Àlgebres de Boole

Abstract

[en] This work investigates the relationship between Boolean algebras and topology via Stone duality, revealing how algebraic structures in Boolean algebras translate to topological properties in Boolean spaces. We begin with lattice-theoretic foundations, advancing to filters, ultrafilters, and the pivotal Stone representation theorem, which bridges Boolean algebras with compact, scattered spaces. A central focus is the Cantor–Bendixson process, which decomposes Boolean algebras into ordinal-indexed derivatives, linking atomicity to topological dispersion. The culmination is Lagrange’s theorem, offering a cardinality-based classification of countable hereditary atomic Boolean algebras.

[ca] Aquest treball estudia la relació entre àlgebres de Boole i la topologia a través de la dualitat de Stone, que trasllada estructures algebraiques en àlgebres de Boole a propietats topològiques en espais de Stone. Comencem el treball amb resultats introductoris sobre reticles, explorant filtres, ultrafiltres fins arribar al teorema de representació de Stone, que relaciona àlgebres de Boole amb espais topològics compactes i dispersos. Un tema central és el procés de Cantor–Bendixson, que descomposa les àlgebres de Boole en nivells ordenats de forma inductiva pels ordinals, relacionant l’atomicitat d’una àlgebra de Boole amb la dispersió topològica del seu espai dual. El punt culminant del treball és el teorema de Lagrange, que dóna una classificació a partir de cardinals d’àlgebres de Boole hereditàriament atòmiques.