Contributions to the Theory of Large Cardinals Beyond Choice

Abstract

[eng] This thesis investigates large cardinals that are inconsistent with the Axiom of Choice. First, we characterize Berkeley cardinals in terms of a restricted form of Vopěnka’s Principle, and determine the consistency strength of several related theories. Next, we present a method for producing elementary embeddings from homomorphisms, which is then used to show that the Strongly Rigid Relation Principle is a weak Choice principle. We also provide a characterization of rank-Berkeley cardinals in terms of a strong failure of this principle. We then explore the connection between elementary embeddings from the universe into itself and eventually dominating functions, culminating in an alternative proof of Kunen’s Inconsistency Theorem. Finally, using the method of forcing, we establish the consistency (relative to large cardinals) of the successor of the first singular cardinal being supercompact in the transitive model of Hereditarily Ordinal Definable sets.

[cat] Aquesta tesi investiga els cardinals grans que són incompatibles amb l’Axioma d’Elecció. En primer lloc, caracteritzem els cardinals de Berkeley en termes d’una forma restringida del Principi de Vopěnka i determinem la força, en termes de consistència, de diverses teories que hi estan relacionades. A continuació, presentem un mètode per produir aplicacions elementals a partir d’homomorfismes, que s’utilitza per mostrar que el Principi de la Relació Fortament Rígida és un principi feble d’elecció. També proporcionem una caracterització dels cardinals rank-Berkeley en termes d’una negació forta d’aquest principi. Tot seguit, explorem la connexió entre les aplicacions elementals de l’univers en si mateix i les funcions eventualment dominants, culminant en una demostració alternativa del Teorema de la Inconsistència de Kunen. Finalment, utilitzant el mètode del forcing, establim la consistència (relativa a l’existència de cardinals grans) del fet que el successor del primer cardinal singular sigui supercompacte en el model transitiu dels conjunts definibles ordinalment de manera hereditària.