposed by different authors, and analyze the failure of the strong completeness theorem. [ca] En aquest treball es presenta una demostració del teorema de completesa de la lògica infinitvalorada de Łukasiewicz, abordant una formulació més general coneguda com el teorema de completesa finitària. Amb aquest objectiu, s’introdueixen les lògiques semàntiques de Łukasiewicz així com l’axiomatització de la lògica infinitvalorada. A continuació, es desenvolupa el marc teòric algebraic necessari mitjançant l’estudi de les MV-àlgebres, les àlgebres de Wajsberg i els grups abelians ordenats. Finalment, a partir de les eines presentades anteriorment, es demostra el teorema de completesa de la lògica infinitvalorada de Łukasiewicz; es discuteixen les estratègies de demostració emprades per diversos autors i s’argumenta la no validesa del teorema de completesa fort. [es] En este trabajo se presenta una demostración del teorema de completitud de la lógica infinitunvaluada de Łukasiewicz, llevando a cabo una formulación más general conocida como el teorema de completitud finitaria. Con este objetivo, se introducen las lógicas semánticas de Łukasiewicz y la axiomatización de la lógica infinitunvaluada. A continuación, se desarrolla el marco teórico algebraico necesario mediante el estudio de las MV-álgebras, las álgebra de Wajsberg y los grupos abelianos ordenados. Finalmente, a partir de las herramientas presentadas anteriormente, se demuestra el teorema de completitud de la lógica infinitunvaluada de Łukasiewicz, se discuten las estrategias de demostración propuestas por diversos autores y se argumenta la no validez del teorema de completitud fuerte.
Processos puntuals: la hiperuniformitat
(2026-01-15) Garcia Congost, Adrià; Marzo Sánchez, Jordi
Aquest treball analitza les propietats dels processos puntuals espacials i la seva capacitat per generar estructures amb un ordre especial conegut com a hiperuniformitat. L’objectiu del treball és descriure matemàticament com determinades interaccions locals poden suprimir gairebé per complet les fluctuacions de densitat a gran escala. Després de formalitzar el marc teòric mitjançant la teoria de la mesura, es contrasten els models de referència basats en la independència, com el procés de Poisson, amb sistemes on existeix una repulsió entre punts. L’estudi aprofundeix en els Processos Puntuals Determinantals (DPPs), demostrant que la seva estructura de correlació negativa els permet complir la sum rule, condició analítica equivalent a la hiperuniformitat. Finalment, es presenten diversos exemples i una visualització realitzada amb el programari matemàtic (Wolfram Mathematica) que il.lustra la transició des de la independència de punts pura fins a una correlació i ordre global propi dels nuclis del Sinus i de Bessel.
El problema de la conjugació en el grup de trenes
(2026-01-15) Ramírez Cuello, Clàudia; Casacuberta, Carles
[en] Braid theory is a branch of mathematics that naturally connects topology, geometry and algebra, and is a particularly relevant tool in the study of other areas of knowledge. In this thesis, we begin with the geometric notion of braid, defined as a collection of curves that intertwine in space, and progressively construct the algebraic theory of the braid group, providing it with a finite presentation introduced by Artin in 1925 [1]. From this algebraic description, we develop the necessary tools to study the conjugacy problem, one of the fundamental decision problems in group theory, and present in detail the solution introduced by Garside [16], which provides an effective method to solve this problem in the braid group. [ca] La teoria de trenes és una branca de les matemàtiques que connecta de manera natural la topologia, la geometria i l’àlgebra, i constitueix una eina especialment rellevant en l’estudi d’altres àmbits del coneixement. En aquest treball es parteix de la noció geomètrica de trena, definida com una col·lecció de corbes que s’entrecreuen a l’espai, i es construeix progressivament la teoria algebraica del grup de trenes, dotant-lo d’una presentació finita introduïda per Artin el 1925 [1]. A partir d’aquesta descripció algebraica, es desenvolupen les eines necessàries per estudiar el problema de la conjugació, un dels problemes de decisió fonamentals en teoria de grups, i es presenta de manera detallada la solució introduïda per Garside [16], que proporciona un mètode efectiu per resoldre aquest problema en el grup de trenes.
