Mètodes variacionals en aplicacions twist

Abstract

[eng] This work studies the existence of orbits with prescribed rotation number for area-preserving twist maps through variational methods. The starting point is the billiard problem in a strictly convex planar domain, which provides a natural geometric example of a twist map. In this setting, the billiard dynamics can be encoded by a generating function, and orbit segments arise as critical points of an associated action functional.

We then pass to the general framework of area-preserving twist maps on the annulus. Following Katok and Hasselblatt, we introduce the generating function of a twist map and use it to prove the existence of periodic Birkhoff orbits with rational rotation number. More precisely, for every rational number in the twist interval, one obtains periodic orbits whose ordering is compatible with the corresponding rational rotation of the circle.

The final part of the work follows Bangert’s variational approach. The problem is reformulated in terms of bi-infinite sequences and a globally defined generating function satisfying suitable structural assumptions. In this abstract setting, minimal trajectories are introduced as those for which every finite segment minimizes the action between its endpoints. After studying their order properties and defining their rotation number, we prove the main result: for every real number, there exists a minimal trajectory with that rotation number. Thus, the variational method provides a unified approach to both rational and irrational rotation numbers.

[cat] Aquest treball estudia l’existència d’òrbites amb nombre de rotació prescrit per a aplicacions twist que preserven l’àrea, utilitzant mètodes variacionals. El punt de partida és el problema del billar en un domini pla estrictament convex, que proporciona un exemple geomètric natural d’aplicació twist. En aquest context, la dinàmica del billar es pot codificar mitjançant una funció generadora, i els segments d’òrbita apareixen com a punts crítics d’un funcional d’acció associat.

A continuació es passa al marc general de les aplicacions twist que preserven l’àrea sobre el cilindre. Seguint Katok i Hasselblatt, s’introdueix la funció generadora d’una aplicació twist i s’utilitza per demostrar l’existència d’òrbites periòdiques de Birkhoff amb nombre de rotació racional. Més concretament, per a cada nombre racional dins l’interval de twist, s’obtenen òrbites periòdiques ordenades de manera compatible amb la rotació racional corresponent del cercle.

La part final del treball segueix l’enfocament variacional de Bangert. El problema es reformula en termes de successions bi-infinites i d’una funció generadora definida globalment que satisfà unes hipòtesis estructurals adequades. En aquest marc abstracte, s’introdueixen les trajectòries minimals com aquelles per a les quals tot segment finit minimitza l’acció entre els seus extrems. Després d’estudiar-ne les propietats d’ordre i de definir-ne el nombre de rotació, es demostra el resultat principal: per a tot nombre real existeix una trajectòria minimal amb aquest nombre de rotació. Així, el mètode variacional proporciona una teoria unificada que inclou tant els nombres de rotació racionals com els irracionals.