El teorema d’anul·lació de cohomologia de Tate

Abstract

[eng] Cohomology groups are certain algebraic invariants associated to a group acting on an abelian group. If we consider the Galois group $G$ of a Galois field extension $L/K$, $G$ acts naturally on $L^{\times}$ by conjugation, so we can study its cohomology groups. However, besides this natural action, $L^{\times}$ can be endowed with the trivial action of $G$, leading to another family of cohomology groups.

Let $K$ be a local or global field, and $G_K$ its absolute Galois group. This work presents a proof of a theorem of Tate on the vanishing of the second cohomology group of $G_K$ with coefficients in $\overline{K}^{\times}$ endowed with the trivial action. First, we explain the basic properties of cohomology groups. After proving the basic results about local fields, we state the main theorems of local class field theory. We then turn to global fields, and we state the main theorems of global class field theory in terms of idèles. Next, we study central simple algebras and Brauer groups, explaining their connection with cohomology groups. Finally, in the last chapter, we use all the previous results to prove Tate’s theorem.

[cat] Els grups de cohomologia són certs invariants algebraics associats a un grup que actua sobre un grup abelià. Si considerem el grup de Galois $G$ d’una extensió de cossos de Galois $L/K$, $G$ actua de manera natural a $L^{\times}$ per conjugació, i per tant podem estudiar-ne els corresponents grups de cohomologia. Tanmateix, a part de l’acció natural, podem considerar $L^{\times}$ amb l’acció trivial de $G$, i obtenim una altra família de grups de cohomologia.

Sigui $K$ un cos local o global, i sigui $G_K$ el seu grup de Galois absolut. En aquest treball presentem una demostració d’un teorema de Tate sobre l’anul·lació del segon grup de cohomologia de $G_K$ amb coeficients a $\overline{K}^{\times}$ amb l’acció trivial. Primer, expliquem les propietats bàsiques dels grups de cohomologia. Després de demostrar els fets bàsics sobre cossos locals, enunciem els teoremes principals de la teoria de cossos de classes local. Seguidament, passem als cossos globals, i enunciem els teoremes principals de la teoria de cossos de classes global en termes d’idèles. A continuació estudiem les àlgebres centrals simples i els grups de Brauer, i expliquem la seva connexió amb els grups de cohomologia. Finalment, a l’últim capítol utilitzem tots els resultats anteriors per a demostrar el teorema de Tate.