Frisos de Conway - Coxeter
(2026-01-12) Pérez Pont, Òscar; Fité Naya, Francesc
[en] Conway - Coxeter friezes are rhomboidal grids of finite width and infinite length made up of positive integers, which satisfy an arithmetic condition known as the unimodular rule. This rule requires that, for each rhombus in the grid, the determinant of the matrix formed by its four vertices is equal to 1. This thesis studies their combinatorial and geometric interpretation. After introducing the basic theory of finite friezes and the role of the quiddity sequence, we prove the Conway - Coxeter bijection between friezes of order n, up to horizontal translation, and triangulations of a convex n-gon, up to rotation. We then turn to infinite friezes and explain how certain periodic friezes arise from triangulations of punctured disks and annuli, while also commenting on growth phenomena. Finally, we present a Python implementation that generates triangulations, computes quiddities and friezes, and groups the results modulo rotation to produce a catalogue of the unique classes. [ca] Els frisos de Conway - Coxeter són graelles romboïdals d’amplitud finita i longitud infinita d’enters positius que satisfan una condició aritmètica anomenada regla unimodular. Aquesta regla demana que, per a cada rombe de la graella, el determinant de la matriu formada pels seus quatre vèrtexs tingui determinant 1. Aquest treball n’estudia la interpretació combinatòria i geomètrica. Després d’introduir la teoria bàsica dels frisos finits i el paper de la seqüència de quiditat, provem la bijecció de Conway - Coxeter entre frisos d’ordre n, llevat de translació horitzontal, i triangulacions d’un n-gon convex, llevat de rotació. A continuació, abordem els frisos infinits i expliquem com certs frisos periòdics s’obtenen de triangulacions de discs punxats i d’anells, tot comentant fenòmens de creixement. Finalment, presentem una implementació en Python que genera triangulacions, calcula quiditats i frisos, i agrupa els resultats mòdul rotació per generar un catàleg de les classes úniques.
Descripció i anàlisi del model solar de Ptolemeu i la seva vigència en l’actualitat
(2026-01-15) Pérez-Coll Jiménez, Mar; Dorce, Carlos
[en] This work presents an analysis of the theory of the apparent motion of the Sun described by Claudius Ptolemy in his book the Almagest. Afterward, we revisit the described model from a modern perspective and assess its validity as a geometric model. Finally, we comment on the ancient astronomy of two other regions of the world. [ca] En aquest treball hi trobarem una anàlisi de la teoria del moviment aparent del Sol descrita per Claudi Ptolemeu a la seva obra l’Almagest, més concretament en el llibre III. També portem a l’actualitat el model descrit i mirem la seva vigència com a model geomètric. Finalment, donem un cop d’ull a l’astronomia antiga de dos altres llocs del món.
Continuación de órbitas periódicas con métodos espectrales aplicando la teoría de Floquet
(2026-01-14) Medina García-Villaraco, Jesús; Haro, Àlex
[es] Este trabajo estudia la continuación de órbitas periódicas mediante un enfoque espectral que incorpora de manera explícita la teoría de Floquet. El objetivo principal consiste en construir un algoritmo capaz de corregir y continuar estas órbitas a partir de una formulación tipo Newton sobre una representación espectral de la trayectoria siguiendo el espíritu de los trabajos de Moore. Como primer examen del método, se ha aplicado el algoritmo al oscilador de Van der Pol en dos dimensiones. Este sistema, por su comportamiento no lineal y la presencia de un ciclo límite conocido, permite valorar la eficacia del procedimiento sin introducir todavía la complejidad de modelos de mayor dimensión. Los resultados muestran que la combinación de técnicas espectrales y la información de Floquet proporciona correcciones precisas y facilita la continuación respecto a los parámetros del sistema. Aunque el estudio inicial se centra en este caso concreto, el método es adaptable a configuraciones más complejas y su implementación está descrita para trabajar en cualquier número de dimensiones. [en] This work examines the continuation of periodic orbits through a spectral approach that explicitly incorporates Floquet theory. The main objective is to develop an algorithm capable of correcting and continuing such orbits by applying a Newton-type formulation on a spectral representation of the trajectory. As an initial assessment of the method, the algorithm has been applied to the twodimensional Van der Pol oscillator. Owing to its nonlinear behaviour and its well-known limit cycle, this system provides a convenient benchmark that allows evaluation of the procedure without yet introducing the complexity of higher-dimensional models. The results show that the combination of spectral techniques with Floquet information yields accurate corrections and facilitates continuation with respect to system parameters. Although the initial study focuses on this specific case, the method is adaptable to more complex configurations, and its implementation is described in a way that enables its application to systems of any dimension.
