The Alexander polynomial and lens spaces

Abstract

[eng] This work presents the homeomorphism classification of lens spaces given in [22] to a general mathematical audience. It is almost entirely self-contained and should be accessible to a final-year Mathematics undergraduate familiar with Algebraic Topology. We begin with two equivalent definitions of lens spaces and establish that elementary topological invariants are insufficient for their classification. We then introduce the torsion linking form via oriented intersection theory and the Alexander polynomial via both Seifert surfaces and Fox calculus, developing all required differential topology and knot theory from scratch. Once these tools are in place, we carry out the classification of lens spaces, concluding that the elementary proof proposed in [22] is flawed for general lens spaces. We argue that this gap appears to be remediable only by appealing to the advanced machinery of the classical classifications (e.g. Reidemeister, Brody-Fox) that they intended to avoid.

[cat] Aquest treball presenta la classificació fins a homeomorfisme dels espais lenticulars de [22] per a una audiència matemàtica general. És pràcticament autocontingut i hauria de ser accessible a un estudiant de grau en Matemàtiques d’últim curs que estigui familiaritzat amb la topologia algebraica.

Comencem amb dues definicions equivalents d’espais lenticulars i establim que els invariants topològics bàsics són insuficients per a la seva classificació. Després, introduïm la forma d’enllaç de torsió via teoria d’intersecció orientada i el polinomi d’Alexander tant via superfícies de Seifert com via càlcul de Fox, desenvolupant des de zero tota la topologia diferencial i teoria de nusos requerida.

Un cop establim aquestes eines, presentem la classificació dels espais lenticulars, concloent que la demostració de [22] està incompleta pel cas general. Argumentem que aquest forat sembla remeiable únicament apel·lant a la maquinària avançada de les classificacions clàssiques (e.g. Reidemeister, Brody-Fox) que tracten d’evitar.