Frisos de Conway - Coxeter

Abstract

[en] Conway - Coxeter friezes are rhomboidal grids of finite width and infinite length made up of positive integers, which satisfy an arithmetic condition known as the unimodular rule. This rule requires that, for each rhombus in the grid, the determinant of the matrix formed by its four vertices is equal to 1. This thesis studies their combinatorial and geometric interpretation. After introducing the basic theory of finite friezes and the role of the quiddity sequence, we prove the Conway - Coxeter bijection between friezes of order n, up to horizontal translation, and triangulations of a convex n-gon, up to rotation. We then turn to infinite friezes and explain how certain periodic friezes arise from triangulations of punctured disks and annuli, while also commenting on growth phenomena. Finally, we present a Python implementation that generates triangulations, computes quiddities and friezes, and groups the results modulo rotation to produce a catalogue of the unique classes.

[ca] Els frisos de Conway - Coxeter són graelles romboïdals d’amplitud finita i longitud infinita d’enters positius que satisfan una condició aritmètica anomenada regla unimodular. Aquesta regla demana que, per a cada rombe de la graella, el determinant de la matriu formada pels seus quatre vèrtexs tingui determinant 1. Aquest treball n’estudia la interpretació combinatòria i geomètrica. Després d’introduir la teoria bàsica dels frisos finits i el paper de la seqüència de quiditat, provem la bijecció de Conway - Coxeter entre frisos d’ordre n, llevat de translació horitzontal, i triangulacions d’un n-gon convex, llevat de rotació. A continuació, abordem els frisos infinits i expliquem com certs frisos periòdics s’obtenen de triangulacions de discs punxats i d’anells, tot comentant fenòmens de creixement. Finalment, presentem una implementació en Python que genera triangulacions, calcula quiditats i frisos, i agrupa els resultats mòdul rotació per generar un catàleg de les classes úniques.