Introducció al Càlcul Estocàstic

Abstract

[eng] This bachelor’s thesis provides a self-contained introduction to stochastic calculus, focusing on its fundamental concepts and main tools. The work begins with a review of essential probabilistic notions: characteristic functions, Gaussian random vectors, and conditional expectation. Special emphasis is placed on the properties of Gaussian distributions and the equivalence between the definition via linear combinations and via the characteristic function.

The core of the thesis is devoted to the study of Brownian motion, its equivalent characterizations, and two explicit constructions: as a limit of random walks (outline of Donsker’s theorem, without full proof) and via the Lévy construction using Haar and Schauder functions. Several path properties are analysed, including Hölder continuity, non-differentiability, quadratic variation, and the martingale properties.

The Itô integral is constructed for integrands in the space of square-integrable adapted processes, starting from elementary step processes and extending by density. Key results such as the Itô isometry, the martingale property of the indefinite integral, and the Burkholder–Davis–Gundy inequalities are presented. The Itô formula is stated and proved for functions of class $C^2$, and the representation of square-integrable martingales as stochastic integrals is established. Finally, the thesis introduces stochastic differential equations (SDEs), proving existence and uniqueness of strong solutions under Lipschitz and linear growth conditions, together with a second-moment estimate.

The thesis aims to provide a rigorous yet accessible foundation for further study in stochastic analysis and its applications in finance, physics, and engineering.

[cat] Aquest treball final de grau ofereix una introducció autònoma al càlcul estocàstic, centrant-se en els seus conceptes fonamentals i les seves eines principals. El treball comença amb una revisió de nocions probabilístiques essencials: funcions característiques, vectors aleatoris Gaussians i esperança condicionada. Es posa èmfasi especial en les propietats de les distribucions Gaussianes i en l’equivalència entre la definició mitjançant combinacions lineals i la definició mitjançant la funció característica.

El nucli de la tesi està dedicat a l’estudi del moviment Brownià, les seves caracteritzacions equivalents i dues construccions explícites: com a límit de passejades aleatòries (se’n fan cinc cèntims del teorema de Donsker, sense demostració) i mitjançant la construcció de Lévy amb funcions de Haar i Schauder. S’analitzen diverses propietats de les trajectòries, com ara la continuïtat Hölder, la no diferenciabilitat, la variació quadràtica i les propietats de martingala.

La integral d’Itô es construeix per a integrands en l’espai de processos adaptats de quadrat integrable, començant per processos elementals esglaonats i estenent per densitat. Es presenten resultats clau com la isometria d’Itô, la propietat de martingala de la integral indefinida i les desigualtats de Burkholder–Davis–Gundy. S’enuncia i es demostra la fórmula d’Itô per a funcions de classe $C^2$, i s’estableix la representació de martingales de quadrat integrable com a integrals estocàstiques. Finalment, el treball introdueix les equacions diferencials estocàstiques (EDEs), demostrant l’existència i unitat de solucions fortes sota condicions de Lipschitz i creixement lineal, i obtenint una fita per al moment de segon ordre de la solució.

El treball té com a objectiu proporcionar una base rigorosa però accessible per a l’estudi posterior de l’anàlisi estocàstica i les seves aplicacions en finances, física i enginyeria.