Integral d'Itô i equacions diferencials estocàstiques
(2026-01-11) Solé Falgà, Adrià; Rovira Escofet, Carles
[en] This thesis begins by giving four strokes on stochastic processes and with the characterization of Brownian motion, highlighting its fundamental properties and the highly irregular nature of its trajectories. Subsequently, the Itô integral is constructed and its main properties are analyzed. The Itô formula is then presented as a generalization of the classical chain rule in the stochastic setting. Afterwards, stochastic differential equations are introduced, together with an existence and uniqueness theorem under Lipschitz conditions. Finally, the practical relevance of stochastic differential equations is illustrated through three important models: Black-Scholes-Merton, Ornstein-Uhlenbeck and SABR, and numerical methods for the simulation of trajectories are presented, with examples that illustrate their behavior and accuracy. [ca] Aquest treball s’inicia donant quatre pinzellades sobre processos estocàstics i amb la caracterització del moviment brownià, tot destacant-ne les propietats fonamentals i el caràcter irregular de les seves trajectòries. A continuació, es construeix la integral d’Itô i se n’analitzen les propietats principals. Seguidament, es presenta la fórmula d’Itô, que generalitza la regla de la cadena clàssica al context estocàstic. Posteriorment, s’introdueixen les equacions diferencials estocàstiques i s’enuncia un teorema d’existència i unicitat de solució sota hipòtesis de Lipschitz. Finalment, s’il·lustra la utilitat pràctica d’aquestes equacions mitjançant tres models rellevants: Black-Scholes-Merton, Ornstein-Uhlenbeck i SABR, i es presenten mètodes numèrics per a la simulació de trajectòries, amb exemples que permeten analitzar-ne el comportament i la precisió.
Sistemes Hamiltonians i Teorema de Liouville–Arnold
(2026-01-15) Pidelaserra Argilaga, Joana; Guàrdia Munárriz, Marcel
This bachelor’s thesis focuses on the study of Hamiltonian systems, with particular emphasis on the theory of integrability. Algebraic concepts such as symplectic matrices and the Poisson bracket are introduced, together with an analysis of the properties of linear Hamiltonian systems. The core of the work is the Liouville–Arnold theorem, which is stated and proved in detail. In particular, it is shown that, for a completely integrable system with compact and connected level sets, these are diffeomorphic to an n-dimensional torus and the associated flow is quasi periodic. This result highlights the relationship between the global topology of the manifolds and the analysis of differential equations, and allows us to conclude the integrability of the system by quadratures. Aquest treball final de grau es centra en l’estudi dels sistemes Hamiltonians, amb especial atenció a la teoria de la integrabilitat. S’introdueixen conceptes algebraics com les matrius simplèctiques i el claudàtor de Poisson, així com l’anàlisi de les propietats dels sistemes hamiltonians lineals. El nucli del treball és el teorema de Liouville–Arnold, que s’enuncia i es demostra detalladament. En particular, es mostra que, per a un sistema completament integrable amb varietats de nivell compactes i connexes, aquestes són difeomorfes a un tor n-dimensional i que el flux associat és quasi periòdic. Aquest resultat posa de manifest la relació entre la topologia global de les varietats i l’anàlisi de les equacions diferencials, i permet concloure la integrabilitat del sistema per quadratures.
