El problema del subespai invariant

Abstract

Donat un espai $E$ de Banach, podem afirmar que tot operador lineal acotat $T: E \rightarrow E$ té un subespai invariant tancat no trivial? Aquesta qüestió, coneguda com el "Problema del subespai invariant", manca d'una resposta plenament satisfactòria en l'actualitat i és considerada per molts matemàtics com un dels grans desafiaments de l'anàlisi funcional.

En aquest Treball de Fi de Grau, explorarem la història del problema i aprofundirem en algunes de les dificultats intrínseques que comporta. Per fer-ho, partirem d'una formulació detallada i rigorosa del problema i analitzarem diversos casos particulars. Entre aquests, destacarem el Teorema de Lomonosov, que demostra que si existeix un operador compacte que commuta amb un operador lineal acotat en un espai de Banach, aleshores l'operador $T$ necessàriament té un subespai tancat i no trivial que és invariant sota $T$. A més, mitjançant un contraexemple que discutirem amb detall, mostrarem que, en el cas dels espais de Banach, la solució al problema del subespai invariant és, en general, negativa.

Given a Banach space $E$, can we assert that every bounded linear operator $T: E \rightarrow E$ has a non-trivial closed invariant subspace? This question, known as the "Invariant Subspace Problem", currently lacks a fully satisfactory answer and is considered by many mathematicians to be one of the great challenges in functional analysis.

In this Final Degree Project, we will explore the history of the problem and delve into some of the intrinsic difficulties it entails. To do this, we will start with a detailed and rigorous formulation of the problem and analyze several particular cases. Among these, we will highlight the Lomonosov's Theorem, which demonstrates that if there exists a compact operator that commutes with a bounded linear operator in a Banach space, then the operator $T$ necessarily has a non-trivial closed subspace that is invariant under $T$. Furthermore, through a counterexample that we will discuss in detail, we will show that, in the case of Banach spaces, the solution to the invariant subspace problem is generally negative.