El naixement de la Teoria de la Informació: anàlisi i formalització d’A Mathematical Theory of Communication
(2026-01-15) Solans Delgado, Alba; Dorce, Carlos
[en] This work analyzes the historical context and the material factors that led Claude Shannon to write A Mathematical Theory of Communication and to lay the foundations of Information Theory. The part of the work devoted to discrete information communication is studied, and the influence of the context on the rigor of the theory is assessed. Subsequently, the direct part of two of Shannon’s main results—the source coding theorem and the channel coding theorem—is formalized. [ca] Aquest treball analitza el context històric i els elements materials que van conduir Claude Shannon a escriure A Mathematical Theory of Communication i a establir les bases de la Teoria de la Informació. S’estudia la part de l’obra dedicada a la comunicació d’informació discreta i es valora com el context històric afecta la seva rigorositat. Posteriorment, es formalitza la versió directa de dos dels seus principals resultats: el teorema de codificació de la font i el teorema de codificació del canal.
Periodic points and holomorphic functions
(2026-01-15) Martínez Madrid, Rut; Jové Campabadal, Anna
[en] The main result presented in this project is the existence of repelling periodic points of any minimal period for entire transcendental functions with a bounded set of singular values (i.e. functions in class B), following the approach of A. M. Benini [3]. We show this is not true for functions outside the class B. To that end, we first study the different behaviours of holomorphic functions around fixed points and the existence of conjugacies and normal forms, in particular (but not restricted to) repelling fixed points. We also present some specific tools which are fundamental in this proof: hyperbolic geometry and the mapping structure of maps of class B. [ca] El resultat principal presentat en aquest projecte és l’existència de punts periòdics repulsors de qualsevol període mínim per a funcions enteres transcendents tals que el seu conjunt de valors singulars és acotat, també conegudes com a funcions dins de la classe B. Seguim l’enfocament donat per A. M. Benini a [3], i també mostrem que això no és cert per a funcions enteres transcendents fora de la classe B. Amb aquesta finalitat, primer estudiem els diferents comportaments de les funcions holomorfes al voltant de punts fixos i l’existència de conjugacions i formes normals. En particular, però sense restringir-nos-hi, estudiem punts fixos repulsors. També presentem algunes eines específiques que són fonamentals per aquesta prova: la geometria hiperbòlica i l’estructura de les funcions pertanyents a la classe B.
Punts de torsió en corbes el·líptiques: mètodes locals i teorema de Nagell-Lutz
(2026-01-13) Romeu Pastor, Ramon; Fité Naya, Francesc
[en] This work aims to prove the Nagell-Lutz theorem using a local method. This will allow an algorithm to be provided to compute the torsion subgroup of an elliptic curve over Q. In the first chapters, the necessary concepts and results of local and complete rings, elliptic curves, and formal groups are introduced. In the last chapter, the proof of the Nagell–Lutz theorem and an example of the algorithm that yields this result are given. [ca] L’objectiu d’aquest treball és demostrar el teorema de Nagell-Lutz mitjançant un mètode local. Això permetrà donar un algoritme per calcular el subgrup de torsió d’una corba el·líptica sobre Q. En els primers capítols, s’introdueixen els conceptes i resultats necessaris d’anells locals i complets, corbes el·líptiques i grups formals. En l’últim capítol, es dona la demostració del teorema de Nagell-Lutz i un exemple de l’algoritme que proporciona aquest resultat.
Singularitats de l'espaitemps
(2026-01-14) Domenech Laborda, Irene; Cirici, Joana
L'objectiu d'aquest treball és desenvolupar de forma matemàtica la noció de singularitat d'un espaitemps. Per fer-ho primer s'introdueix una base d'eines matemàtiques pròpies de la geometria diferencial. Posteriorment es presenta una introducció sobre l'estructura causal d'un espaitemps amb l'objectiu de treure condicions sota les quals podem afirmar que les singularitats no són només objectes matemàtics, sinó que també tenen un significat físic. En altres paraules, les singularitats són inevitables. Tot això donarà lloc a la formulació final dels tres teoremes principals sobre singularitats als espaistemps.

Examinar

Enviaments recents